Soient a, 6, c les racines de l'équation

(I) x^-hpx-^ q — o,

supposées inégales.

Le polynôme du second degré

^'^ " {a^ b)ia — c) (b ^c)(b - a) (,c —a){c — b)

prend respectivement les valeurs b, c, a quand on y remplace respectivement a: para, ô, c (n» 67).

Montrer que ses coefficients s'expriment rationnellement au moyen àt p^ q^

Effectuer complètement les calculs en supposant /> = — 3, g = i.

Quel est le résultat de l'éliminalion de x entre les équations (i) et (2)?

312. On a appris, au n" 109, à former Téquation de degré n en a? que Ton obtient en faisant cosO = a7 dans Téquation cosnO = cosa, et dont

les racines sont les n valeurs que prend l'expression cos y quand on

y fait r = o, i, 2, ..., n — i. Déduire de celte équation les égalités

a a -f- 2 Tî a ^ !\TZ a - xi'y.m — \)t. ( - i ) wi — . cos a

cos cos cos . . . cos = ; j

'\m •>.m '>.in '}.ni -^tm-i

a a -+- -AU a -^- i r a -r~ '{imz cos n

cos ctis cos ... —

•xin -t- I 'i

toi

où m désigne un nombre naturel.

En remplaçant dans la première a par 2a et m par 2/>, en rapprochant dans les ^p facteurs du premier membre ceux dont les ar«;uments diffèrent de ir, puis en utilisant la relation sin2a~ = 2sinj7Cos.r, on parvient à Tégalité

d'nù

. .a . .a-4-TT . .a-^jTT . .a-H(p — Dtt sin*a

sm» - sin' sin* . . . sin* = — — -,

p p p p 'ftp—t

. a.a-t-7: . a. -^ ( p — 1)7: , sina

sin sin ... sin =± -•

Si l'on a o < ï < iT, on doit évidemment prendre le signe -h. Montrer que le

4».f» CHAPITRB XVI.

I apport

. a . a ^- T . OL-^ip — i)ir

fin — sin ... sin

sin z

lorsqu'on lui attribue sa vraie valeur pour les valeurs de a qui en annulent les cleu\ termes, est une fonction toujours continue de % : conclure de là et de

Tégalité précédente qu*il a toujours la valeur — ^*

En faisant tendre 2 vers o dans l'égalité

« . JL -t- Tz . a-^-?.T: i-r-ip — m: sini

sin — sm Mn ... sm = r>

Pi» /' P 2^-»

établir la relation

.•ir.2it.3ir . {p — \)T, p

?in — sin — sin — . , . .«in -^-- — -^ — r»

d'où Toq déduira

?: . -211 . 3ir . pit J'xp -^ \

sm sin sin . . . sin — — — '

ip - I xp -h I ip-r-i 'ip -^ \ Àt'