COURBES PLANES

296. Jusqu'ici, on n'a guère considéré que des courbes (ou des traits de courbe) définis par une équation telle que y=z/(x); à une valeur de x correspond alors une seule valeur de y; en d'aulre> termes, les courbes que l'on a considérées n'étaient rencontrées qu'en un point par les parallèles à l'axe des y.

Si l'on reste à ce point de vue et si l'on veut, par exemple, représenter analjtiquement un cercle de rayon /•, et dont le centre est à l'origine, il faut deux équations, à savoir

NOTATION DIPKERENTlELhE. COURBES PLANES.

chacune définit une moitié du cercle. Pour d^aulres courbes un peu plus compliquées, il faudrait de même trois, quatre, . . . équations.

A la \érité, on peut dire que le cercle tout entier est représenté par Féquation unique .r*-hy'^ — /-^izro, laquelle définit implicitement les deux fonctions j' de x que l'on a écrites plus haut. L'étude des courbes représentées par une équation /(x, jk) = o, qui peut ainsi définir implicitement plusieurs fonctions jk de j?, en particulier dans le cas où f{x^y) est un polynôme en x, y^ est un Chapitre très important de la Géométrie analytique. Dans ce dernier cas, la courbe est dite algébrique; son degré est le degré du polynôme /{x^^y). En décomposant cette courbe en parties telles que chacune ne soit rencontrée qu'en un point par les parallèles à l'axe des y^ on définit sans ambiguïté les fonctions que réquation/(j:-,^) = o définit implicitement.

L n autre façon de représenter une courbe plane consiste à regarder les coordonnées jt, y d'un point de cette courbe comme des fonctionsy(^),;»(/) d'une variable; la courbe est alors le lieu des points Jt-, y dont les coordonnées sont

quand t varie entre certaines limites.

r^ar exemple les équations

Fig. 85.

définissent une droite quand t varie de — ao à -h oo, à savoir une

droite passant par le point A de coordonnées a, b et parallèle à la

45o CHAPITRE XVII,

dirertion qui va de Torigine au point A' de coordonnées flr', 6', et dont les cosinus directeurs sont (n** 94)

en effet, si, sur la droite ainsi définie, on prend le point k pour origine et la direction de O vers A' pour direction positive, les coordonnées d'un point quelconque M sont données par les formules

X =i a -^ r cos a, ^ — 6 -+- /• sin a,

en désignant par r l'équivalent algébrique du vecteur AM : ces coordonnées coïncideront avec celles du point a-\-a'(^ b -\- b' t^ si Ton suppose /•= t^'a'^-h b''^; quand t croît de o à -h ao, le point considéré décrit à partir du point A la demi-droite AB dont la direction esl précisément celle de O vers A'; quand t varie de o à — x, le poinl décrit la demi-droite opposée.

Considérons maintenant les équations

elles rentreraient dans le type précédent en posant /-= /'; on voit que le point X, y se trouve toujours sur la demi-droite AB; quand /croît de — X) à -h 00, il décrit cette demi-droite deux fois, une première fois dans le sens de B vers A, quand i croît de — oo à o; une seconde fois dans le sens de A vers B, quand l croît de o à -t- x. Il pas>e deux fois par la même position pour des valeurs symétriques de L

Le lecteur n'aura aucune peine à se rendre compte de la forme des courbes définies par des équations de la forme

T = a -^ a' tf, y = b -^' b' t*i.

Il est commode, en général, de regarder la variable t comme re|)résentant le temps; les équations x =f{t), y = g(t) définissent alors, dans le plan, la position d'un mobile à chaque instant f, et la courbe n'est autre chose que la trajectoire de ce mobile.

Si l'on considère deux époques quelconques / et / -f- A, auxquelles correspondent deux positions M, M' du mobile, on sait qu'on appelle vitesse moyenne du mobile, pendant l'intervalle de temps A, 1*

vitesse d'un mobile qui se meut d'un mouvement uniforme sur la droite MM' de manière à passer en M et en M' aux époques / et ^ -4- A. Cette vitesse est un vecteur MK dont le sens est le sens de M vers M' ou de M' vers M suivant que h est positif ou négatif. Les projections de ce vecteur sur les axes ont respectivement pour équivalents algébriques

la limite de ce vecteur MK, quand h tend vers o, est la vitesse à l'instant /, et les équivalents algébriques des projections du vecteur limite sur les axes sont respectivement les dérivées /'(f), g'{t)\ ces deux quantités définissent sans ambiguïté une direction sur la tangente en M, la direction de la vitesse, la direction dans laquelle se meut le mobile quand la variable t augmente : c'est la direction (n" 94) du vecteur qui \a de l'origine au point dont les coordonnées sont/'(£), g^{c); les cosinus directeurs de cette direction sont

le radical est la valeur absolue de la vitesse. Les différentielles

dx = f\t)di, dy = g'{t)di,

lorsqu'on regarde rf^ comme l'infiniment petit principal, peuvent être regardées, en négligeant les inGniment petits du second ordre, comme les accroissements des fonctions x, y quand on donne à la variable t Taccroissement h^=^dt] en sorte que, dans les mêmes conditions, on peut dire que x -h dx^ y -^ dy sont les coordonnées du point de la courbe qui correspond à la valeur t -f- dt.

Rigoureusement parlant, x -h dx^ y -^ dy sont les coordonnées, non d'un point de la courbe, mais d'un point de la tangente : c'est à ce dernier point de vue qu'il faut se placer quand on veut regarder dt non comme un infiniment petit, mais comme un nombre arbitraire. <^ue dt soit infiniment petit ou non, le \ecteur, porté par la tangente, qui a pour origine le point dont les coordonnées sont x^ y et pour extrémité le point dont les coordonnées sont x -h dx^ y -h dy^

452 CHAPITRE WII.

et qui est déterminé quand on se donne dt^ joue un rôle imporlaut dans la théorie des courbes, 11 a pour projections sur les axes des vecteurs dont les équivalents algébriques sont dx et dy ('); il est la somme géométrique de ces deux vecteurs.

Il convient de remarquer que, pour une \aleur /|, qui annulerait à la fois/'(^), Ql g\l)^ les formules qui donnent en général les cosinus directeurs de la tangente deviennent illusoires pour / = /,. La pente de Ja tangente en ce point s'obtiendra par la méthode générale en cherchant la limite, pour A = o, du rapport

Si la formule de Taylor s'applique, ce rapport, dans le cas qui nous occupe, est égal à

sa limite, lorsque f'{t\) est différent de o, est évidemment ^ry-;'

lorsque /""(/,) est nul sans (\\ie g*'{t^) le soit, la tangente est parallèle à l'axe des^.

297. D'une façon générale, quand on veut étudier la forme delà courbe définie par les équations .v = f(t)^ y = ff(i) aux environï^ d'un point A, correspondant à une valeur /, du paramètre, ou, ce qui revient au même, le mouvement du mobile M défmi par ces équations aux environs de l'époque ^i, on pose t= tt ^ A, et Ton cherche (ie> expressions approchées de .r et de y pour les valeurs de h voisines de o; si, en particulier, la formule de Taylor est applicable aui deux

(') C'est là la forme correcte du langage : on se permet souvent il'abréger uo p?o et de dire que les projections sont dx. dy : d'une façon générale, il est pcrniiv lorsqu'oii ne craint pas d'ambiguïté, de désigner un vecteur par son équivalenct algébrique : cela suppose essentiellement que Vaxe auquel on rapporte le >fcipnr soit bien défini. Je rappelle qu'un axe comporte une direction (positive) et une unité de longueur.

fonctions /(^), ^(A), on aura

Les formules approchées s'obtiennent en limitant les développements. On obtient ainsi les coordonnées d'un point m, exprimées au moyen de la variable A = ^ — ^i ; le point m est voisin de M lorsque h est voisin de o et décrit, dans ces conditions, un petit trait de courbe voisin de la trajectoire du point M. La construction du point m défini par les formules

h h^ ht*

est manifeste ; le vecteur Om, qui va de l'origine au point m, est la somme géométrique de /^ 4- i vecteurs, ayant tous le point O pour origine et aboutissant aux points dont les coordonnées sont /(^«)

et g(t^). - f'{t^) et g^{t\)^ ... ; la première de ces extrémités est le

point A|, où le point M se trouve à l'époque Cf. La seconde, quand h varie, se déplace sur la droite qui va de l'origine au point de coordonnées/'(^i), g^(^i); la troisième sur la droite qui va de l'origine

au point de coordonnées '^ > ° ' > etc. ; lorsque les deux dérivées

qui correspondent à un vecteur sont nulles, ce vecteur est lui-même nul.

Si, en particulier, on ne garde que les deux premiers termes, on aura, pour les coordonnées du point m.

Ces formules, lorsque h varie de — x) à -+- oo, définissent une droite : cette droite n'est autre chose, comme on l'a vu plus haut, que la tangente à la trajectoire du point M, au point A, ('). Ceci suppose tou-

( > ) Kii prenant un lerme de plus dans les expressions de x^ y il est aisé de reconnaître la position de la courbe par rapport à la tangente, le sens de la convexité, etc.

lefois que Ton n'a pas à la fois /'(/,) = o, g'{t^)=z o, c'est-à-dire que l'on n'est pas dans la circonstance exceptionnelle signalée un peu plus haut.

Pour l'étude de cette circonstance, bornons-nous au cas o\if{t\^ et ;^'(/, ) sont différents de o ; on peut prendre comme formules approchées

y=.fr^t,)^-gUM)

ces équations, lorsque h varie, définissent non plus une droite, mais seulement une demi-droite, partant du point de coordonnées /(/|), g{t^), dans la direction parallèle à celle qui va de l'origine au point de coordonnées -/''(^i), -g^i^i) et de même sens. Lorsque h varie de —i à e, e étant un nombre positif, le point m, défini par les formules précédentes, décrit deux fois, dans des sens opposés, un petit segment de cette droite, laquelle n'est autre que la tangente en A,, puisqu'elle

passe par ce point et que sa pente est ^ ' • Le mouvement du point M

se rapproche beaucoup de celui du point m.

Pour nous rendre compte de ce mouvement du point M et de la forme de sa trajectoire aux environs du point A,, prenons un ternie

Fig. 86.

de plus dans les développements, et considérons le point m' dont les coordonnées sont

en supposant que les deux quantités /'"(^i ), g'"{ft) ne soient pas nulles toutes les deux; pour déduire le point m' du point m, on devra regarder ce point m comme l'origine d'un vecteur mm' équipoUent au vecteur qui va de Torigine au point dont les coordonnées sont

7" /"'('«)? ~â g"{^^ )' ^^ dernier vecteur est situé sur la droite OP qui

va de l'origine au point P de coordonnées /'"(/,), ^"(/i), de même sens si h est positif, de sens contraire si h est négatif. Je suppose que la droite OP ne soit pas parallèle à la tangente A| m au point A|, c'est-à-dire {\^\ef"{t^)^ g"{^\) ^^ soient pas proportionnels k/"{ti)j g^(/i). Alors, le point m' reste d'un côté de la droite A, m quand h est positif, de l'autre côté quand h est négatif; il décrit ainsi deux traits de courbe tangents en A|, à la droite A| /w, de côtés différents : leur réunion forme, en A,, une sorte de bec. Le point A, est ce qu'on appelle un point de rebroussement de la trajectoire du point m' : ce point de rebroussement est dit de première espèce lorsque, comme dans l'étude précédente, les deux traits de courbe sont de part et d'autre de la tangente. La trajectoire du point M offre la même disposition.

Je laisse au lecteur le soin de montrer que, si l'on avait /'"{t^ ) = o? g'"(^ti) = o et si les deux dérivées/'''(^), g^^'it) n'étaient pas nulles toutes deux pour / ^ /», ou proportionnelles à/''(/«), g"{t^)^ la trajectoire de M présenterait en A| un point de rebroussement de

Fij;. S7.

seconde espèce, où les deux traits de courbe seraient tangents en A,, à la droite A| //?, d'un même côté (*).

Comme cas très particulier, il peut arriver que les deux traits de

( ' ) Je lui laisse aussi le soin d'examiner les difTérents cas qui peuvent se présenter, lorsque /'(/,), ^"(Z,) sont nuls: les explications qui précèdent suffisent pour reconnaître comment on doit procéder dans ces dilFérents cas.

courbe soient confondus, et que le point M, lorsque h croît de — e à H- e, rebrousse chemin à partir du point A,, sur la /M<^/«e courlK* qu'il a déjà parcourue : Texemple de la demi-droite définie par irs équations x ^= a -\- a* t'^ ^ y = b -\- b' t- suffit à montrer qu'il peut en être ainsi. Cette circonstance exceptionnelle ne se présente pas dans un intervalle où les dérivées y\/), g'{t) sont continues et où Tune d'elles ne s'annule pas, puisque, dans un tel intervalle, l'une des coordonnées x^ y du mobile varie toujours dans le même sens : elle ue pMii donc se présenter dans un intervalle où les dérivées ne s'annulent pas à la fois. Dans un tel intervalle, on peut dire que les poinis de la courbe se succèdent dans un ordre déterminé, l'ordre dans lequel il> sont rencontrés par le mobile quand / croît : on sait alors netlenienl ce qu'on veut dire en parlant d'un point qui en précède un autre, d'un point qui est situé entre deux autres, etc.

Le mobile rebrousserait chemin, à partir de l'époque /,, si, dansle> deux développements de/(/, H- A), ^(/| -f- /') suivant les puissaiine> de A, tous les termes de degré impair disparaissaient. Dans ce cas, on voit qu'il y aurait une infinité de couples de \aleurs distinctes (\ f telles que l'on eût à la fois

on les obtiendrait en posant /'=: f, -h A, f ^ i^ — h.

Dans le cas où les équations précédentes admettraient une solution en t\ f {^t' ^ t") sans en admettre qui fussent \oisines de celles-là. cela voudrait dire simplement que, à l'époque /', le mobile se lrou\t' à la même position qu'à Tépoque t'' \ la courbe présenterait un /'(»uii double,

298. Je n'ai rien supposé sur celte \ariable / à chaque valeur «le laquelle correspond un point de la courbe: elle s'introduit souvent d'une façon naturelle, par la définition géométrique de la courbe: il y a toutefois quelques variables sur lesquelles il convient de s'arrêter un peu, en raison de leur importance, tant pour en éclaircir la signification que pour montrer comment on les détermine en fonction de/, quand la courbe est définie par les équations de la forme x = /^tu

On peut, sur une courbe donnée, fixer un point par son absci'ise

curviligne. Pour cela, on commence par choisir sur la courbe un point Ao, Vorigine des arcs^ correspondant, par exemple, à une valeur t^ du paramètre t, A partir de ce point on peut décrire la courbe dans deux sens différenls, correspondant Tun aux valeurs croissantes de /, l'autre aux valeurs décroissantes ; on choisit Tun de ces sens comme étant le sens positif, l'autre le sens négatif. Tout ceci est parfaitement clair pourvu qu'on reste sur une portion AB de la courbe correspondant à un intervalle dans lequel les fonctions /(/), .^(')?/' (^)ï o'(0 ^^^^ continues, et dans lequel les deux dernières f(mctions ne s'annulent pas à la fois. C'est ce que je supposerai dans ce qui suit.

Soit M un point quelconque (*) de la courbe; l'abscisse curviligne de ce point M sera, par définition, un nombre dont la valeur absolue est la longueur de l'arc VM (n" 26) et dont le signe est -+- ou — suivant que, pour aller du point Ao vers le point M, il faut marcher, sur la courbe, dans le sens positif ou dans le sens négatif. Le lecteur a été familiarisé avec cette notion, au moins par la trigonométrie. La position du point IVf est définie sans ambiguïté par son abscisse curviligne s ; il est clair que ses coordonnées x^y sont des fonctions de celte variable ; il importe de savoir exprimer s en fonction de ^; on pourra exprimer ensuite /, x, y au moyen de s.

Il est nécessaire, pour résoudre cette question, de définir d'une façon précise ce qu'est la longueur de l'arc d'une courbe. On a, à la vérité, esquissé au n" 26 une telle définition; mais cette définition ne s applique qu'à certaines courbes planes ("). Il serait assez facile d'en déduire, pour ces courbes, la proposition suivantr :

Si deux points, sur une courbe^ sont infiniment voisins, les longueurs de rare infiniment petit limité par ces deux points et de la corda qui le sous tend sont des infiniment petits équivalents.

Je prierai le lecteur, soit d'admettre cette proposition comme un postulat impliqué dans la notion vague de la longueur d'un arc de

( ' ) On suppose toutefois que le point A^ et le point M sout sur le même trait de courbe : on ne prendra pas, par exemple, les deux points A et M sur deux branches difTérentes d'une hyperbole.

(-) Je ne parlerai pas, dans le présent Livre, des courbes de l'espace.

courbe, soit, s'il veut se placer à un point de vue plus logique, de h regarder comme une condition imposée à toute définition de celle longueur. Cette défînition doit, en outre, être telle que, si A, B, C sont trois points de la courbe, l'arc AC soit la somme des arcs AB et BC, quand le point B est situé entre les points A et C. Je vais montrer que ces deux conditions suffisent à déterminer l'arc s d'une courbe, compté à partir d'une origine Ao, comme une fonction du paramètre t qui fixe chaque point de la courbe : -la fonction ainsi obtenue sera, si l'on veut, la définition même de l'arc; j'aurai roccasion d'indiquer plus tard comment cette définition ^se raccorde avec celle qu'on tire de la considération de la longueur d'une ligne brisée inscrite dans la courbe.

Soit s l'abscisse curviligne du point M correspondant à la valeur/ du paramètre; supposons qu'on donne à ce paramètre un accroissement positif A, et qu'à la valeur ^ -|- A du paramètre corresponde le point M' de la courbe; il se peut que, le paramètre croissant à partir de /, l'abscisse curviligne s augmente ou diminue ; plaçons-nous dans le premier cas; lorsque jl'on passe de la valeur / à la valeur t-^-hn l'abscisse curviligne s augmente de l'arc positif MM'; la limite du

rapport — r— » quand h tend vers o, est la dérivée de s par rapport

à /; pour l'évaluation de cette limite on peut remplacer arc MM' par Tinfiniment petit équivalent corde MM'; on a donc à évaluer U limite, pour A = o, du rapport ( * )

oii le radical a la signification arithmétique. En vertu de la formule des accroissements finis, ce rapport peut s'écrire, en désignant par e, Ti des nombres positifs compris entre o et i ,

sa limite, quand h tend vers o, est évidemment y//'^(t) -^ ^r'^^it)

1*) J'ii'iraets ici la formule suivante, 1res aisée à démontrer : la disUncc de àcû\ points dont les coordonnées recUngulaii^s sont or, y et -r",^' est

on a donc dans ce cas

On voit immédiatement que, dans le cas oii l'are s diminue lorsque t augmente, l'on a

De là résulte une méthode pour évaluer les arcs d'une courbe plane, analogue à celle qu'on a donnée au n" 222 pour évaluer les aires.

On détermine une fonction '^{l) dont la dérivée, par rapport à /,

soit \Jf'{t)-\- ^'^(0- ^^ supposant que les arcs croissent en même ipinps que ^, on voit que 5 — '^(/) doit être une constante, puisque la dérivée de celte fonction est nulle : la valeur de cette constante est égale à la valeur — ©(/o) de ^ — tp(/) pour t ^= t^) on doit donc avoir s^= <f(t) — ?(<o)- O^ aurait de même s = o{to) — 'f (^), si les arcs croissaient lorsque /diminue. L'expression o{ti) — '^{to), où ^{t) désigne une fonction primitive de la fonction essentiellement

positive v/y^(^) -+" o^'i^h représente, lorsque /, est plus grand que ^q, la longueur (absolue) de l'arc de courbe décrit par le point j; =:y(/), y =■ g{i) quand t varie de Iq k tf

La formule générale (-tj) =/'*'(0 "^"^''^(0? ^^^^ le cas où l'on

suppose /(/) = t, en sorte que le paramètre t n'est autre que l'abscisse X d'un point de la courbe, montre que l'on a

^^=±v/i-ys

en désignant par ^ la dérivée de y par rapport à j;; on prendra le signe -f- ou le signe — devant le radical, suivant qu'on est convenu de faire croître ou décroître les arcs quand x croit.

Lorsqu'on est parvenu à exprimer l'arc .y au moyen de fonctions connues du paramètre qui détermine chaque point de la courbe, on dit qu'on a vectijié cette courbe.

Les expressions

représenlenl, comme on l'a vu plus haut, les cosinus directeurs de la direction qui, sur la tangente, correspond à t croissant, c'est la direction de la vitesse quand t désigne le temps; la valeur de cette vitesse

est v/r-^(o+/'(o.

Les expressions

dx

dy

dl

dx

dt

dy

ds

- Ts'

ds

~ ds

di

dt

seront les cosinus directeurs de la même direction si ^- est positif,

si les arcs croissent lorsque t croit, de la direction opposée si les arcs

décroissent lorsque t croît ; elles sont, dans tous les cas, les cosinus

directeurs de la direction qui, sur la tangente, correspond aux arcs

ds .

croissants. La quantité -%- est l'équivalent algébrique de la vitesse

quand on prend pour direction positive, sur la tangente, cette direction qui correspond aux arcs croissants.

299. Désignons par a l'angle dont il faut faire tourner la partie positive de Taxe des x, pour l'amener parallèlement à cette direction positive sur la tangente ( ' ), on aura

dx dy

ds ds

ou

(i) dx = dscosoi^ dy = ^^sina.

Ici encore la variable indépendante n'est pas désignée ; t, /**• * peuvent être des fonctions d'une variable quelconque : celte \ariable peut, en particulier, être s ou a. Ces formules expriment que dx et

(') Cet angle est déterminé à iki: près; il définit la dii*ection coosidérce.

dy sont les équivalents algébriques des projections sur les axes d'un vecteur porté sur la tangente, dont l'équivalent algébrique est ds^ quand on choisit la direction définie par l'angle a comme direction positive sur la tangente, j'ai déjà appelé l'attention sur ce dernier vecteur dont l'origine et l'extrémité sont les points de coordonnées X et y^ X -h dx et j^ -|- dy. Il ligure la différentielle ds de l'arc; je l'appellerai à l'occasion le vecteur a^; la formule rfi-^ = û^j;^ -f- rf)^^ n*est autre chose que la relation entre l'hypoténuse d'un triangle rectangle et ses côtés : peu importe d'ailleurs qu'on regarde, ou non, dx^ rf)', ds^ dt comme des infiniment petits; mais il ne faut pas oublier que ces quantités ne sont déterminées que quand on se donne la variable indépendante et sa différentielle : si t est la variable indépendante, //x, dys ds sont les dérivées de jr, y, s par rapport à t respectivement multipliées parla différentielle dt\ ainsi le vecteur ds^ dont les projections sont dx et dy^ a, lorsque dt est positif, la même direction que la vitesse, à savoir la direction qui va de l'origine au

point dont les coordonnées sont rsj^ -jr'y il a la direction opposée

si dt est négatif; en d'autres termes encore, la direction du vecteur ds^ quand la différentielle dt est positive, est la direction dans laquelle on marche sur la courbe ou sa tangente lorsque / croit.

La quantité -r- joue un rôle important dans la théorie des courbes

planes : on la regarde comme l'équivalent algébrique d'un vecteur dont l'origine est le point M delà courbe auquel correspond la valeur

de -.- > porté sur lu normale à la courbe en ce point, la direction

positive choisie sur la normale étant définie par l'angle a-h -• Les cosinus directeurs de cette direction sont

/ ^\ dy . / it\ dx

CCS («-♦--1= — sina=~-^, sin(a-h-]= cosa = -z- .

L'angle qu'elle fait avec la direction OY est aigu ou obtus suivant

cLr que -^ est positif ou négatif, suivant que s ei x varient ou non dans

le même sens.

Supposons que ^ soit positif; 5 et a varient alors dans le même

sens; par suite, a et x varient ou non dans le même sens suivant

que —T est positif ou négatif; dans le premier cas, la pente de la tangente augmente avec x^ la courbe (n" 249) tourne sa concavité \ers le haut, au voisinage du point M ; elle est située au-dessus de la tangente ; il en est de même de la direction positive sur la normale, qui fait un angle aigu avec la parallèle à la direction OY menée à partir du point M; dans le second cas, la courbe est située au-dessous de la tangente; il en est de même de la direction positive sur la normale, qui fait un angle obtus a\ec la parallèle à OY.

On reconnaît de la même façon que, si -j- est négatif, la direction

positive sur la normale, à partir du point M, est située, par rapport à la tangente, de Tautre côté que les points de la courbe \oisins du point M.

Par conséquent, dans tous les cas, le vecteur dont Torigiue esl le

point M et dont IVquivalent algébrique est -r- est situé, par rapport

à la tangente en M, du même côté que la courbe dans le \oisinage de M; les coordonnées de Textrémité de ce \ecteur sont

cette extrémité s'appelle le centre de courbure relatif au point M: le cercle décrit de ce point comme centre, et passant par le point M. est le cercle de courbure (ou cercle ose ula leur) en ce point, et le rayon de ce cercle est le rayon de courbure relatif au point M .

On appelle courbure moyenne d'une courbe entre deux points voisins M, M' le rapport à la longueur de Tare MM' de Tangle aigu formé par les deux tangentes aux points M, M'; c'est la valeur absolue du

rapport — > en désignant par Aa, A.v les accroissements de a et de 5

quand on passe du point M au point M'. Dans un cercle, cette courbure moyenne est constante et égale à l'inverse du rayon du cercle. La courbure au point M est la limite de la courbure moyenne quand le point M' se rapproche du point M, et le rayon de courbure en M est le rayon d'un cercle qui aurait même courbure que la courbe proposée en M.

Ce rayon de courbure, à proprement parler, est la valeur absolue

de ^- Je donnerai toutefois le nom de rayon de courbure au vec-

NOTATION niFFKRENTIELLi:. COURBES PLANES. 463

ds teur précédemment défini, ou à la quantité R = -7- avec son signe.

En tenant compte des formules (i) et (2), les coordonnées du centre de courbure peuvent s'écrire

L \ = X — ^ sin (X = X — *5^ »

ds dy

-r sma = x f- '

ai d%

i ^. ds dx

le lieu de ce point, quand le point M décril la courbe proposée, est ce qu'on appelle la développée de cette courbe : cette développée correspond point par pointa la proposée; on peut la regarder comme définie par les formules précédentes.

Il est aisé de transformer les formules précédentes de manière à les rendre immédiatement applicables quand on se donne .r, y en fonction d'une variable quelconque ^ ." je désignerai par des accents les dérivées prises par rapport à cette variable ; on a

l'angle a ne peut différer de arc tang*^ que d'un multiple de tc, on a donc

d\ arc tang*^ ) -, „ , , , ,

* ~ dît ~ x'-^^y^ ~" ?2 '

dx x' x's'^ ^y ^ y ^ y ^'*

7 'ZFT.* ' ~jZ — 1J — -,» «' !

dn t! y x' — x"}"' d% a' y" x' — y' x'

et, par suite,

( " ) A = ar - i^--= — ; = — y , \ = y-\ ■ — — -

yx —x'y " yx—x^y *

de même

ds __ s' ^ ±: {x^-\- y^)"^

Lorsqu'on prend l'abscisse x pour variable indépendante, on a (8) \^x- ^''y K Y=JK-^-L:^;

Observons, à propos des formules (5 ), que, si a augmente en même temps que x^ si -j- est positif, la courbe tourne sa concavité \ers le haut (n" 249). Le signe de la quantité — ; — ^ fait donc connaître le sens de la concavité. Les points d'inflexion sont déterminé^ par les valeurs du paramètre pour lesquelles j^'x' — x^y s'annule en changeant de signe.

300. Considérons, par exemple, la chaînette définie par Téquation ('}

y = chx.

Prenons Torigine des arcs au sonnniet A et convenons de faire croître lo arcs quand x croit. On a alors

-^ = sh j?, — = y^i -j- sli-j: = ch j:*,

(^) Le sommet de la courbe est en A sur l'axe des ^ à une distance de l'origine égale à l'unité de longueur. Si Ton ne voulait pas spécilier ain^î l'unilé de longueur et considérer une clialnetle placée de la même façon par rapport aux axes et telle que l'ordonnée du sommet fût égale à a, on prendrait son équation sous la funne

- = ch - ; on passe de cette seconde courbe à la première en posant \ = û.>''

X = ax Tous les nombres qui mesurent des longueurs, pour la première ct»url»f. devraient, pour la seconde, éire multipliés par a; tous ceux qui mesoi^nt des ave* devraient être muliipliés par à^. Si l'on a entre des l(»ngueurs relatives à la premirncourbe une certaine relation, en remplaçant dans celte relation chaque longueur l

par -, on obtiendra une relation (homogène) entre les éléments analogues pour

la seconde courbe. Toute relation homogène entre les lignes de la premici-c figure est vraie pour la seconde. Les angle» sont les mômes dans les deux figures.

Les remarques faites ici pour une chaînette s'appliquent dans tous les cas analogues, lorsqu'on veut passer d'une figure où Ton a spécifié l'unité de longueur a une autre figure où cette unité n'est pas spécifiée.

et, par suite, s = shx, puisque sh rr est une fonction primitive de ch^r qui s'annule pour ar = o; on a ensuite

djT I cIy sh â7

cosa=-r-'=-î — > sina=-7^ = -; — = thar, tan£a = sh27:

as en X as cha:

l'angle a peut être supposé pris entre et H — ; il n'est autre chose que la

fonction de x que l'on a définie au n** i04 comme Vatnplitude hyperbolique de .r; on a

dx , I

,- = char = ,

aa cos a

-r- = tha* = sma.

aa

Le rayon de courbure et les coordonnées du centre de courbure sont donnés par les formules

ds 1

dx ch*a7

X=x — sha^cha", Y = *2cha'.

Soient M le point dont l'abscisse est x, P sa projection sur l'axe des x, \ et T les points où la normale et ia tangente rencontrent cet axe, Q et R les projections de P sur la tangente et la normale, C le centre de courbure relatif au point M. Le lecteur n*aura aucune peine à établir les propriétés suivantes :

Dans le rectangle PQMR, les côtés PQ, MR sont égaux à OA; les côtés QM et PR sont égaux à l'arc AM de la chaineite. L'aire du rectangle est égale à l'aire OAMP comprise entre l'axe des ar, la chaînette et les deux droites OA, PM.

Le point M est le milieu des points N, C.

T. - IL 3o

466 CHAPITRE XVU.

Les coordonnées du point Q sont

cha?

Le lieu de ce point Q, lorsque x varie de — oo à H- oo, est une courbe nommée tractrice; elle est tangente en Q à la droite QP: la longueur de sa tangente, limitée au point de contact et à Taxe des x^ est donc constante et égale à OA.

Considérons la cycloïde définie par les équations

ar = / — sin /, J = i — cos t. En faisant varier ^ de o à iiz on obtient un trait de courbe tel que celui

que l'on a figuré, symétrique par rapport à la droite B'B(a7 = ir); la courbe entière, obtenue en faisant varier /de — 00 à -h 00, se compose de parties qui se déduisent de celle que Ton a figurée par une translation parallèle à l'axe des iT, translation définie par un vecteur équipollent à /lOA = ïrtir, n ciant un entier positif ou négatif: la courbe a ainsi une infinité de points de rebroussement, tous situés sur l'axe des x. On a

dx . /

t t ., = Si sin- COS-»

at 11

ds ^ . t dt 2

Convenons de compter les arcs à partir du point O (/ = o), et de les faire croître quand x (ou /) croît. On aura alors, quand t appartient à Tintcrvalle

ds . t

On observera que, dans l'intervalle suivant (9.1c, 4^), cette formule ne con

viendrait plus, puisque sin - serait négatif; il faudrait prendre

=,sin- (i).

Je supposerai que l'on reste dans le premier intervalle : — 4 cos - est une

fonction primitive de 2 sin -•

On a donc, puisque s doit s'annuler pour / = o,

5 = 4(1 — cos - ) = 8 sin* - • V ^/ 4

(Cette formule n'est plus valable quand / dépasse la valeur 217; elle donnerait, par exemple, 5 = 0 pour t = ^'7:.)0n a ensuite

cos a = -7- = sin - = cos ( )j

as 2 \2 2/

dy t

sina = -f- = cos - = «1 ds

on peut prendre a = - — - ', cet angle décroît de - à quand C varie de o

Je laisse de côté les interprétations géométriques de ces résultats.

301. Revenons au cas général et considérons une courbe (C) pour laquelle les coordonnées x^y d'un point quelconque sont exprimées au moyen d'un paramètre que nous pouvons d'ailleurs ne pas spécifier.

( * ) Des circonstances du même genre, dont l'oubli conduit à des erreurs, se présentent poar une courbe définie par des équations x=/{t)f y = g(t), lorsque y^f t) -*- g'^{t) est un carré parfait, ou lorsqu'on peut mettre un facteur carré en évidence dans f'^t) -h g"^it) : si l'on a, par exemple, /''( O + «''MO =?M^)4'(0 et si l'on écrit

il importe de faire attention aux valeurs de t qui annulent cp(f) et pour lesquelles cp(/> changent de signe. De telles valeurs correspondent, en général, à des points de rebrousseraent. Si l'on convient, par exemple, que les arcs doivent croître avec t, on 4evra nécessairement changer le signe du second membre, lorsque t passe d'un intervalle où ^{t) est positif à un intervalle où «p(f) est négatif.

En posant

R = $^ OU cls=Rd%, aoL

les formules (i) du numéro précédent deviennent dx = R cosa da, dy = R sin z ^ ;

relles-ci montrent que les dérivées de x et de j^, considérées comme des fonctions de a, sont respectivement R cosa, R sina. Inversement, s'il arrive que les dérivées de x^j' par rapport à une certaine variable i se trouvent être de la forme R cosa, R sina, on est certain que celle variable désigne l'angle dont il faut faire tourner l'axe des x pour l'amener parallèlement à la tangente et que R est le rayon de courbure.

Les coordonnées du centre de courbure ou du point de la développée (D) qui correspond au point x, y de la courbe (C), sunl données par les formules

\ = x — Rsina, Y = j^ -t- R cosa.

équivalentes aux formules (3) du numéro précédent. Dans ces formules X, Y, X, j^j R, a dépendent d'un même paramètre t; les difl'érentielles de toutes ces quantités sont déterminées quand on se donne t et dt\ on a d'ailleurs

d\ = dx — R cos ada —- dR sin a, d\ — dy — R sin a ^a + dR cosa,

ou, en tenant compte des formules dx := R cosa rfa, dy = R sina r/a, d\ = rfKcos^'a-h -)y dY = dRs\n(%-i-^Y

Ces formules expriment que rfX, rfV sont les projections sur les axes

(l'un vecteur dK rapporté à la direction définie par l'angle a -|- -; on

sait d'ailleurs que <^/X, dY sont les projections sur les axes du \ecteur dS qui figure la dillérentielle de l'arc de la développée ; les deux v(H leurs dS, ^/R, qui ont mêmes projections sur les axes, sontéquijx»!lents. On voit d'abord que la tangente à la développée est parallèle à

la direction définie par l'angle cl-\ — , c'est-à-dire que cette tangente à la développée coïncide avec la normale à la proposée ; si sur cette tangente on choisit comme direction positive la direction définie par Tangle a H — » on aura, entre les équivalents algébriques des deux vecteurs, la relation rfS = rfR ou rf(S — R) = o ; S — R est donc une constante. 11 résulte de là que l'arc de la développée, qui va du point M au point M', est égal à la diflFérence R — R' des rayons de courbure relatifs aux deux points m, m' de la courbe (C) auxquels correspondent les points M, M' de la développée.

302. Coordonnées polaires. — On a jusqu'ici représenté chaque point M du plan, rapporté à deux axes rectangulaires OX, OY, par ses coordonnées x^y. Le procédé suivant est aussi très employé.

Fig. 90.

Une direction quelconque OA, partant du point O, peut être définie par l'angle (o dont il faut faire tourner OX pour l'amener sur OA; sur la droite indéfinie qui porte OA, prenons la direction OA comme direction positive; un point quelconque M de cette droite est défini sans ambiguïté par l'équivalent algébrique p du vecteur OM ; les deux nombres p, tu sont ce qu'on appelle les coordonnées polaires du point M ; l'axe OX prend alors le nom d^axe polaire; le point O s'appelle le pôle.

Les coordonnées x, y du même point sont données par les formules

a: = pcosto, ^=psin(o.

Il est commode, dans un grand nombre de questions, d'envisager

deux axes (mobiles) liés au point M; la direction positive est, pour le premier, la direction OA, définie par l'angle ta et, pour le second, la direction perpendiculaire OB, définie par l'angle w -h - ; Fangle AOB a la même disposition géométrique que l'angle XOY. Par rapporta ces axes les coordonnées du point M sont p et o.

Si l'on suppose que p soit une fonction de u> ou que p et w sont des fonctions d'un paramètre /, on définit une courbe; les formules précédentes donnent les expressions de .r, y en fonction de /; Ie> théories développées aux n"* 298, 299 s'appliquent ici ; on a, en particulier,

dx = rfp cos w H- p û?w cos ( co -h - J >

dy = «^p sin (D -h p <f(o sin I (1) H — ) •

Ces formules expriment que dx et dy sont les sommes des projections sur les axes des x et des y des vecteurs rfp et p rfw rapportés aux axes OA, OB ; la somme géométrique de ces deux derniers vecteurs a donc pour projections sur les axes OX, OY les vecteurs dx, dy; cette somme géométrique n'est pas autre chose que le vecteur ds. qui figure la différentielle de l'arc de la courbe. Inversement, puisque les directions OA, OB sont perpendiculaires, les projection* de ce vecteur ds sur les axes OA et OB ont pour équivalents algébriques dp et p diù.

De même les équations

da: dp dtjn

dt dt

dy dp . rfo) . / 7î>

-^ = —i- sin ui ■ ' * o.« / --* ^ ^ dt dt

din I TC\

cos ^-^ 9 -y: cos ( o) H — j >

expriment que les projections du vecteur vitesse sur les axes OAetOB ont pour équivalents algébriques ^s^ ?-jrl si l'on désigne par V l'angle dont il faut faire tourner l'axe OA pour le rendre parallèle à ce vecteur et de même sens, on aura

dp dtii

cosV= — — • sinV =