Nombre de racines réelles des équations

(x •+- n — I )" — n"x = o, 'Jl{x -^ n — I y*-^^ — n" ( n -h i) X* — ai'*( 2 n — i ) = o.

326. En égalant les parties réelles et les coefficients de / dans les deux membres de Téquatioa

{x-h yi)^= A-T-Bi,

où A, B, x^ y sont supposés réels, on parvient aux deux équations

rr' — 3j-^'= A, ^x^y - ^»=- B;

éliminer j^ entre ces deux équations; on parvient à une équation du neu^iéine degré en x, qui se réduit au troisième en posant 0?'= u. Montrer que les trois racines de l'équation en u sont réelles. Comment, de la résolution de cette équation, pourrait-on déduire les racines cubiques de A + Bi?

327. Soit f{x) un polynôme du troisième degré, à coefficients réels: soient a, p les racines de la dérivée y* (ar).

D'après le théorème de Rolle, si les trois racines def{x) sont réelles et distinctes, les nombres a, p sont réels et distincts et l'on a/(a)/(P) < o.

Montrer, réciproquement, que cette dernière inégalité implique, d'une part, la réalité des nombres a, p; d'autre part les deux inégalités /(a) <o,/(^)>o. en supposant a < p et le coefficient de a?* positif dans/(ar): ce dernier point résulte de ce que la dérivée est négative dans l'intervalle (a, P).

Conclure de là que la condition /(a) /(P)< o est nécessaire et suffisante pour que le polynome/(j') ait ses trois racines réelles et distinctes. Exprimer cette condition au moyen des coefficients de/(x).

KQUATIONS ALGÉBRIQUES. 4^1

Soit X la racine du reste de la division de /(a?) par f{x) : la condition f{^)f{^) < o revient à dire que le nombre /'(X) doit êlre de signe contraire au coefficient de ar» dans/(.r).

3:^8. Soity(:r)=o une équation du quatrième degré, à coefficients réels, (loQt les quatre racines sont réelles et distinctes, et dans laquelle le coefficient de x^ est positif. Montrer que l'équation du troisième degré en^ obtenue en éliminant x entre les équations

a une variation et deux permanences.