Dans l'équation
(a© -4- ibo)x'^-\- (ai +- ibi) x'^-^-h, . .-!-(«„-+- ibn) = o,
on suppose que ao, 6o, ai, 6|, . . ., a„, 6» sont des entiers réels.
Démontrer que, si cette équation admet une racine de la forme s + i^ où a, p sont des entiers réels, il existe des entiers réels a', p' tels que l'on ait
a«-H iàn=(oL -h ïp) (a' -+- *?');
aj -4- bft est alors divisible par a»-f- §*. Trouver les racines de l'équation
qui sont de la forme a + i^, a et ^ étant des entiers réels.
290. Considérons une fonction /(a?, j^, z) de variables indépendantes X, y y z, admettant des dérivées partielles f^j fyj /g ; j'écris ici trois variables, mais celles-ci peuvent être en nombre quelconque.
Les différentielles (du premier ordre) des variables indépendantes j:, y, z sont, par définition, de nouvelles variables indépendantes que l'on fait correspondre respectivement aux premières et dont on désigne chacune en plaçant la lettre d devant la variable à laquelle elle correspond : ainsi, dx est la différentielle de x^ dy la différentielle de^, etc.
On nomme différentielle (du premier ordre) (*) de la fonction /{x^y^ z) des variables indépendantes x^y^ 5, la forme
f'x dx -r- /y dy -+-/: dzy
linéaire en dx^ dy^ dz^ dont les coefficients sont les dérivées partielles /^, fyif'g de la fonction /(j7,^, z) par rapport aux variables x^y^ z. Cette différentielle de /(a:, y^ 5), que Ton représente par df/, est ainsi une fonction des variables indépendantes x^ y^ z et dx^ dy^ dz^ linéaire
(') Daos tout ce Livre il ne sera question que de différentiel les du /premier orcsfre, ou, comme on dit encore, de différentielles premières, aussi je supprimerai ordinairement cette qualification. Je dois prévenir aussi le lecteur que les différentielles (du premier ordre) dont il sera question sont celles que, dans le Calcul différentiel et intégral, on qualifie de différentielles totales: il ne sera pas question de différentielles partielles.
436 CHAPITRE WII.
par rapport aux trois dernières. Elle est identiquement nulle lorsque les dérivées/^, /^, /^ sont identiquement nulles et seulement dans ce cas; dire que la dérivée /^ est identiquement nulle, c'est dire que la fonction f{x^j , z) reste constante quand x varie, ou que cette fonction ne dépend pas de x ; dire que les dérivées /j., f' f^ sont identiquement nulles, c'est dire que la fonction f(x^ y^ z) ne dépend ni de x^ ni de^', ni de 5, ou que cette fonction est une constante. Dans l'expression f'x^x -^ f'ydy -{- f'^dz de la diflerentielle df^ Tune de» diflerentielles dx^ dy^ dz peut disparaître; dy et dz disparaîtraient si les dérivées /(., f'^ étaient identiquement nulles, si la fonction J\x^y^z) ne dépendait eflectivement que de x^ et seulement dans ce cas. En particulier, si la fonction /{x^y^ z) se réduisait à -r. sa diflTérentielle se réduirait à dx^ puisque les dérivées partielles de x par rapport aux variables x, y^ z sont respectivement 1,0, o : les notations relatives à la diflerentielle d'une fonction et à la différentielle d'une variable sont cohérentes.
Dans le cas où Ton a affaire à une fonction /(x) d'une seule >ariable indépendante x, la diflerentielle f{x) dx de cette fonction est le produit de la diflerentielle dx par la dérivée f{x) de la fonction. La définition est la même que dans le cas d'un nombre quelconque de variables, si ce n'est qu'il n'j a plus lieu de parler de dérivée partielle.
Au lieu d'employer les notations /[c^fy, f^ pour désigner les dérivées partielles delà fonction y (x,^, 5), on peut aussi bien employer
les notations i^» i^ » . (n'*214) et écrire la diflerentielle de/(x,j. -»
sous la forme
'^ Ox Oy '^ àz
L'emploi des d (en ronde) est utile pour distinguer les symboles dj. dx^ dy^ dz des diflerentielles df^ dXj dy, dz. Pour nous, les symboles isolés âj\ df, ôy^ dz n'ont pas de sens ou sont, tout au plus, la trace de certaines opérations qui conduisent aux dérivées parlielles. représentées par les symboles -f^> i ' ^' lesquels représentent le
résultat d'opérations effectuées sur la fonction f.
A la vérité, la confusion qui est ainsi évitée, dans le cas de plusieurs variables indépendantes, par l'emploi des lettres d, ne le sera
plus dans le cas d'une fonction f{^) d'une seule variable indépendante, fonction dont on représente la dérivée (n" 213) par -^. et dont la différenlielle s'écrira donc df=^ ^ dx\ mais, dans ce cas, il n'y a aucun inconvénient à regarder le symbole 4- comme le quotient
obtenu en divisant par dx la différentielle df^ qui n'est autre chose que le produit par dx de la dérivée de f{x) : il n'y a aucune confusion à craindre.
!i91. L'importance de la forme d/=/'^dx -{-/l. dy -{-/^dz tient essentiellement à la façon dont cette forme se conserve quand on change les variables indépendantes.
Supposons que, dans la fonction /{Xy y, z) de x^ y, z, on regarde ces variables comme des fonctions g(Uy i'), A(m, p), k(Uy v) de variables indépendantes i/, v : ces dernières variables peuvent être en nombre inférieur, égal, ou supérieur au nombre des variables x^y, z. J'écris deux variables a, p, comme j'ai écrit trois variables x^ y, z : le nombre des variables est ici sans importance. La fonction /{x^y, z) devient alors une fonction F(a, i') des variables indépendantes £/, s^, admettant, à ce titre, une diQ'érentielle
^F = f;, du H- f;, dv.
Je vais démontrer que si, dans la forme /j.ûf:r -h/,' dy -h/g dZj on remplace, d'une part, les variables x, /, z par g(Uy v), h{Uy v)^ k{Uy v) et, d'autre part, les dift'érentielles dx^ dy^ dz par les différentielles des fonctions g{u, i'), A(«, v)^ A(tt, r) des variables indépendantes w, p, c'est-à-dire par
dg = g'u du -h g'^ dv, dh = h'n du -¥- /t^ dv, dk = k'n du -^ k\, dv^
V expression /^ dx -h /y dy -^/'^ dz se change identiquement eu dF= h\du-hFldi^.
En eQet, par les substitutions précédentes, l'expression
fj. dx -h/'y dy ^-/i dz
devient
fx^g'u du-^g'^ dv)->rf'y{h'^du -h K ds^)^fi(k'^ du-^-Kdv) = {A^'u^/^K^/iK)du^i/iff^,^/^K-^/ik',)ds^;
mais, en vertu du théorème des fonctions composées (n** 217), on a
Le résultat de la substitution est donc bien F^^ du -\- F|, dv^ comme on Pavait annoncé. 11 est clair que la démonstration ne dépend en aucune façon du nombre des variables x, y, z ou m, v.
Cette proposition est capitale, parce qu'elle permet, dans l'égalité
(i) df^f^dx-^f'ydy-^Jldz,
de ne pas regarder x^y^ z comme des variables indépendantes. Si x. y^ z sont des fonctions de variables quelconques^ /"doit être i^gardé comme une fonction de ces variables, df comme la différentielle de/ à ce nouveau point de vue; dx^ dy^ dz doivent être regardés non plus comme des variables indépendantes, mais comme les différentielles des fonctions a?, y^ z des nouvelles variables. Enfin, il e^t bien entendu que, dans les dérivées partielles/^,/', /j, on doit remplacer J7, y, z par leurs expressions au moyen des nouvelles \ ariables. Dans ces conditions, la formule (i) subsiste identiquement par rapport aux nouvelles variables et à leurs différentielles.
Supposons, en particulier, que x^ y, z soient des fonctions de la variable indépendante t
x=^g{t), y=h{t), z=k{tu
/ devra être regardé comme une fonction (composée) de la seule variable t : la formule (i) devient alors
df=[f!.g'{t)-^f',h'{t)^fLk'{t)\dt', elle veut dire que la dérivée par rapport à ^ de la fonction
f[g{tu h{t), k{t)\
n'est autre chose que/^ o^'(/) H-/^ h'{t) -h/^k\t); on retrouve ainsi la règle des fonctions composées; ce n'est pas, bien entendu, une
nouvelle démonstration de celte règle, sur laquelle on s'est appuyé pour démontrer le théorème fondamental.
Plus particulièrement, supposons que/{x) soit une fonction de la seule variable Xy et que l'on y regarde x comme une fonction g{t) de la variable t] la relation
df^f{x)dx^f[g{t)]g'(t)dt
veut dire que la dérivée de la fonction /[o^(/)] par rapport à t est f'\s{^)\s' {^) • c'est le théorème des fonctions de fonction.
dv La notation -~ a été introduite primitivement comme un pur symbole pour désigner la àérï\ée y' =f{x) d'une fonction /(a:) de.r; on a observé plus haut qu'il n'y avait pas d'inconvénient à la regarder comme représentant le quotient de la division par la différentielle dx de la différentielle ciy=ydx. Si l'on y regarde^ et jf comme des fonctions g{t), h{t) d'une variable quelconque, et si l'on continue de regarder dy^ dx comme les différentielles de y et de x, à savoir
g^{t) dlj h'{t)'dt^ elle représentera le ï*apport ^tttt » c'est-à-dire la
dérivée de la fonction /(x) = g{t)dejo que l'on obtient lorsque l'on remplace, dans g{t)^ t par la fonction de x que l'on tirerait de l'équation x= h(l).
Plus particulièrement, ^ représentera la dérivée de la fonction
inxerse de /(x) (n" 210), c'est-à-dire la dérivée (par rapport à y) de la fonction ^ = F (y) que l'on obtient en résolvant par rapport à X l'équation y =/(a;).
!292. Supposons que l'équation /{x^ y^ 3) = o définisse z comme une fonction de x, y qui la vérifie identiquement, c'est-à-dire comme une fonction de a?, y qui rende identiquement nulle la fonction /(x, V, z). Si l'on attribue, dans/(.r, ^, 3), cette signification à 5, la différentielle de la fonction des deux variables indépendantes .r, y^ <|ue devient alors /{x^ y^ z), est identiquement nulle; c'est-à-dire que l'on doit avoir identiquement en x, r, dx, dy
Ada;^/;dy+/idz^o, quand on regarde dz comme la différentielle de la fonction z des
44o CHAPITRE XVll.
deux variables x^y que définit l'équation /(wC, r, z) = o; on a donc, en conservant la même signification aux variables, identiquement encore,
ds=-'^dx^^dz,
Jz Jz
et cette dernière égalilé, rapprochée de la définition de la différen-
tielle d'une fonction, montre que — ~ » — ^ sont les dérivées partielles de la fonction z des deux variables x^ y.
Supposons encore que les deux équations simultanées
définissent u et r comme des fonctions de trois variables indépendantes x^ y^ 5, fonctions qui rendraient o et ^ identiquement nuls quels que fussent ar, y, z] en regardant u et ç comme ayant cette signification, on a
^ du-h-r dv -h -r- dx-^ -r- ^y -^ -r^ dz = o^ ou dv dx dy *^ dz
-^ du -h ^ dv -h ^ dx -h -^ dy -k- -r- dz = o,
du dv dx dy '^ dz
d'où l'on tire, en résolvant par rapport à rfw, rfc,
, ^\dv dx dv dx I
d^ d^ d^ d(p du dv du dv
V du dx du dx j
d^ d^ d^ do du dv du dv
et ces égalités montrent que les dérivées partielles des fonctions i/, v par rapport à jr, ... sont respectivement
dv =
du
d^ d^ dv dx
d^ df^ dv Ox
dv
d^ d9 du dx
au dx
dx
du
d^ dv "
d^ d^ du dv
dx
- d^ d^ du dv
du dv
293. Jacobien. — Soient /(a, i», w), g{u^ v^ w), h{u,v,w) trois fonctions (*) de trois variables a, p, (v, leurs différentielles
•^ Ou ov ow
du dv ôw
dh = —- du -^ —- dv -^ -^r- dw
ou OV OW
sont des formes linéaires en du^ dv, dw; le déterminant de ces formes
du
࣠du
' àh
âv âh
àv
dw i
dj- ;
ôw I
dw i
est ce qu'on appelle \^ jacobien ou le déterminant fonctionnel des fonctions/, g^ h. On le représente souvent par la notation abrégée
dif.g.h) d(u, (», w)
On dit que les trois fonctions/ g^ h des trois variables u, p, w ne sont pas indépendantes, quand il existe entre elles une relation telle que F(/, g, h) = o^ qui est vérifiée identiquement en u, p. w; dans ce cas les trois formes linéaires (i) en du^ dVf dw ne sont pas indépendantes, puisque Tégalité
Jfdf-^Tg'^^^Th'^^-^
doit être vérifiée identiquement en du^ dv^ dw quand on y remplace df^ dgy dh par les seconds membres des égalités (i) : le déterminant des formes (i), ou le jacobien des fonctions/, g. A, est donc identiquement nul.
On démontre que, réciproquement, les trois fonctions / g^ h des trois variables u^ v^ w ne sont pas indépendantes quand leur déterminant fonctionnel est identiquement nul.
Supposons que, dans/, g^ A, on regarde m, c, w comme des fonctions d'autres variables x^ y^ z^ en même nombre, et que, dans les seconds membres des
(') Le lecteur n^aura aucune peine à étendre ce qui suit à n fonctions de n variables.
égalités (i), on remplace du^ dv^ dw par leurs expressions
du , du , du ,
dx dy ^ dz
di^ j dv , dv ,
dx dy -^ dz
dw , dw , dw ,
—- dx -h -r— dy -+- -T— dz^
dx dy -^ dz '
ces seconds membres deviendront les différentielles
df . àf. df , dx dy -^ dz '
dh , dh , ^dx^-^dy.
--dz dz
des fonctions/, ^, h regardées comme des fonctions de x, y^ z; le déterminant
à(/. /r. h) à{op, y, z)
de ces dernières formes linéaires en dx, dy, dz n*esl autre chose que le jacc»bien des fonctions/, g^ h regardées comme des fonctions de ar, ^, 5. On a ^u, aux n°' 161 et 162, que ce déterminant était égal au produit du déierminani des formes linéaires en du, dsf, dw qui constituent les seconds membres des égalités (i) par le déterminant des formes (-2), linéaires en dx, dy^ dz. lequel n'est autre chose que le jacobien
des fonctions a, i^. iv, regardées comme des fonctions dex, y^ z; nous smime? donc par>enus à Tidentité
d(f,ffjL)
àif, g, h ) d(u, y, w) d(Uy p, w) d{x, y, z)'
qui constitue une des propriétés fondamentales du jacobien.
En particulier, si a, 3, 7, a', ^', y', a', 3', Y désignent des consuntcs et >» l'on désigne par A le déterminant
le jacobien ^ des trois foDctions
G = a7-4-pV-^ï'A.
sera égal à
()(F. G, H) djf.g.h) ^^d{f,g,h) à{f, g, h) d(u, V, w) â(u, V, w)'
Hessien. — On appelle hessien d'une fonction de n variables le jacobien des n dérivées partielles de cette fonction par rapport à ses n variables.
Bornons-nous, pour établir la propriété fondamentale du hessien, au cas d'une fonction <p(a, p, w) de trois variables a, t>, w.
Soient
^ à^ . dp , d
J'^Tu' ^=5^7' ^"^^
les dérivées partielles de cette fonction.
Supposons que, dans la fonction o(i/, p, w\ on fasse le changement de variables
. tt = aa? -h 7.' y -+- a'^ -h a'",
' tv = Y
en désignant par s, s', . . ., y" ^^^ constantes : je désignerai par A le déterminant des coefficients de x, y^ z dans les seconds membres.
Par le changement de variables, la fonction ^(a, i^, (v) deviendra une fonction 4>(-F, ^, z) des variables x^ y^ z: je poserai
r = -— , o = — > tl = — - •
dx ôy dz
Mon but Cbt d'établir que le hessien de la fonction ^{x^y^z) des va-
riables jt, y^ z^ c'est-à-dire le jacobien ^ — î — ^ des fonctions F, G, H, est
ie produit par A* du hessien de la fonction ^(u, p, -i^) des variables a, ç', tf',
c'est-à-dire du déterminant fonctionnel ,/ ' ? dans lequel, après avoir
effectué les opérations, on regarde u, v, w comme des fonctions de ar, y^ z défînies par les équations (5).
Diaprés la définition de la fonction <t> et le théorème des fonctions composées on a
£Hl> f>ç du d» dv dcc dw . ,. ,
et, de même,
CHAPITBE XVII.
G=a'/ + pV+ï'/«,
Les fonctions F, G, H définies par ces égalités sont, comme /, ^, h. àt> fonctions de m, t», «v; pour obtenir les dérivées partielles de <l»(ar. /, *.>p«r rapport à x, y^ «, on doit remplacer, dans a/ -h ^f[ H- y A, ..., les variabJe^ii, (?, w par leurs expressions (5) en x^ v, z.
Le hessien de la fonction <I>(a7, y, s) ou -r-^ — - — - — r est d'ailleurs égal au
A/ Xf p IJ \
produit du jacobien -——^ — des fonctions F, G, H regardées comme de>
fonctions des variables u^ v, w par le jacobien
des fonctions u, i^, (v des variables o?, ^, z que définissent les égalités (3). D'autre part, si l'on se reporte à l'expression des fonctions F, G, H au moyen de/, g^ A, on voit que l'on a
on a donc finalement
dix, y, z)
C'est la proposition énoncée.
Le hessien d'une forme quadratique ternaire (c'est-à-dire d'une forme du second degré à trois variables)
o(a, p, w) = aa*-i- a' \f*-h a'w*-!- ^bvw -h 2b' wu -h'ib'uv n'est autre chose que le produit par 8 du déterminant
= aa'a'rh ibb'b'^ ab^ — a'b'^-^ a'6'«.
Il résuite du théorème précédent que, si l'on désigne par
*(iP, y, ^) = axX^-{-a\y^-^ a\z^-^ zbiyz-^ 'ib[zx -h2b\Ty
ce que devient la forme ^(u, p, w) quand on y fait
u = JLX -h d'y -h a' 3,
1^ = Par -^ P> H- P'iS,
«m a identiquement en a, a', . . ., 6*, a, {i, . . ., y'
Ui
quand on remplace a^ a\, ..., b'\ par leurs expressions en a, a', ..., 6", a, 3, . .., Y* ■ le lecteur vérifiera sans peine que ces expressions sont données par les formules
«. = 9(«, P, ■(>, a'. = ?(«'> .3', ï'), «; = <f('% {»'. y'). b\ = i (a<pi. + ??^. + Y?r ) = i (»'?i + ?'?p + Y'-fT ).
K =' !(«'?; + ?'?{t + y'?; ) = i («?;• + p?v + Y<fV' >
Les notations telles que ci, o^, Q>y désignent ce que deviennent les déri- >ées On, fu^ o,v quand on y remplace a, p, w par a, p, y-
294. DilTérentielles de diverses fonctions. — Si A, B, G désignent (les constantes et «/, ç, w des fonctions de variables quelconques, la difTérentielle de la fonction Aw-f-Bv-f-Givsera kdu -f- Brft' + Crftv : cela résulte de la définition quand w, (^, tvsont des variables indépendantes : cette forme subsiste dans tous les cas d'après le théorème fondamental.
Le même mode de raisonnement conduit aux conclusions suivantes, où «, p, w, ... désignent soit des variables indépendantes, soit des fonctions de variables indépendantes :
La diflférentielle du produit uvw est khv du -f- aw dv + us; dw\
La différentielle du rapport - est ^
Enfin toutes les règles relatives aux dérivées de fonctions simples x"*, Igx, e^, sinx, cosj;, tangx, arcsinj:, ..., conduisent à l'expression
des difFérentielles de ces mêmes fonctions : on a, par exemple ('),
d{x'^) = mx'^~* dx^ d\gx = — , de^=e^dx^ d{sirctaLngx)= j,- •
Considérons Tune de ces égalités, la dernière par exemple ; elle a un sons un peu plus étendu que la proposition suivante : la dérivée
de arctangj: est j; elle conserve un sens en effet quand on y regarde X comme une fonction de fonction, ou une fonction composée; on peut écrire, par exemple,
V du — udv
, / u\ V V du
rf(^arclang-)= Jjï = -^
Un grand avantage de la notation différentielle consiste, comme on le voit, en ce qu'elle permet de ne pas spécifier la ou les variables indépendantes, et cela en vertu du théorème fondamental du n* 291, lequel réunit en particulier les théorèmes relatifs aux dérivées des fonctions de fonctions, des fonctions composées, des fonctions inverses, des fonctions implicites.
29S. On a très souvent Toccasion de regarderies différentielles </jr, dy^ dz des variables indépendantes qui figurent dans une fonction /{x^jy z) comme des accroissements infiniment petits donnés au\ variables j:, j^, z.
D'ordinaire, on fait même figurer cette supposition dans la définition des différentielles; je me suis écarté de cette habitude parce que, comme le lecteur a déjà pu s'en convaincre par ce qui précède, la supposition que les différentielles sont des accroissements donnés aux variables, ou qu'elles sont infiniment petites, n'intervient nullement dans un très grand nombre de cas; d'un autre côté je n'ai considéré au Chapitre XIV que des infiniment petits qui dépendaient d'une variable.
Lorsqu'on regarde dx^ dy^ dz comme des accroissements donnés aux variables x, y^ z, l'accroissement correspondant de la fonction/
(>) On emploie ou l'on supprime les parenthèses suivant que Ton craint ou qu'on ne craint pas des confusions possibles : j'ai écrit d{x'^) et non da:^ parce que cette dernière façon d'écrire représente la puissance m'*"»* dedxy (rfar)"", si Ion veut.
esl
/{x^dx, y-^dy, z -^ dz)—f{x, y, z)
ou, d'après le n" 218, fx^^'^f'y ^y -^f'z ^^t ^^ supposant que, dans les dérivées /^, fy^f'^^ on remplace respectivement x^ y^ z par a: -f- 0 rfa:, r-f-8^, 3 -rf-Ôrfz, où 6 désigne un nombre compris entre o et i ; lorsque dx^ dy^ dz sont regardés comme des infiniment petits et que les dérivées partielles sont continues, les différences entre les valeurs que prennent ces dérivées pour x^y^ z et ço\xr x -^ ^ dx ^ y -\- ^ dy ^ z -\-^dz sont elles-mêmes infiniment petites, et l'on conçoit qu'on puisse dire, en employant, pour les fonctions de plusieurs variables, un langage analogue à celui qu'on a employé pour les fonctions d'une seule variable, que la différentielle d/ de la fonction /est la partie principale de l'accroissement de cette fonction, partie principale que Ton obtient en regardant, dans l'expression exacte de cet accroissement, les dérivées partielles comme ayant les valeurs relatives au système Xy yj z des variables et non au système x-{-hdx^ J' + ôrfj', z 4- ^dz.
Cette façon de parler, que je ne préciserai pas davantage en général, esl très claire quand il s'agit d'une fonction/(a7) d'une seule variable et c'est sur ce cas que je vais m'arrêter un instant.
Si Ton regarde dx comme un accroissement infiniment petit donné à la variable unique Xj l'accroissement infiniment petit correspondant de la fonction /(j?) est
/( JT -h dx) —f{x) =f{x -h ^dx) dx =/'ix) dx -+- i/'(x -+- ^'dx) dx*, . . .
et il est clair que, si dx est regardé comme l'infiniment petit principal, y (x) dx sera, sauf pour les valeurs particulières de x qui annuleraient/(a:), la partie principale du second membre : la différentielle de /(x) peut donc, en excluant le cas exceptionnel qu'on vient de signaler, être définie comme la partie principale de l'accroissement de f{xi)y quand on donne à x un accroissement infiniment petit dx^ qu'on regarde comme l'infiniment petit principal.
La différence entre l'accroissement de f{x) et df est du second ordre, au moins quand la formule de ïaylor s'applique.
Plaçons-nous au point de \ue géométrique : si la courbe ci-dessous représente la fonction j^ =/(^), si M est le point de cette courbe dont
les coordonnées sont x, y; si M' est le point de la courbe dont l'abscisse est X -f- dx^ en sorte que dx soit Téquivaient algébrique «lu vecteur MR, parallèle à O jc, l'accroissement de la fonction sera Téqui-
Fig. 84.
valent algébrique du vecteur RM', la diflerentielle dey sera riy=RT. le point T étant sur la tangente en M; la différence entre l'accroissement de la fonction et la différentielle sera l'équivalent algébrique du vecteur TM', qui est un infiniment petit du second ordre quand on regarde dx = MR' comme l'infiniment petit principal.
On dit souvent que x -f- dx, y -{- dy désignent les coordonnées d'un point de la courbe infiniment voisin du point x, y : cela n e-^i vrai que si l'on néglige les infiniment petits du second ordre ^x-^ds, y -^ dy ne sont pas, dans la figure, les coordonnées du point M' voisin du point M, mais bien les coordonnées du point T, sur la tangente.
