V-+-Vi=/i — ^a, P = V-~>ip, Pi=Vi-9.Pi

On en conclut

4o8 CHAPITRE XVI.

Comme on a d'ailleurs /? = P -h Pj -f- 2I, en désignant par 2I le nombre de racines imaginaires de f{x)^ on a

si l'on sait d'avance que 2I est nul, on sera assuré que a, ^, ^1 sont nuls; ^ et p, étant nuls, on a P = V, P, = V, ; le nombre de racines positives de l'équation proposée est égal au nombre de variations qu'elle présente.

Dans le cas général il y a au moins un nombre de racines imaginaires égal à

Pour une équation donnée, il est très aisé de déterminer le nombre n — V — V, et d'obtenir ainsi une limite inférieure du nombre de racines imaginaires. L'expression 2(8 — 8') n'est pas non plus sans intérêt; comme les nombres 8' sont au plus égaux à 2, on voit que, dans une équation dont toutes les racines sont réelles, aucun nombre 0 ne peut dépasser 2 ; aucun nombre 8 ne peut être égal à 2 si le nombre correspondant 8' est égal à o, c'est-à-dire si les deux termes consécutifs dont les degrés diffèrent de S = 2 unités ont des coefficients de même signe. Entre deux termes consécutifs d'un polynôme f{x) dont toutes les racines sont réelles, il ne peut manquer plus de deux termes ; si les coefficients des deux termes consécutifs sont de mêmes signes, il ne peut en manquer deux.

Lorsqu'on sait qu'une équation a toutes ses racines réelles, on reconnaît immédiatement le nombre de ses racines positives et le nombre de ses racines négatives.

Pour une telle équation, il est aisé de reconnaître combien de racines réelles sont supérieures à un nombre donné a ; en effet, les racines du polynôme f{x-\-a) sont les racines du polynôme /(>) diminuées de a ; le nombre de racines de .f{x) supérieures à a sera donc le nombre de racines positives du polynôme

/(^ -^ «) = /(«; H- Y/'(a) -4- f^/'Ca) -..•-+- — ^!!— /uj(«).

c'est-à-dire le nombre de variations p de la suite d'où Ton a supprimé les termes nuls, s'il y a lieu.

De même, le nombre de racines de Téquation supérieures à b est donné par le nombre p' de variations de la suite

Le nombre de racines comprises entre a et 6 est donc r — r', en supposant a <,b.

Ce théorème ne s'applique qu'aux équations dont toutes les racines sont réelles : dans le cas général, on démontre que le nombre v — i/y calculé comme on vient de l'expliquer, est supérieur ou égal au nombre de racines comprises entre a et 6, et que la différence entre v — v' et le nombre de racines est paire ; je me borne à énoncer ce théorème, qui est connu sous les noms de Budan et de Fourier.

Une autre transformation que celle qu'on vient d'indiquer permet de trouver, au moyen du théorème de Descartes, une limite supérieure du nombre de racines d'une équation donnée f{x) = o comprises entre deux nombres donnés a et 6 (rt < 6).

Si Ton pose y = ,—— , il est clair que, lorsque x croît de a k b, y

croît de o à H- 00 ; pour les autres valeurs de x^yesl négatif; le nombre de racines de l'équation /(x) = o qui sont comprises entre a et b sera

donc égal au nombre de racines positives de l'équation /( ^) = o;

on mettra cette équation sous forme entière, on comptera le nombre de variations et l'on obtiendra ainsi un nombre égal ou supérieur au nombre de racines de l'équation f(^x)= o qui sont comprises entre a et 6; si l'équation en x avait toutes ses racines réelles, il en serait de même de l'équation en j^ ; le nombre de variations de celte dernière donnerait exactement le nombre de racines de l'équation en x coinprises entre a et b.

Exemples. — L'équation

a ses quatre racines réelles (n° 198).

En chassant les dénominateurs et en ordonnant, elle prend la forme

x^ — 7^7' — 507* -h x^jx — 2 =o;

on voit, par le théorème de Descartes, qu'elle a trois racines positives et une racine négative. En désignant son premier membre par/(a7), on a

^fix) = 6j7*— ïia: — ."»

Cherchons, par exemple, combien il y a de racines entre o et i,5. Ce nombre est égal à la différence de variations entre les deux suites

c'est-à-dire 3 — 1=2. Il 3' a donc deux racines positives entre o et i,5. On sait d'ailleurs (n** 198) que les racines de l'équation proposée sont respectivement situées dans les intervalles de la suite

— 2, —I, 1, 2, -+-oc;

puisqu'il y a trois racines positives, la racine comprise entre — i et 1 est certainement positive; comme il y a deux racines comprises entre o et i,5, on voit aussi que la racine comprise entre 1 et 2 est comprise entre ï et i,5. Considérons Téquation

Le théorème de Descartes n'apprend rien sur cette équation, si ce n'est qu'elle ne peut avoir de racines positives, ce qui est d'ailleurs évident. Mais on sait (n°229) que le premier membre^ multiplié par {x — i)^, devient

Ce dernier polynôme admet les racines de l'équation proposée et, en plus la racine i, qui est double. Il a d'ailleurs deux variations. Les racines négatives de ce polynôme, s'il en a, sont les mêmes que les racines de l'équation proposée; or la transformée en — x n'a pas de variations si n est pair; elle en a une si n est impair; l'équation proposée a donc une racine réelle, et une seule, dans ce dernier cas. Elle a toutes ses racines imaginaires quand n e^t pair.

287. Limites des racines. — Il est utile, afin de diminuer le nombre des essais à faire pour séparer les racines d'une équation, de savoir trouver des limites entre lesquelles elles soient certainement comprises.

J'indiquerai d'abord un procédé pour trouver une limite supérieure de la valeur absolue des racines réelles ou imaginaires d'une équation à coefficients réels ou imaginaires, plus avantageux que le procédé un peu grossier que l'on a indiqué aux Chapitres M et VII.

Soient

f{x) = ay^-f-aiar''-^^-. . .-h an^\X -h an

un polynôme quelconque et a un nombre réel, supérieur à i et au moins égal à la plus grande des valeurs absolues des coefficients ûfi, . .., rt«i, rt/i. Si l'on désigne par x' la valeur absolue de x^ on aura évidemment

|/(a?) I â ar'» — af a?'»-» M- a?'"-» -H . . . -+- 1 ).

est

Supposons J7^> I, le second membre de l'inégalité précédente, qui

, , , / aix'**" — i) 1 1

égal a jt" ,^ — - > est plus grand que

, aa?''* x'^{x' — I — a) X n j = .

On a donc

I fi^) I > ""'^^-'-'^>

et, si l'on a x'^i -+- a, on sera certain que J {x) ne peut être nul; a -H I est donc une limite supérieure des valeurs absolues des racines de l'équation proposée; en particulier, les racines réelles sont comprises entre — i — a et i 4- a, ces expressions sont commodes à cause de leur grande simplicité; on peut toutefois en trouver de meilleures. Je me borne, dans ce qui suit, aux équations à coefficients réels et à leurs racines réelles.

Je vais montrer comment, pour une équation à coefficients réels, on peut obtenir une limite supérieure des racines réelles. En cherchant, pour la transformée en — .r, une pareille limite, puis en changeant le signe du résultat, on aura évidemment une limite inférieure des racines de la proposée. Lorsque l'équation proposée a des

racines positives, on peut se servir de la transformée en - pour avoir

une limite inférieure de ces racines : on n'a qu'à prendre l'inverse de la limite supérieure des racines positives de cette transformée. Je me borne donc à la recherche d'une limite supérieure des

4l2 CHAPITRE XVI.

racines de Féquation proposée. Je supposerai que le coefficient de la plus haute puissance de x soit positif, en sorte que le premier membre /(x) de l'équation soit positif pour x positif et très grand. Il suffit de trouver un nombre A tel que Ton ait certainement /(x) > o pour X ^ A.

Si l'on avait une pareille limite A' pour les racines de Féquation dérivée /' (j:) = o, on serait sûr que, pour x > A', la fonction /(o^) est croissante ; tout nombre supérieur ou égal à A' qui la rend positive est une limite supérieure des racines dey*(x ) : on substituera, dans f{x)^ Pi! à la place de ;r ; si le résultat est positif, A' sera une limite; sïf{hl) est négatif, on substituera à la place de x des nombres plu^ grands que A', par exemple des nombres entiers croissants, jusqu'à ce qu'on en trouve un qui rende /(j?) positif.

Supposons que f{x) soit de degré /i; sa dérivée /i**"* est une constante positive, sa dérivée (/i — ly*™» est du premier degré; on obtient de suite sa racine ou un nombre plus grand; on en conclut, par le procédé qu'on vient d'indiquer, une limite supérieure des racines de /f'»"2^j7, puis de/<"~»^:r, . . ., enfin de f{x).

Considérons, par exemple, l'équation

a?*— 7a:* — 5x»-f- igar — a = o;

la racine de /'"(a:) est ^ <'2; en substituant 2 et 3 dans {•/'(^r), on trouve des résultats négatifs; mais, pour a: = 4, le résultat est positif; 4 est une limite supérieure des racines de /"(a?); en substituant 4 dans/'(x), on irou^e un résultat négatif; mais, pour a? = 5, le résultat est positif; 5 est une limite supérieure des racines de f'{x)\ 5, 6 et 7 substitués dans /{x) donnent de* résultats négatifs; 8 donne un résultat positif; c'est une limite supérieure Hts racines; les essais qui précédent montrent en outre que la plus grande racine est comprise entre 7 et 8.

Le procédé suivant donne d'ordinaire une limite un peu moin^ bonne que l'application de la règle qu'on vient d'expliquer et qu' est due à Newton, mais il est d'une application plus rapide.

On observera d'abord que, si un polynôme ^{x)j dans lequelle premier coefficient est positif, a une variation et une seule, et, par conséquent, une racine positive et une seule, tout nombre a qui, mi^ à la place de a?, donne un résultat positif, est plus grand que celle racine. Pour un tel polynôme on obtiendra la limite cherchée par de> essais successifs.

ÉQUATIONS ALGÉBRlQt'ES. 4 13

Soit maiatenanl un polynôme f{x)^ dont je suppose que le premier coefficient soit positif; on le décomposera en une somme de polynômes

<pi(^) H- ?t(^) -^. . .-+- ?/»(ar),

dont chacun est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x^ commence par un terme à coefficient positif et ne comporte qu'une variation; le dernier peut n'en comporter aucune mais doit toujours, bien entendu, commencer par un terme à coefficient positif. On cherche un nombre ax supérieur ou égal à la racine positive de 0| (j7), un nombre «2 supérieur ou égal à la racine positive de Ça .r), ..., un nombre ap supérieur ou égal à la racine positive de ?/»(^)î s'il y en a une; si <fp{x) n'a pas de variation, on prendra ap=:o. Le plus grand des nombres a^, a^, .-., ap sera une limite des racines de/(a:), car pour les valeurs de x supérieures à ce nombre, chacun des polynômes «pi(^), 'f2(^)î •••> ?/>(^) sera positif.

Par exemple, dans réqualion qu'on vient de traiter, on peut prendre

<ï>,(ar) = ar*— 7ar»— 5.r% <p,(a:) = 19^7 — 2;

le nombre 8, mis à la place de or, rend ^i{oc) et Oi(a:) positifs; c'est une limite supérieure des racines positives de Téquation proposée.

Cherchons une limite inférieure des racines positives, et, pour cela, une limite supérieure des racines positives de Téquation

2a?*— iga:' -h 5a?* H- 7a: — I = o, on peut prendre ici

{p,(a7) = 23^*— 19J:', cpj(ar) = 5a:*4- 75: — I ;

•^ annule ^i{^) et rend 71(27) positif.

Le nombre -f^ ou le nombre plus petit 0,1 peut donc servir de limite inférieure des racines positives.

288. L'utilité des propositions et des méthodes exposées dans les deux numéros précédents pour la séparation des racines d'une équation algébrique ressort suffisamment.

Il convient de remarquer que, pour une telle équation, on peut toujours supposer qu'elle n'a plus que des racines simples; il suffit

4l4 CHAPITRE XVI.

de lui appliquer la méthode du n** H9. Je ne reviens pas sur le parti qu'on peut tirer du théorème de RoUe.

Le théorème de Descartes fournit un premier renseignement sur le nombre de ses racines positives et négatives. Après avoir déterminé des limites supérieure et inférieure de ces racines, on cherche à séparer ces racines, par exemple en substituant dans le premier membre des nombres, que Ton se gardera de prendre en dehors des limites; lorsqu'on sait que toutes les racines sont réelles, on peut procéder régulièrement dans cette recherche, puisqu'il est alors aisé de connaître le nombre de racines contenues dans un intervalle. Les racines étant séparées, on cherche, par de nouvelles substitutions, à resserrer suffisamment l'intervalle dans lequel chaque racine est enfermée pour qu'on croie pouvoir appliquer utilement quelqu'une des méthodes d'approximation.

Il peut se faire qu'une équation algébrique ait des racines rationnelles, et il importe de savoir déterminer exactement ces racines.