Résolution des équations simultanées. — Deux équations
étant données, où les premiers membres sont des polynômes en jr. r. la résolution de ces équations peut être ramenée à la résolution d'équations à une inconnue.
Soit J7oî yo UÏ16 solution de ces deux équations; les deux équations en y
ont une racine commune y = y^; réciproquement, si x© est un nombre tel que les deux équations précédentes en j>^ aient une racine commune j^o? il est clair que le système j?©, yo constituera une solution des équations proposées.
D'où la marche suivante :
On éliminera l'une des inconnues, y par exemple, entre les deux équations (i): on parviendra ainsi à une équation
dont les racines seront précisément les nombres Xq telles que les équations (2), en ^, aient une racine commune au moins. L'équation (3) étant résolue et Xq étant une de ses racines, les deux polynômes, en ^, /(j^o? y) ^^ S'i^^^y) a^'^ont un plus grand commun diviseur; en égalant ce plus grand commun diviseur à o, on formera une équation dont les diverses racines seront les valeurs de y que l'on peut associer à Xq pour avoir une solution des équations proposées. Dans le cas où les deux équations
/■(aro,r)= o» ^(^o^y) = o
n'ont qu'une racine commune, le plus grand commun diviseur sera du premier degré; à la racine Xo de l'équation résultante ^{x) = o, on ne pourra associer qu'une seule valeur y^ de y^ laquelle s'exprimera rationnellement au moyen de Xq et des données.
Supposons que fix^y)^ ^(^- .Y) soienl les polynômes généraux (avec des coefficients littéraux, qu'on laissera arbitraires), Tun du degré n en x^ y, l'autre du degré/?; en les ordonnant par rapport à y^ on les mettra sous la forme
fKX,y)= Ao^" -h A,j-«-î -f-. . .-r A„, g{x,y) = BoyP -h B,^/'-i -H. . .-H B,,;
Ao, A|, ..., Art d'une part, By. Bj, ..., B,, d'autre part, sont des polynômes en X dont les degrés respectifs sont marqués par les indices correspondants. Aq et Bq, en particulier., sont des constantes. Le résultant R(a^j, obtenu en éliminant y. est une somme de monômes de la
forme
KA«.A«....A»»Bf....Bgp,
OÙ K est un coefficient numérique; tous ces monômes sont du poids np (n"274). Tel est le degré de R(iF)(*). En donnant des valeurs numérique.» aux coefficients de y (ar,^), g{x^y)^ ce degré pourra s'abaisser. Pour chaque racine œ^ de R(x), les deux polynômes en y^ /(^q-, y), g{^»^ y)^ ont. en général, une racine commune ^0 ^^ ""^ seule : l'ensemble des deux nombres Xp. y^ constitue une solution des deux équations
fi^.y) = 0, g{x,y) = o,
qui ont, par conséquent, np solutions, en général.
L examen des cas particuliers, et de la façon dont il faut entendre ce théorème : Deux équations des degrés respectifs n. p ont np solutions, est en dehors du cadre de ce Livre. Je me borne à signaler quelques-unes des difficultés qu'en présente la démonstration : il y a d'aboixi lieu d'examiner le ca> où le degré de H(^) s'abaisse au-dessous de np^ et où Ton dit que les deux équations ont des solutions infinies, ce qui demande à être précisé. Ensuite, il peut arriver qu'à une racine a^o <Je R(^) correspondent plusieurs racines communes des deux équations (en y)
/(^o, J')= o, g(xo, y) = o.
On démontre alors que, s'il y a r racines communes à ces deux équations. Xq est une racine multiple de K(:r), d'ordre de multiplicité r. Enfin, il y a encore lieu de tenir compte de l'ordre de multiplicité de certaines solutions, si l'on veut que le théorème reste exact; cela ne va pas sans difficulté : en effet, si pour une équation à une inconnue F(ir) = o, dont le premier membre est un polynôme, la signification des mots racine multiple, ordre de multiplicitéy a pu être précisée, on n'a nullement expliqué ce qu'il fallait entendre par ceux-cî : une solution multiple des équations /( a?, j') =0, g(x^Y) = o.
Je me borne relativement à ce sujet à quelques indications très rapides, sur une méthode qui d'ailleurs offre un assez grand intérêt théorique, et qui a, en géométrie analytique, d'intéressantes applications.
Désignons par/(a7, j^), g{x,y) des polynômes en x, yy dont on suppose maintenant qu'ils aient des coefficients numériques.
(*) Ou reconnaît sans peine que le coefficienl de j:"/' n'est autre chose que le résultant des doux polynômes en y
a^y" ■+- a^y"-^ -»-...-+- a,, à,^y^ -^b,yf '-+-...-- 6^,,
en désignant en général par a^, b^ les coefficients de x* dans A^, B,.
ÉQUATIONS ALGËRRIQIES. Sgi
Supposons qu*on élimine x^y entre les trois équations
(4) /U,r) = o, g{T,y) = o, y=ux-hv, ce qui revient à" éliminer x entre les équations
(5) /{x^ ux -h ç) = o^ g(x. ux -hv) = o. On obtient ainsi une équation
H\) Aiu, v) = o,
Soiij?^, jTjj une solution des équations^ = o, g = o; les équations (4) seront vérifiées, quel que soit ii, si l'on prend
il suit de là que Téquation (6) sera vérifiée, quel que soit a, lorsqu'on y remplace V par yo — uxq, pourvu que Xo^ yo constituent une solution des équations y = u, ^ = o. En d'autres termes, dans ces conditions, le polynôme A{u^v)^ qui devient identiquement nui quand on y remplace v par j^o — ux^, en divisible par v ■+■ uxo — /q. Soit ao, t'o ""e solution de Téquation
A{u, v) = o; les deux équations en x
/(ar, Wo^H- ^u) = o, ff{x^ Ui^x -t- Vq) = o
admettent une solution commune oto; les <leux équations
fi^iy) = o, g{^yy)==o
admettent la solution j?,), ^o = UqXo -h Vq, et l'on peut, en vertu du premier raisonnement, affirmer que«*Jl(a, p) est divisible par p-i-a.ro — Xo- Chaque «•olution de deux équations /= o, ^ = o entraine l'existence d'un facteur du jnemier degré en i/, v qui divise c'fl(M, i'); chaque facteur du premier degré i'-r-aa-i-P qui divise .•<l(a, p) entraine l'existence d'une solution oto = a, >'„ = — p des deux équations /= o, ^ = o. La résolution des deux équations /= o, ^ = o est ramenée à la décomposition en facteurs du premier degré du polynôme <'R(k, p), et chaque facteur du premier degré fournit une solution «les deux équations proposées solution dans laquelle les valeurs de a? et ^ se trouvent naturellement associées, sans qu'on ait besoin, comme dans la première méthode, de former un plus grand commun diviseur. Enfin les notions de solution multiple, d'ordre de multiplicité, se présentent maintenant d'une façon assez naturelle : on dira que Xq^ j^o <^st une solution multiple d'ordre de multiplicité r îles deux équations proposées si c**l(a, p)est divisible par u' -h uxq — y^y sans être divisible par (v -h uxq --^o)'^*«
283. J'appliquerai la méthode exposée au début du numéro précédent au cas de deux polynômes du second degré en .r, y^
f{^^ y) =■ ci^^ -H a'^* -¥• 7.6" xy -ir ib' T -^ iby -f-rt'(^), g{x^y) = axX^ -^ a\y^ -H ib\xy -^- 'xb\ x -h ib^y -+■ a\^
où je supposerai que l'un au moins des coefficients a\ a\ de y* n'est pas nul. On aui*a à former le résultant ^{x) des deux polynômes en y
où l'on a posé, pour abréger,
a = rt', p = •xb''x H- 26, Y = ^^* "^ -^^'jF -i- a*,
a, = a'j, p, = aô'JT -4- '261, y, = «i-r* -h 26', a? -4- aj ;
on a (n" 268)
R(:r) = (fltt Y-txY. )*-(«?! -a, ?)iPyi-?iï)-
On reconnaît de suite, sur cette expression, que R(x) est, en général, du quatrième degré ; a, y — ayi j a^i — a, ^, ^y, — 3, v sonl en général, des degrés respectifs 2, i , 3. Si x^ est une racine de R(j'). les deux équations en y ont une racine commune, dont on obtient la valeur en remplaçant x par Xq dans la fraction rationnelle
il n'y a aucune difficulté si Xo n'annule pas a^i — a» ^ ; au cas où t»
(') Il convient d'expliquer cette notation : on a déjà employé, au n* 46, la oot«ition, qui s'explique d'elle-même,
ax'-h a'y^ -h a" z^ 4- 2 byz -h 2 6' 5X 4- 2 b' xy
pour représenter un polynôme homogène du second degré en or, y^ s, ou, comme oi dit, une forme quadratique ternaire, lin faisant s = 1 dans le polynôme homogënc. on obtient un polynôme du second degré en x, y écrit sous la forme employée dan? le texte. Il est souvent commode de regarder ainsi un pol\nome en x, y du degré n comme provenant d'un polynôme homogène en x, y, z du degré /i, où l'on a fait 5 = 1, et, inversement, d'associer à un polynôme en x, y le polynôme homojrrDien x. y^ z que l'on obtient en complétant chaque monôme de degré p<n par un facteur z''-F; en supposant 5 = 1, les deux polynômes sont identiques.
EQUATIONS ALGÉBRIQUES. SqS
annulerait cette expression, on voit de suite sur l'expression deR(^), puisque R(.r) et a^, — a^ p sont nuls pour x = Xq^ que ai y — ay, est aussi nul; pour la même valeur de x^ [ây, — j^iv est nul aussi; car les deux égalitt's
si Ton écarte le cas où a et a« sont nuls, entraînent ^ly — PYi = o- Le facteur x — îCo divise a, y — ay, \ [x — jTo)*^ divise (a» y — ay« )^ ; il divise aussi (a^i — a, ^)(^y, — f^iy)? puisque :r — Xç^ divise cKacun des facteurs; .r — x^ est une racine dotihle de R(.r); d'autre part, pour X = Xo, les quantités a,, p,, Vi sont proportionnelles à a, ^, y; les deux équations du second degi'é en y ont leurs deux racines communes; on associera chacune de ces deux racines à Xq et l'on obtiendra ainsi deux solutions des équations proposées : les deux autres racines de R(j:), si elles sont simples, fourniront chacune une solution. On en obtient bien quatre en tout, en supposant que le degré de R(^) ne se soit pas abaissé au-dessous de 4 ( ' )•
Le seul cas où l'on puisse avoir plus de quatre solutions est celui où K{x) est identiquement nul. Supposons qu'il en soit ainsi; alors, pour chaque valeur de Xj les deux équations en y ont une solution commune fournie par la formule
le numérateur est du second degré en or, et le dénominateur, du premier; il est aisé de voir que le numérateur est divisible par le dénominateur : soit, en efl'et, /• la racine de ce dernier; il faut prouver que /• annule j3y, — ?iy • or, c'est ce qui résulte de l'expression du polynôme R(^), qui, par hypothèse, est identiquement nul : pour x = /•, ^'ii — oLi ^3 est nul, donc aussi ay, — a, y et l'on a déjà dit que les deux
(') Dans le cas où x^ annule ap,— at, p, Pr, — p,Y, il faut se garder de chercher, afin d'avoir la valeur correspondante de y, la lirnile \ers laquelle tend le rapport
'-!^- î-^ quand x s'approche de x^^. Tout est fixe ici, il n') a pas lieu de chercher
une limite.
394 CHAPITBË XVI.
égalités
ap, = a, p = o, «Yi — «1 T = o
enlraînaient ^v, — ^3, v = o; en faisant la division de ,3v, — 3, y par a|i, — ai p, on voit que y se met sous la forme y = /wx -H- /». Par conséquent, dans ce cas, les deux équations
sont vérifiées quel que soit x quand on prend pour y la valeur mx -f- il] cela revient à dire que /(x, y) et g(x, y) s'annulent identiquement quand on y remplace r par mx -\- Hy ou encore que ce^ deux polynômes sont divisibles par y — mx — n.
AJnsi, la circonstance qu'on vient d'étudier se présente quand le^ deux polynômes f{x^y)^ f^i-^: y) ^^ décomposent l'un et l'autre en un produit de deux facteurs du premier degré et que l'un de ces facteurs est commun aux deux produits : outre les solutions qui annulent ce facteur commun, les deux équations /= o, g = o ont encore une solution que l'on obtient en égalant à o les seconds facteurs et en résolvant les deux équations du premier degré ainsi obtenues (').
Les raisonnements précédents, relatifs au cas où R(x) est identiquement nul, supposent toutefois que a^, — a, ^ ne soit pas identiquement nul, auquel cas un raisonnement déjà utilisé deux fois montrerait que ai Y — av, serait aussi identiquement nul ; il suffit d'écrire qu'il en est ainsi, en remplaçant a, ^, y, ai, p,, y, par leurs expressions explicites pour reconnaître que, alors, les coefficients du polvnome g{x^ y) sont proportionnels aux coefficients du polynôme fix^ y)\ toute solution de l'une des équations /= o, «^ == o e<t une solution de l'autre.
Je laisse au lecteur le soin de traiter le cas où a' et a\ seraient nuK simultanément.
(') Le résultat qu'on vient d'obtenir se généralise sans peine : supposons quo /(-F, y), ^(-F, y) soient des polynômes quelconques en x^y ei que le résultant dr res deux polynômes regardés comme des polynôme? en y soit identiquement nnï. Le* deux polynonies f tl g regardés comme des polynômes en y ont, quel que soii j^ un plus grand commun diviseur : soit 6(z:, v) ce plus grand commun diviseur: je suppose que, après Tavoir ordonné par rapport à y, on ait débarrassé ses coefficieniN qui sont des polynôme* en j?, de tout diviseur commun, en sorte que h{x^ y) ^^i» primitif au sens du n» 81 ; les deux polynômes f ^i g seront divisibles par6( x, y)-
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. SgS
Le problème de la résolution de deux équations du second degré /=o, ^ = 0 peut être abordé par une autre méthode, dont je dirai quelques mots, en raison de l'importance qu'elle offre en géométrie analytique. J'aurai besoin pour cette méthode de la condition qui doit exister entre les coefficients a, a\ a*, A, b\ b' d'un polynôme
/(^i J^) = a^*-+- «'^*-H ib" xy 4- 2 6' a? -h iby -h a'
pour qu'il se décompose en deux facteurs du premier degré en x^y. Supposons a! ^ o. Si fix^y) se décompose en deux facteurs du premier degré, ces deux facteurs doivent contenir y^ sans quoi leur produit ne pourrait reproduire un terme en y^\ ils sont donc de la forme
y — mx — /i, y — m' x — n'
ei Ton doit avoir identiquement
f{x^ y) = a*(y — mx — n) {y — m' x — n'),
Supposons qu'il en soit ainsi; si l'on résout l'équation du second degré (en y)^ f{x, j') = o, les deux racines devront être mx -h /i, m' x -h n!\ on sait que la quantité sous le radical représente, à un facteur numérique près, le carré de la différence des racines, c'est-à-dire, ici, [(m — m')x h- n — /i']*.
Ainsi, dans le cas où / se décompose, le polynôme en x que Ton obtient sous le radical, en résolvant par rapport à y l'équation
a' y^-^ '!( b' X -^ b)y -T- ax^-^ ib'x -h a" = o,
doit être un carré parfait; or, en effectuant cette résolution, on trouve
b'x -h b zb )/{b\r -f- b)^ — (a.r- -^ y.b'x-^ a' )a'
la quantité sous le radical est
(6"*— aa').r«-f- xibb" — a'b')x ^ A«— a a" \
elle est un carré parfait si l'on a
(I) (66'- a*6')-— (6'2— aa')(6»— a'a") = o.
Si cette «ondilion est vérifiée, la quantité soùs le radical, en supposant 6*^— aa' différent de o, est le carré de
v/6'« - aa' (
bb'-^a'b'
b'i—aa'
en sorte que f{x, y) est le produit, multiplié par a', des deux facteur;: -^ a a \ b'^—aa I
b'x^b ^b'^'-aa' [ bb'—a'b'
' - aa' l bb'—àb'\
1i' V^ b'^-aa I
Si 6'* — aà était nul, bb" — a'b' devrait aussi être nul à cause de la condition (1), la quantité sous le radical se réduirait à une constante, la décomposition apparaîtrait ainsi immédiatement.
Lorsque a' est différent de o, la condition (i) est donc nécessaire et suffisante pour que /(J", >^) se décompose en deux facteurs du premier degré; or le premier membre de l'équation (i) est le produit par — a' de la quantitéC'
A = aa'a'-h9.^»6'é»'— a6»— a'6'»— a'6'*.
Si à était nul, sans que a le fut, il suffirait d'intervertir le rôle des lelirf? a:, y pour retrouver la même condition; si a! et a étaient nuls tous deux, la relation entre x^y qu'exprime l'équation f{x^ y) = o deviendrait uoe relation homographique; le cas de décomposition a été traité au n*" 69; oo recoonait sans peine que, dans ce cas aussi, la condition A = o exprime que le polynôme /(>, y) est le produit de deux facteurs du premier degré.
Arrivons maintenant à la résolution des deux équations du second ilegre y= o, ^ = o et cherchons à déterminer une relation du premier degré en j^.k
y = ux -h V
telle que les solutions des deux équations simultanées
/\^i y) = ^^ y = ux -h V soient les mêmes que les solutions des deux équations
^{^,r)^o, y = ux-hv.
(') Celte quantité A a déjà été rencontrée au n" 13j; c'est le déterminant des iroi* formes linéaires
ax -h b' y -h b' z, b'x -^ a' y -h bz, b'x -i- by -h a' z
qui ne sont autre chose que les demi-dérivées partielles du polynôme homosene ax'-i-a' y'-+- a'z^-*-'2byz-i-2b'zx -^ib' xy\ l'identité
{bb'-a'b'Y— {aa'^b'^){a'a'—b^) =— Aa'
ne diffère pas de Pidenliié .VA — B'^= àa' que l'on a signalée au n- 13j.
BQUAT10N8 ALUÉBRIQLES. 897
C'est pour le moment u et v qui sont les inconnues; il est clair que, si l'on a «lèterminé ces inconnues auxiliaires, la résolution de l'un ou de l'autre des deux systèmes précédents fournira (eu général) deux solutions du système /=o, ^ = 0.
Par hypothèse, les deux équations en x
/{x, ux -h i') = o, ff(^i wa? -4- p) = o
doivent être identiques; s'il en est ainsi le premier membre de la seconde ne doit différer du premier membre de la première que par un facteur constant, que je désignerai par — X; en d'autres termes, l'expression
\ f{Xy UX -\- V) ^ g{x, ux-k-v) doit être identiquement nulle; en d'autres termes encore, Texpression
doit s'annuler identiquement quand on y remplace y par ux -^ p, ou, ce qui revient au même, le polynôme (en x, y) ^^^ f(Xy y)-^ g{x. y) doit être divisible par y — ux — v\ il doit donc être décomposable en facteurs du premier degri'.
Kéciproquement, supposons qu'on connaisse un nombre X tel que le polynôme (en Xy y) X/-+- g soit décomposable en un produit de deux facteurs du premier degré tx -h P^ -H y, a'j? h- ^' y -h 7', en sorte qu'on ait identiquement
X/-+-^ = (aa:-f- fi^ -h 7) (ot'ar -t- ^' y^^'\
il est clair que toute solution des deux équations f = o^ g z= o devra annuler l'un des facteurs du second membre, et que l'on obtiendra les solutions de ces deux équations en résolvant, d'une pari, les deux équations
et, d'autre part, les deux équations
/= o, a'xH- îi>-+-Y'=o,
on obtiendra ainsi, en général, quatre solutions qui vérifieront l'équation AT =^0.
n'où la méthode suivante :
On cherche un nombre X tel que le polynôme du second degré (en x, y) y^/^ g se décompose en deux facteurs du premier degré, on a pour cela à résoudre une équation du troisième degré en X, A(X) = o, dont on obtient le premier membre en remplaçant dans
A = aa a' ^ ib ô' b" — aù^ — a' b'^ — a' b"*
39S CIIAPITRl:: XVI.
a, a', a\ . ,. par "ka -+- a,, Xa'-t- a'i, Xa'-h «