I -^ a^x -^ a^x^-^- . . . -Ha^a-^-h

absolument convergente pour toutes les valeurs de x telles que l'on ait |x|<i. les racines de l'équation /(x) = o, vérifiant l'inégalité |ar|<i, sont supérieures à {, en valeur absolue.

334. Soient a, 6, c. . . ., / les racines du polynôme /(j?); montrer que l'on a identiqui^ment

{x — ay {X -0)^ '" (x—l)* /*{x)

montrer que si le polynôme /(or) a toutes ses racines réelles, le polynôme /'*(x) — /{x)/''(x) a toutes ses racines imaginaires.

3J5. On considère une suite Vo, Vj, . . ., V„, ... de polynômes en x dont les deux premiers sont donnés; Vo est une constante positive, Vi estduprcmiijr degré; les autres se déduisent de ceu\-là par une relation de la forme

OÙ an, bn sont des polynômes en x donnés, an est au plus du premier degré en JT, bu au plus du second degré. 11 en résulte que V/i est, en général, du /jiéme degré en a:; je suppose que le coefficient de a?" ne soit jamais nul.

Je suppose en outre que, lorsque x appartient à Fintervalle (a, p) où a est plus petit que p, 6„ soit constamment positif, que, pour a? = a, V» soit du signe de ( — ï/* et que, pour a? = p, V^ soit positif, enfin que la racine de Téquation V|= o soit comprise entre a et p.

Tels sont, par exemple, les polynômes X;, et P,, définis aux exercices 36 et 38, en supposant a = — i, P = i ( * ).

Montrer (par induction) que les racines de l'équation V„ = o sont réelles et distinctes, comprises entre a et p el que, entre deux racines consécutives de l'équation V« = o, il y a une racine, et une seule, de l'équation V„i = o.

336. Si une équation à coefficients rationnels admet une racine de la forme a + 6 ^Pj où a, 6, p sont trois nombres rationnels dont le dernier n'est pas un carré, elle admet, au même ordre de multiplicité, la racine a — b \/p,

337. Si a, 6, Cy p sont des nombres rationnels dont le dernier n'est pas un cube parfait, et si Ton a

a-^bYp -^ c v^/>5 = o,

on a nécessairement a = o, 6 = o, c = o.

On parvient aisément à la démonstration de celte propriété en multipliant régalité précédente par //?, et en regardant les deux équations ainsi obtenues comme des équations du premier degré dont //? et ^p* seraient les inconnues.

Si une équation à coefficients rationnels admet une racine de la forme a-h b y p -h c\ip^ où a, 6, c, p sont des nombres rationnels dont le dernier n'est pas un cube parfait, elle admet, au même ordre de multiplicité, les racines

a -h 6a//> H- cot* //?', a -h ôa*v^;t? -h ca y^/)*,

en désignant par a une racine cubique imaginaire de l'unité.