Résoudre les syslcmes

/ y^ — xy -h 'XX -+- y — 3 = o,

( xy — IX — iy H- i = o.

Pour chacun de ces systèmes, l'équation enx, obtenue en éliminant j^, admet des racines multiples.

On appliquera à ces exemples les deux méthodes expliquées dans le n" â83.

3S0. Résoudre le système

yz — x*= a, za- — r* = 6 , xy — z^ = c.

321. Soilf(x) = o un polynôme du degré n, dont toutes les racines soient réelles et distinctes : il en est de même du polynôme

/(a7)-+-a/'(ar)=o

où a est une constante (réelle) quelconque; du polynôme

/(^) + SJ'(X) -h S^fix)-^ ... -h Srf^^^(x)

OÙ 5i, 5}, . . ., S,, sont les r premières fonctions symétriques élémentaires de n constantes réelles quelconques. On suppose r < n.

322. Soit /(a?, y) un polynôme homogène en a;, y de degré n; on appellera, dans ce qui suit, racines d*un tel polynôme les valeurs du rapport — pour lesquelles il 5*annule.

Si le polynôme f^x^y) a ses n racines réelles et distinctes, les polynomes/i, fy^ fx*^fxyyjy*ifjc*t -- • ont aussi leurs racines réelles et distinctes. Il en est de même des pofynomes

où x\ y' sont des constantes réelles quelconques, et, en général, du polynôme (p^n)

OÙ la puissance /?**"" est symbolique (n" ^).

Si dans chacun de ces polynômes on regarde x, y comme des constantes et x\ y comme les variables, les polynômes en x\ y* ont encore leurs racines réelles et distinctes. *

Le polynôme

a toutes ses racines imaginaires.

Dans le cas oiifix^y) est du troisième degré, on obtient la condition nécessaire et suffisante pour que ce polynôme ait ses trois racines réelles en écrivant que les racines du polynôme H sont imaginaires.

43o CHAPITRE XVI.

323. Trouver quatre nombres en progression géométrique connaissant leur produit et leur somme.

32 i. Soit ABC un triangle rectangle en A, dont on désignera les côté>, opposés aux angles A, B, G, par a^ b^ c.

Soient AA', BB', GC les bissectrices intérieures limitées aux côtés. Déterminer ce triangle connaissant

i" a et AC',

1^ BB' et CC\

3» a et AA'.