Soit

/{x) = x^-^ ^ax^-^ ijbx^-h i\cx -{- ff

un polynôme du quatrième degré à coefficients réels : on a

/(•^)= ï/'(^)(x-i-rt)-h R(x), en posant

R(x) = ^(b —a^)x*-J,-'S{c— ab)x~h d— ac.

Montrer que, si les quatre racines de/(x) sont réelles et distinctes, les deux racines ai, Sj cle K(x) sont aussi réelles et distinctes et que l'on a b — a' < o.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation /(^) = o ait ses quatre racines réelles et distinctes sont

exprimer au moyen de a, 6, c, d les premiers membres des deux tiernièrei inégalités.

330. Soit ^(x) un polynôme de degré n dont toutes les racines sont réelles et distinctes; soient a^ b, , . ., l ces racines.

Tout polynôme ffix) du degré n — i dont les racines sont réelles et distinctes et telles que deux racines consécutives de <p(:r) comprennent entre olles une racine de g{x), et une seule, peut être mis sous la forme

en désignant par A, B, . . ., L des constantes de mêmes signes.

331. Si. en désignant par a une constante positive, le nombre de variations du polynôme ^(J7)(â7 — a) n'est pas égal an nombre, augmenté d'une unité, des variations du polynôme 7(0?), ce dernier a des racines imaginaires.

Après avoir multiplié le polynôme

f{x)= Ao.r'«-h AiX'«-»-h A2a7'»-*-i-...-4- A«

par X — Uy on peut choisir a de manière à annuler le coefficient d'un terme dans le produit f{x){x — a). Conclure de là que le polynôme f{x) a certainement des racines imaginaires si les quantités A^ — Ap-iA^i. AJ^., — \p\p^i sont de signes contraires, ou si l'une d'elles est nulle.

Un polynôme dont trois coefficients consécutifs sont en progression géométrique a des racines imaginaires.

Un polynôme dont quatre coefficients consécutifs sont en progression arithmétique a des racines imaginaires.

332. Si ai, a^, . . ., an sont des nombres réels ou imaginaires dont les valeurs absolues soi^^ut moindres que i, les valeurs absolues des racines de Téquation

sont supérieures à 7.

333. Si l'on suppose | ««| < 1 , n = i, i et si Ton désigne par /(r) la

somme de la série