Recherche des racines rationnelles. — Soit

Ajar"-r AiJ7"-' -t- . . . -h An = o

une équation à coefficients entiers (*), dont je désignerai le premier membre par f{x). Supposons qu'elle admette une racine rationnelle — > les nombres entiers p et q étant premiers entre eux; le cas où q serait égal à i n'est pas exclu. Le poljnomey(a:) est divisible par a: — — ou par qûp — /?. Ce dernier polynôme éianii primili/, au

sens du n" oo, la division ne doit introduire au quotient aucun terme fractionnaire; en particulier, Aq et A« doivent être respectivement divisibles par q et/?, puisque le premier et le dernier coefficients du quotient s'obtiennent en divisant respectivement A© et A« par q et par — p] d'ailleurs, les coefficients du quotient de la division par

ç' x — p sont les coefficients du quotient de la division par x — - res-

(*) Lorsque les cuerficients d'une équalion sont des nombres rationnels, on n'a qu'à multiplier lous les coefficients par un nombre convenable pour les rendre entiers. Quant au cas où les coeflicienis sont irrationnels, il n'y a pas lieu, en général» de s'en occuper.

ÉQUATIONS ALGÉBHIQUBti. 4l5

pecti veinent divisés par q\ d'où, en se reportant à la règle du n' 54, les conclusions suivantes :

Si la fraction irréductible —est racine de l'équation à coefficients entiers

Aoa7"H- AiiF«-^-+-.. .-h A„=o, les nombres

Bo=Ao, B,= Bo^-+-A„ Bj=B,^-+-A„ ..., B„, = B;,j ^ -+- A„-i sont entiers et dis^isibles par q^ le nombre

est nul(^)

Le quotient de/(a:) par x — — est alors

Boa'«->H-B,ar"-«-h...-+- B„,,

(') Ces proposilioos s'établissent directement. De la supposition A„ //• -h \, />«-' q~\-...-h \„q"=o on tire successivement

Les seconds membres sont entiers; les premiers doivent Tètre aussi; q est premier kp et, par conséquent, à toutes les puissances de p; en vertu de la première égalité, il divise A^, donc B^ est entier; en vertu de la deuxième égalité, q divise B^ donc Bj est entier; la dernière égalité montre à la fois que q divise B^.j et que p

divise A^. La condition B,^= o exprime que — est racine de Téquation f{x) = o.

4l(î CHAPITRE XVI.

et le quotient de/{x) par qx — /? est

Bi ^«-' -h B', x«-« H- . . . -+- b;, ,

en désignant par B^, B', , . . ., B^j les quotients de la division parj des nombres Bo, B|, ..., B;,, ; les nombres BJ^, BJ, ..., B^,, sont entiers.

Pour essayer une fraction — j afin de reconnaître si elle est racine

de l'équation /(a:) = o, on écrit sur une ligne horizontale les coefficients

Ao, A|, Aj, ..., Art-i, A«

de cette équation, en ayant soin de remplacer par des zéros les coefficients manquants ; sous le premier coefficient A© on écrit B'^ = — ; B'^, que l'on écrira sous Aj, est égal à —2-^ -, chacun des coefficients Bj, Bj, ..., B^,^ se déduit du précédent en le multipliant par />, en ajoutant celui des nombres Aq, A|, ..., Art i au-dessous duquel on doit le placer, et, en divisant la somme par q ; le nombre B^, formé d'après la même loi, doit être nul.

Si l'un des coefficients que l'on est amené ainsi à écrire n'est pas

entier, ou si B)^ n'est pas nul, — n'est pas racine de l'équation.

Si ~ est racine de l'équation /(x) = o, -^ sera racine de la transformée en - j c'est-à-dire de l'équation

A/iiT^-h A^-ia?»-»-!-. . .-i- Ao= o.

On pourra aussi bien s'adresser, pour un essai, à cette équation qu'à la proposée; d'où une nouvelle suite de conditions que je me dispense de répéter, et qu'on trouverait d'ailleurs aussi en faisant la division du polynôme /(^), ordonné suivant les puissances croisliantes de x par p — qx. C'est à la dernière équation qu'il faudra s'adresser si l'on veut essayer un nombre entier /?, parce que, ainsi, on peut être prévenu plus tôt, en rencontrant un coefficient fractionnaire, que l'essai ne doit pas réussir. Pour la même raison, c'est la première méthode qu'il faudra suivre si l'on veut essayer une fraction

de la forme -• D'une façon générale, on choisira plutôt la première

ÉQUATIONS ALGBBRIQLKS. 417

méthode ou la seconde suivant que p est plus petit ou plus grand queçrC*).

Les nombres rationnels à essayer sont, d'ailleurs, en nombre limité : pour les obtenir, on cherchera les diviseurs de Aq et de A,,, on formera un tableau contenant tous les diviseurs de A„ et toutes les fraclions ayant pour numérateur un diviseur de A„, pour dénominateur un diviseur de Aq; toutes ces fractions devront être réduites à leurs plus simples expressions; tous les nombres du tableau seront afrect:''S des signes -h et — , on ne gardera que ceux qui sont distincts.

On supprimera tous ceux qui seraient en dehors des limites assignées aux racines.

Voici une remarque à l'aide de laquelle on peut éliminer certains des nombres à essayer :

Soit — une fraction irréductible (le cas où q est égal à i n'est pas

exclu). Soit 'f (^) le quotient de la division du polynôme /(a:) par y.r — />, quotient qui doit avoir tous ses coefficients entiers. L'identité f{x) = [qx — /)) 'f (j?) montre que, si l'on attribue à x une valeur entière quelconque, le nombre entier f{x) doit être divisible par le nombre entier^ x — p. En particulier, les nombres entiers fy\) et /{ — i) doivent être respectivement divisibles par q — p

et q •+-/>; on rejettera ceux des nombres — qui ne satisferaient pas à

cette condition; en particulier, on rejettera les nombres entiers /> tels que p — i et p -{- ine divisent pas l'un et l'autre les nombres /( i >

Remarquons enfin qu'on peut toujours ramener la recherche des racines rationnelles à la recherche des racines entières : en effet, une équation à coefficients entiers étant donnée, on peut toujours, en multipliant ses racines par un nombre entier convenablement choisi,, la remplacer par une équation, à coefficients entiers, dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x soit égal à i. Pour une pareille équation, les racines rationnelles sont nécessairement entières. Il ne restera plus, après avoir calculé ces racines entières,.

(') Cela n'a rien d'absolu, surtout si la fraclioo -^ est voisine de i en valeur

absolue . si q était un nombre premier, ce serait une raison pour choisir la première méthode.

4l8 CHAPITRE XVI.

qu'à leur donner comme dénominateur le nombre entier par lequel on a multiplié toutes les racines de la proposée.

La remarque suivante permet quelquefois de reconnaître rapidement qu'un polynôme /(ar), à coefficients entiers, n'a pas de racines entières. Soit m un nombre naturel quelconque : on reconnaît de suite que, si deux nombres entiers a et ^ donnent le même reste quand on les divise par m, il en est de même des deux nombres entiers/(a), /(6). Il résulte de là que, si l'on substituait dans/(a7), à la place de x, tous les nombres entiers de — œ à -h oc, ei si l'on calculait les restes de la division par m, les restes se reproduiraient périodiquement de m en m (*); pour obtenir tous les restes possibles, ii suffira de substituer, dans/(j?), m nombres entiers consécutifs.

Ceci posé, l'un de ces rentes doit être nul si f{x) admet une racine entière a, à savoir le reste qui correspond à celui des nombres substitués qui, divisé par m, donnerait le même reste que a.

Si donc, parmi les m résultats de substitution, aucun n'est divisible par m, on est sûr que l'équation /"(j?) = o n'a pas de racines entières.

En particulier, si les deux nombres /(o) et /( i ), ou /(o) et/(— i) sont tous les deux impairs, l'équation /(a: ) = o n'a pas de racines entières; elle n'en a pas non plus si aucun des trois nombres /(— i), /(o), /(i) n'est divisible par 3. La première de ces conclusions s'établit sans peine directement.

Exemple. — Soit

/{x) = -28a7«-+-i36ar»— 33îar*— i53ua:» - i i8a?»— i666j: -h -245

le premier membre <Ie l'équation proposée; d'après le théorème de Descarte5. il peut y avoir, au plus, deux racines positives et deux racines négatives. Le polynôme

Îi8j:«-hi36ar5-,335ar*— i53oa:»— ii8a:»— i666a7

n'a qu'une variation; il est positif pour a? = 4 ; il en est de même a fortiori de/{x) pour les valeurs de a? égales ou supérieures à 4; 4 est une limite supérieure des racines (n* 287).

On a d'ailleurs

/(— a') = a:*(28a:«— i36a?-335)-+-a?»u53oar-ii8)-+-ri666a:-h 24'>)-

La première parenthèse est positive pour a?= 7, il en est de même des deux autres polynômes placés entre parenthèses : — 7 est une limite inférieure de-* racines de l'équation proposée. Je me dispense de chercher une limite inférieure des racines positives, une limite supérieure des racines négatives.

(») La période peut d'ailleurs être plus courte; le nombre de termes qui la composent est nécessairement un diviseur de m.

Les diviseurs de 28 et de 2^5 sont respectivement

I, 2, i, 7, II, 28; I, 7i 49^ 5, 35, 245.

Les nombres distincts à essayer seraient, d'après cela,

±1 rbi ±1 ±1 ±1 ^

En supprimant ceux qui tombent en dehors des limites, et les nombres m (, déjà essayés, il reste

lizi :^i ±1 ±1 ±1 ±7 ±7 __ .

±5 ±j) ±5 ±^ 1 ' 4 ' Il ' 28 '

La règle relative à/(i),/(— i) permet d'écarter les nombres

:i ±1 zb- rizj

il reste à essayer

±1 ±1 itzi ±7

Les essais relatifs à - ^ -> - sont figurés ci-dessous; on s'est arrêté dès qu'on a pu voir que le terme suivant ne serait pas entier.

28 i36 — JJô — 1 53o —118 —I ()()() 245

L'essai a réussi pour - et les nombres écrils en dernier lieu sont les coeffîcients du quotient dt/{x) par yx — i ; on remplacera, dans les essais ultérieurs,/(:r) par ce quotient, qui est plus simple. 11 n'y a pas lieu d'essayer une

seconde fois - puisque y ne divise pas 4- Pour essayer -> au lieu de faire la

division par ix — 7, les polynômes étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de Xj on essaiera la division du polynôme ordonné par rapport aux puissances croissantes par 7 — ^x : le calcul est indiqué ci-dessous :

245 49 aî*5 4j — 20 —4, 35 17 37 17 7. o.

L'essai réussit encore : - est racine de la proposée: on a les coefficients du

quotient de la division par 7 — qx] ordonné par rapport aux puissances crois-

santés de x; on peut se dispenser d'essayer- une seconde fois, car on savait,

par le théorème de Descartes, que l'équation /(x) ne pouvait avoir plus de deux racines positives; au surplus, sur le polynôme même auquel on parvient, on reconnaît qu'il ne peut y avoir de racines positives. Il ne reste pliH quà

essayer les nombres > — -j — 5; l'essai de -^ est inutile, puisque 7 ne

divise pas le coefficient 2 de la plus haute puissance de x; pour essajer — »

on fera la division par 7 -f- iir, les deux polynômes étant ordonnés suivant le* puissances croissantes de :r; le calcul est indiqué ci-dessous :

Il n'y a pas lieu d'essayer une seconde fois — -* il reste à essayer la division par 5 -h X qui donne les coefficients :

On voit que — 5 est racine et que le quotient est x^-^i. Finalement, on voit que Ton a

/(j-) = 9.8(j-— i ) l X — ^j (x -h '^ Ux -^ 5) (x^ -^ i)

On >oil que les essais sf» font assez rapidement : ils ne suppo'^enl iKillrmt'nl que Téquatioii considérée ait élé déi>arrassée de ses ncine^ nniltiplos. Tout au conlraire, quand on a affaire à une équation du

troisième degré ou à une équation du quatrième degré (dont le premier membre n'est pas un carré parfait), et que les coefficients de ces équations sont rationnels, il est souvent plus commode, au lieu de rechercher par la méthode du n° 119 leurs racines multiples, d'appliquer le procédé qu'on vient d'indiquer.

EXERCICES

^^^9. Résoudre l'équation

«achant qu'elle a deux racines dont la somme est — i.

. 290. Résoudre l'équation

fâchant qu'elle a deux racines dont le produit est égal à !• ^91. Résoudre l'équation

.t'-H ij!'»— iir — 9 = o, — ^3^-^^^ sachant qu'elle a deux racines symétriques.

g92. Résoudre l'équation

x^ — 0 ar* -h 1 1 ir — 6 = o,

sachant qu'elle a deux racines dont la différence est 'i. ^ ^

^293. Résoudre l'équation

x'^-h'yx^ — IX — aî = o ^ ^a -x

tachant qu'elle a deux racines dont le rapport est — 2.

£^94. Trouver, en partant des relations entre les coeffîcients et les racines, la condition à laquelle doivent satisfaire /? et ^ pour que l'équation x*-\-px-^q = o ail deux racines égales : cette condition étant vérifiée, résoudre l'équation. •> -,

293. Établir des formules, analogues à celles de Newton, qui donnent les sommes des puissances semblables négatives des racines d'une équation.

4 12 cuArmE xti.

296. Vérifier, en fnpposant ^(ar; =ir*-j-/^x — y, les ideautê« eutl^ -t

2^17. Calculer les coefficients de Téquation

jr* -^ Ax*-»- B^ — C = o

connaissant la somme des carrés, la somme des cubes et la somme de» qaatriémes puissances des racines de cette équation.-

298, Soil /Car; un polynôme dont on donne les coefficients et dont on déMçne les racines par a, b, c^ ..,,/.

Montrer, en développant en série ordonnée suivant les puissances croissantes

de - les deux membres de Tidentité a?

/'(ar) I I I

et en égalant dans les deux séries les coefficients d'une même puissance de - *

qu'on parvient à des formules qui donnent les sommes des puissances semblables positives de^ racines de l'équation /(x) =o.

En développant suivant les puissances croissantes de a?, on parvient à des formules qui donnant les sommes des puissances semblables négatives.

2i)9. Si une fonction symétrique entière des variables a,b^c^ . . ., / s'annule quand on y fait a = 6. elle est divisible par le produit des carrés des dilTérences de ces variables.

800. Si une fonction symétrique entière des variables a, b, c est divisible par le déterminant

rt« 6» c« .

elle est divisible par le carré de ce déterminant.