CO

Xi= 2 yrcos —,

a?j = a v'' cos ,

3/- a>-h4ir X3= 9. yrcos — ■•

Le calcul se fera aist'ment au moyen des Tables trtgonométriques.

i8i. Équation du quatrième degré. — La résolution d'une équation du quatrième degré

<7) a?*-i- Aa7»-+- Bx*-h Gar-r D = o

se ramène aisément à la résolution d'une équation du troisième degré et d'équations du second degré.

Les deux premiers termes peuvent être regardés comme les deux premiers \ termes du carré de x^ -\ .r, en sorte que Téquation proposée peut s'écrire,

eo désignant par X un nombre qu'on se réserve de déterminer plus tard,

/'ar»-h -a:-+-Xy=(2X — B);r«-i-(AX — G)a7-hX«— D.

Déterminons X de façon que le second membre soit un carré parfait, c'està-dire par l'équation du troisième degré

{S} (AX — G)»— 4(2X — B)(X«— D) = o.

Nous regarderons, dans ce qui suit, X comme une racine de cette équation, d'ailleurs arbitrairement choisie; l'équation du quatrième degré pourra alors s'écrire

celle-ci se décompose en deux équations du second degré, savoir

La résolution de ces deux équations fournira les quatre racines de Téquation (7). Malgré l'intérêt qu'offre l'étude approfondie de. celte méthode de résolution, je ne m'y arrêterai pas.

On doit à Abel d'avoir montré que si l'on considère une équation générale du n}^^^ degré /(a?) = o, c'est-à-dire une équation dans laquelle les coefficients sont arbitraires, on ne peut pas la résoudre par radicaux, dès que n dépasse 4; on entend par là qu'il est impossible de constituer une chaîne d'équation* binômes, en nombre fini

dans lesquelles Ai s exprimerait rationnellement au moyen des cot'fficients de/(a^), Aj au moyen de ces coefficients et des racines de la premièrr' équation binôme, A3 au moyen de ces mêmes coefficients et des i*acine« de^ deux premières équations binômes, etc., telles enfin que les racines de Téquation proposée s'exprimassent rationnellement au moyen des coefficients de cette équation et des racines des équations binômes.

Pour l'équation x^-^px-^q = o, cette chaîne d'équations binômes est formée par les équations

OÙ z' est une racine de l'équation en z\ les racines de l'équation proposée s expriment rationnellement au moyen des racines do l'équation en y.