Le carré du déterminant (n
xZ-
ÉQUATIONS ALGBBRIQURS. 4^3
est un déterminant symétrique dont les éléments s'expriment au moyen des «ommcs Sot S|, Si, ..., Ss^-t ^^^ puissances semblables des variables Xi
•^ti • • • I ^n*
Déduire de là un moyen pour calculer le produit des carrés des différences lijs racines d'une équation du /ti^me degré dont on donne les coefficients. Appliquer à VéqMSLliefTx^-h px -+- ^ = o.
L2P2. Soient a, 6, c les racines de l'équation ar»— 3.r -+- r = o; former Téqualion dont les racines sont a»— 2, 6* — 2, c' — 2, et celle dont les racines sont ,1, ,__i, ,1. l)x^— ;iK4-7 = 0
Montrer que, si Ton forme la suite indéfinie . '
a, ai = a* — 2, aj = a} — 2, aj=a| — •>., ...,
les nombres a, ai, a^ sont différents : la condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait ap= a^, en désignant par p et q des nombres naturels, est que p — g soit divisible par 3.
Calculer les valeurs de a6'-h bc*-\- ca^, bà^-^cb^ -\- ac*.
303. Soit/(j:) =0 une équation du n'*"* degré et soit a une racine cubique imaginaire de l'unité.
Montrer que, dans le produit /( a: )/(aa?)/(a*a7), les termes dont le degré n'est pas divisible par 3 disparaissent.
Si l'on dési<^ne par <f(y) ce que devient ce produit quand on y remplace rr' par j^, l'équation ^{y) = o a pour racines les cubes des racines de l'équation proposée.
30i. Soii, en général. S» la somme des n**"" puissances des racines de
l'équation algébrique /(a:) =0; le rapport -5-^> quan<l n augmente indéfini-
ment, a pour limite celle des racines de l'équation /(x) = o dont la valeur absolue esi la plus grande, en supposant qu'il y ait une racine dont la valeur absolue dépasse celle de toutes les autres.
Si les co»»fficients de l'équation /{x) = o sont réels et si la racine qui a la plus grande valeur absolue est positive, cette racine est la limite de y/Sn quand n augmente indéfiniment (n» 2S6, à la fin). •
Former les équations qui ont pour racines les puissances 2, .{) S* (^ ^^^ racines de l'équation a?* — 3a?-hi = o : quel est l'ordre d'approximation que
l'on obtient en prenant \^, V^^s» V Si« pour la valeur de la plus grande racine positive de cette équation ?
