ÉQUATIONS NUMÉRIQUES A UNE INCONNUE

285. Les méthodes qu'on a développées dans le Chapitre précédent pour la résolution numérique des équations à une inconnue (séparation et approximation des racines) s'appliquent aux équations dont le premier membre est un polynôme ; on a pris soin, dans ce Chapitre, de faire remarquer comment, pour les équations de cette sorte, il était possible de compléter le théorème relatif à la substitution de deux nombres et le théorème de RoUe. Il me reste à développer quelques propositions importantes qui sont spéciales aux T. — II. i6

4o2 CHAPITRE XVI.

équations algébriques et qui se rapportent principalement à la séparation des racines (* ).

Le problème posé au n" 151 {Trouver le nombre de racines réelles d'une équation qui appartiennent ci un intervalle donnée a été complètement résolu pour les équations algébriques ; je me bornerai toutefois, sur ce sujet, à la règle des signes de Descaries el à ses conséquences.

286. Considérons une suite de n nombres réels, dont aucun n'est

nul,

on dit que deux termes consécutifs de celle suile présentent une variation (de signe) s'ils sont de signes contraires, qu'ils présentent une permanence (de signe) s'ils sont de mêmes signes. Le nombre de variations de la suite augmenté du nombre de permanences est e\idemment égal au nombre d'intervalles, c'est-à-dire à /i — i.

Les observations suivantes sont immédiates :

Si, entre deux nombres de signes contraires a, 6, on introduit un terme intermédiaire c, la suite de trois termes a, c, b présentera une variation, comme la suite a, b.

Si, entre deux nombres de mêmes signes a, 6, on introduit un terme intermédiaire c, la suite de trois termes a, c, b présentera deux ou zéro variations.

Revenons à la suite a, p, . . ., X.

Si, entre deux termes consécutifs de cette suite qui présentent une variation, on introduit un terme intermédiaire, la nouvelle suite ainsi formée présentera le même nombre de variations que la précédente.

(') Le but esl toujours de diminuer el de diriger les lâlonnemeots qui conduiscni à ces racines. On remarquera que, en Arithmétique même, c'est là le caraclèrc dcTrègles qu'on enseigne pour faire une division ou extraire une racine. On ne doit {w> se faire illusion sur la valeur pratique des expressions algébriques des racines d'unf t-quation, lorsqu'on possède de pareilles expressions. Pour les réduire en nombres, il faudra faire ces tâtonnements qu'enseigne l'Arithmétique, et il n'est pas inulilo d'observer que la iiicthode pour extraire une racine carrée, par exemple, qu'on qoaliiie d'abrégée, n'est que l'application de la méthode d'approximation de Newtoo. k rappelle encore que les expressions algébriques des racines d'une équation dn troisième degré sont inapplicables quand les trois racines sont réelles.

ÉQUATIONS ALGÉBRIQi'KS. 4o3

Plus brièvement, on dit que, en introduisant ce terme, le nombre de variations n'est pas altéré. De même, en supprimant un terme intermédiaire entre deux termes de signes contraires.

Si, entre deux termes consécutifs de même signe, on introduit un nouveau terme, le nombre de variations ne change pas ou est augmenté de deux unités! Si l'on supprime un des termes intermédiaires de la suite compris entre deux termes consécutifs qui ont le même signe, le nombre des variations n'est pas modifié ou est diminué de deux unités.

En supprimant dans la suite a, ^, . . ., a autant de termes intermédiaires que l'on veut, le nombre de variations reste le même, ou est diminué d'un nombre pair. En supposant que, dans la suite, on supprime tous les termes intermédiaires, pour ne garder que les termes extrêmes a, )., on arrive aux conclusions suivantes : si les termes extrêmes a, 'k sont de mêmes signes, la suite présente un nombre pair de variations, qui peut être nul. Si les termes extrêmes a, X ont des signes contraires, le nombre de variations de la suite est impair.

On ne change pas le nombre de variations d'une suite en changeant tous ses termes de signe ou en renversant l'ordre de tous ses termes.

J'arrive maintenant à l'énoncé du théorème (ou règle des signes) de Descarles.

Considérons un polynôme ordonné /(x) et appelons nombre de variations de ce polynôme le nombre de variations de la suite de ses coefficients (non nuls) : le nombre de racines positives du polynôme est égal ou inférieur au nombre de ses variations ; la différence entre ces deux nombres est paire. Chaque racine doit être comptée pour autant de racines qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

L'une des démonstrations que l'on a données *de ce théorème permet de le rattacher au théorème de Rolle : c'est celle qui suit.

Je supposerai toujours dans ce qui suit que le polynôme considéré n'a pas de racines nulles. Si ce polynôme était divisible par xP^ on n*aurait qu'à supprimer le facteur a:/'; le polynôme auquel on parvient ainsi a les mêmes racines positives et le même nombre de variations que le polynôme proposé.

La seconde partie de l'énoncé s'établit immédiatement en substituant o et -{- 00 dans f{x) : si les deux coefficients extrêmes sont de

4o4 CHAPITRE \VI.

mêmes signes, le poljnome/(ar) a un nombre pair (peut-être nul) de racines positives; il présente alors un nombre pair de variations; si les deux coefficients extrêmes sont de signes contraires, le polynôme a un nombre impair de racines et de variations ; dans les deux cas, la différence entre le nombre des racines et le nombre des variations est paire.

Observons encore que le théorème de Descartes est évident pour les équations du premier degré; le lecteur n'aurait aucune peine à constater qu'il est encore vrai pour les équations du second degré.

Admettons qu'il soit vrai pour les polynômes de degré n — i ; je vais établir qu'il est vrai pour un polynôme quelconque f{x) de degré /i. Il est vrai, par hypothèse, pour la dérivée /"'(x), qui esl de degré n — i . Je désignerai par V et V les nombres des variations des polynômes f{x) et f'{x) que je supposerai ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de la variable. Le premier coefficienl de/{x) [et de /'(x)] est supposé positif. Les coefficients de/'(j:) sonl ceux dej\x) multipliés par des nombres positifs : toutefois, il ny a pas, dans f'{x)^ de coefficient correspondant au terme conslanl def{x). Le nombre de variations de f'{x) est le nombre de variations de la suite des coefficients de/(j:), dont on a supprimé le dernier. On a V= V ou V = V'+i, suivant que les deux derniers termes de f{x) présentent une permanence ou une variation.

Soient ai, a^t ..., ap les racines positives de f{x) rangées par ordre de grandeur croissante, avec les ordres de multiplicité oli, a,, ..., ttp. Le nombre de racines positives de f{x)^ en tenant compte de leur ordre de multiplicité, est P = ai -f- aa-i-...-ha/»î elles fournissent, ainsi qu'il a été expliqué au n^ 253,

«1 — i-hai— i-h...-»-a^— I = P— />,

racines positives de la dérivée, communes à J\x) el à f{x). En vertu du théorème de RoUe, il y a d'ailleurs au moins une racine de f'{x) intérieure à chaque intervalle de la suite a^ a2, ..-, «/►c'est-à-dire au moins p — i racines positives autres que celles qu'on a déjà comptées; il peut encore s'en trouver entre o et a, entre ap et H- 00. En résumé, si l'on désigne par P' le nombre de racines positives de f'{x), on a

P'= P — /7 -h /? - I -H A: = P — iH- A'

KQUATIONS ALGÉBRIQUES. 4^^

en désignant par k un entier positif ou nui; le théorème de Descartes s^appliquant par hypothèse à la dérivée, on a

P,^yt<V', p<V'-hi-A^lV'-i-i^V + i;

si P n'était pas inférieur ou égal à V, il faudrait donc qu'il fût égal à V -h I ; mais cela est impossible, puisque, alors, la différence entre P et V serait impaire. Le théorème est démontré.

Quand il n'y a pas de variations, il ne peut y avoir de racines positives, en vertu du théorème précédent : cette conclusion est évidente a priori, puisque, alors, tous les termes du polynôme sont de même signe quand x est positif : leur somme ne peut être nulle.

Quand il y a une variation seulement, il y a au plus une racine positive : il y en a sûrement une, puisque les termes extrêmes du polynôme sont de signes contraires. Dans ce cas encore, la démonstration directe esl aisée.

Le polynôme /(^), en effet, si l'on suppose qu'il commence par un terme positif, peut s'écrire sous la forme f[{x) — A(x) en désignant par g{x) el h{x) des polynômes ordonnés à termes tous positifs et pour lesquels le degré du second est inférieur au degré r du dernier terme de g{x)] on a alors

xf X'' X'' *

supposons que, dans le second membre, on ait effectué la division par x'" de chaque monôme de g{x) et de h{x)\ tous les termes

de ^ ont des exposants positifs ou nuls, tous ceux de — ^^ — - ont des

exposants négatifs; lorsque x croît par valeurs positives, \. croit^

J décroît; il en résulte que '^ , est constamment croissant et ne peut s'annuler qu'une fois; d'ailleurs le polynôme fi^x) s'annule certainement puisqu'il a des valeurs de signes contraires pour a: = o et ar = + 00.

La règle due à Descaries permet d'obtenir une limite du nombre de racines négatives de l'équation /(j?) = o, lesquelles ne sont autres que les racines positives de la transformée en — x, /( — j?) = o,. changées de signe. Dans ce qui suit, je désignerai par V et V| les nombres respectifs de variations de la proposée et de la transformée^

4o6 CHAPITRE XVI.

par P, P, les nombres respectifs de racines positives de l'une et de l'autre; P| est le nombre de racines négatives de la proposée. On a P^V, P,£V, ; les différences V — P, V, — P, sont des nombres pairs ; V -h V| est une limite supérieure du nombre de racines réelles de l'équation proposée (qui n'a pas de racines nulles); si n est le degré de celte équation, on voit que le nombre de ses racines imaginaires est égal ou supérieur à n — V — V,.

Considérons^ par exemple, l'équation

elle a une racine positive puisqu'il y a une variation et une seule; la transformée en — xa deux variations; la proposée a zéro ou deux racines négatives; elle a une ou trois racines réelles; elle a deux ou quatre racines imaginaires. Considérons encore l'équation

a?« -h axP H- 6 = o,

où l'on suppose n^ p.

\* Supposons n et p pairs, il y a évidemment autant de racines positives que de racines négatives. Si a et 6 sont positifs, il n'y a pas de racines réelles; si a et 6 sont négatifs, il y a une racine positive et une négative; de même si a est positif et b négatif. Si a est négatif et b positif, il peut y avoir deu% ou zéro racines positives.

2" Supposons n et p impairs; la transformée en — a? est x**-h axi* — 6=0. Si a est positif, il n*y a qu'une racine réelle, qui est de signe contraire à 6. Pour a < o, 6 > o, il y a une racine négative, zéro ou deux racines positives. Pour a < o, 6 < o, il y a une racine positive, zéro ou deux racines négaiive-^.

3* Supposons n pair et /> impair ; la transformée en — a: est x** — ax/'-H6==o. Si b est positif, il y a zéro ou deux racines réelles; s'il y en a deux, elles sont de signe contraire à a. Si 6 est négatif, l'équation proposée a une racine positive et une négative.

4* Supposons n impair et /> pair, la transformée en — x est x" — axP — b = 0. Si b est positif, il y a une racine négative, zéro racine positive si a est positif et, si a est négatif, zéro ou deux racines positives. Si b est négatif, il y a une racine positive, zéro racine négative si a est positif, zéro ou deux si a est négatif; en tout trois racines réelles au plus.

On peut faire, sur l'évaluation de la somme V-f-V,, quelques remarques générales qui nous conduiront, en particulier, à cette conséquence importante :

Le nombre de racines positives d'une équation dont toutes les

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. f\Oy

racines sont réelles est égal au nombre de variations du premier membre de cette équation.

Considérons deux termes consécutifs de f{x)\ soit 3 la diflTérence de leurs degrés; soit 8' le nombre d'unités que ces deux leimes apportent dans la somme V + V| ; S' est nul si les deux termes considérés présentent une permanence dans f{x) et dans /( — x)\ 8' est égal à I s'ils présentent une permanence dans l'un des polynômes et une variation dans l'autre ; 8' est égal à 'à si les deux termes présentent une variation dans f{x) et dans /( — x).

Supposons 8 impair : l'un des termes consécutifs est de degré impair et change de signe quand on change x en — x\ l'autre terme est de degré pair et ne change pas de signe; si les deux termes présentent une variation dans l'un des polynômes f{x)^ f{ — x)^ ils présentent une permanence dans l'autre ; on a 8'=: i .

Si 8 est pair, les deux termes sont de degré pair ou de degré impair; quand on change :r en — x^ ils ne changent ni l'un ni l'autre, ou bien tous deux changent de signe : on a 8'= o si les deux termes, dans f{x)^ présentent une permanence; on a 8'= 2 s'ils présentent une variation.

Dans tous les cas 8 — 8' est un nombre pair, positif ou nul.

V -h V| est égal à la somme des différents nombres 3' qui correspondent aux divers couples de termes consécutifs de f{x) ; c'est ce que j'exprimerai en écrivant