INTÉGRALES INDÉFINIES ET INTÉGRALES DÉFINIES

313. La définition de l'intégrale définie fournit un moyen de la calculer approximativement. C'est un point sur lequel je reviendrai bientôt. On obtient une expression explicite de l'intégrale définie, quand on a une fonction primitive de la fonction /(x) qui figure

sous le signe / ( * ) ; c'est de la recherche de la fonction primitive d'une

fonction donnée f{x)^ dans quelques cas simples, que je vais maintenant m'occuper. Une telle fonction primitive est dite une intégrale indéfinie de la fonction /(x) et se représente par le symbole

f{x)dx,

qui s'énonce somme de f{x) dx et où ne figurent pas de limites : une telle fonction n'est, comme on l'a vu au n° 222, déterminée qu'à une constante additive près.

( *) Dans quelques cas particuliers, on peut, pour des valeurs spéciales des limites, trouver une expression explicite sans connaître de fonction primitive. Les recherches de cette nature sont en dehors du cadre du présent Livre.

5oo

J'écris ci-dessous les valeurs explicites d'un certain nombre d'intégrales indéfinies ; elles résultent immédiatement des règles de dérivation établies au Chapitre XIJl. Je crois inutile d'entrer dans plus d'explications à propos de ces formules, que le lecteur doit arriver à pouvoir retrouver immédiatement : a et 6 y désignent toujours des constantes, dont la première est supposée différente de o. Les seconds membres peuvent être augmentés d'une constante arbitraire : il en est toujours ainsi quand on écrit l'expression d'une intégrale indéfinie; c'est une remarque que je fais une fois pour toutes :

vrii

I (ax-^by^dx =

(ax ■+• A)"»-»-* (m -\-ï)a

dx

= arctan^AT,

= arg tha?,

arcsinx,

r dx I ,

/* dx

yx^-\- a j cos(ax-hb)dx = -sin(aa: -t- 6),

. j sin {a x-¥-b)dx = cos{ax -^ b)