X. I ch{ax-\-b) dx = ^ sh(ax -^ b)y
/ sh(a^-h6)eir = - ch(aar-t- 6),
/ tangâr dx = — ig I cosar |, r dx ,1 x\
NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. 5oi
Ces formules ne doivent pas être maniées sans précaution, parce que les fonctions qui y figurent peuvent devenir discontinues, imaginaires ou même n'avoir aucune signification : jusqu'à ce qu'on prévienne du contraire, les quantités imaginaires seront formellement exclues.
314. Pour ce qui concerne la formule I, on doit donc rejeter les valeurs de x qui rendraient ax -\- b négatif si m n'est pas un entier ou une fraction irréductible à dénominateur impair et il est nécessaire de faire attention aux valeurs qui annulent ax + b quand m est négatif, parce que, alors, {ax -h 6)"* devient infini.
Si, dans l'intervalle (xo, X|), ax-^-b est toujours positif, l'égalité
Jr^ (m-hi)a
qui se déduit immédiatement de la formule I, est toujours valable, quel que soit le nombre /n, différent de — i ; elle est aussi valable quand m est un nombre positif, entier ou égal à une fraction à dénominateur impair, et cela quelles que soient les limites Xo et Xs ; ou encore lorsque, m étant positif, d'ailleurs quelconque, ax ->r b s'annule pour l'une des limites Xo, X|, mais reste positif à l'intérieur de l'intervalle (xo, x,).
On a, par exemple,
/ ^xdx= I x^dx— — ^ — = ^ =1,22,
les valeurs numériques ont été calculées avec une erreur moindre
que jio"*. L'expression / \jxdx n'a pas de sens.
Considérons maintenant ce qui arrive lorsque, m étant négatif, <ix -H b s'annule pour une des limites de l'intégrale; on suppose que, à l'intérieur de l'intervalle d'intégration, {ax -f- 6)*" a un sens réel; {ax + by^ devenant infini pour a- = X| ou x = Xo, la définition de
5o'2 CIIAPITBE XVllI.
l'intégrale définie tombe en défaut, et la figure géométrique qui a été le point de départ de cette définition est profondément modifiée.
Considérons, par exemple, en supposant d'abord Xi inférieur à I , rintégrale
. T*' dx
Xx -h -2.
Le second membre tend évidemment vers 2, lorsque x, tend vers I ; il en est de même du premier et il est naturel d'attribuer la valeur '?. au symbole
qui n'a pas de sens par lui-même.
Si, en supposant toujours x» inférieur à i , on considère maintenant l'intégrale définie
/ , = / (i — x) ^dx= n — a,
on voit de suite que le second membre croit indéfiniment et, par suite^ ne tend vers aucune limite quand x» tend vers i ; il n'y a pas lieu d'attribuer un sens au symbole
dx
r* dx^
Les deux courbes définies par les équations
ont des formes analogues dont le schéma ci-dessous donne une idée suffisante. Elles sont toutes deux asymptotes à la droite dont l'équalion est x = i ; la seconde courbe est manifestement au-dessus de la première. Si B est le point de la première courbe ou de la seconde qui a pour abscisse X|, l'aire OABB' représente Tune ou l'autre des
deux iiiléj^rales définies
r*"' dx /*'' dx
Fig. (jj.
Lorsque B'B s^approche indéfiniment de l'asymptote, Taire OABB' tend vers la limite 2 dans le premier cas; elle augmente indéfiniment dans le second cas. Il y a lieu, dans le premier cas, de regarder comme finie, et égale à 2, l'aire comprise entre l'axe des x, l'axe desjK, la courbe et son asymptote ; de regarder cette aire comme infinie, dans le second cas.
Considérons, d'une façon générale, l'intégrale 1 /{^) dx, où la
fonction /(x) devient infinie pour l'une des limites, pour la limite inférieure Xq par exemple, la fonction /(x) étant d'ailleurs continue dans l'intervalle (xj^, x^) quel que soit le nombre x'^ inlérieur à l'intervalle (xo, X|); si l'intégrale / /{x)dx tend vers une limite
quand x'^ tend vers x©, en restant toujours intérieur à l'intervalle d'intégration, cette valeur limite sera, par définition, la valeur du
symbole / /{x)dx : ce dernier symbole n'aura pas de sens s'il n'y
a pas de valeur limite.
Le cas où la fonction devient infinie à la limite supérieure, celui oii elle devient infinie aux deux limites se traitent de la même façon.
5o4 CHAPITRE XVIII.
On donnera des exemples un peu plus loin. Je laisse de côté le cas où la fonction devient infinie pour x compris entre les limites d'intégration .
Pour ce qui est de l'intégrale
T -^r- b )"* dx^
lorsque l'une des limites est > et que la fonction (axH-fc)*" est
réelle dans l'intervalle (a;©, ^i), elle a un sens si m est plus grand que — I , elle n'en a pas si m est inférieur à — i . Cela résulte aisément de la formule (i).
Examinons maintenant ce qui se passe quand une des limites de l'intégrale devient infinie.
Supposons que Xf^ soit plus petit que X\ et que la formule (i) soit applicable, quelque grand que soit x^ ; faisons grandir 0:4 indéfiniment, la valeur absolue de ax^ -\- b grandira indéfiniment; il en sera de même de la valeur absolue de (ax^ -+- 6)"*"^* si /w -h 1 est positif; si, au contraire, m H- i est négatif, {axx H- 6)"»+' tendra vers o et le
second membre aura pour limite "—^ — ^'~\ * '^ lecteur aperçoit
de suite la signification de l'égalité
(ajTH- b)'^dx = — ^—r^ >
où l'on suppose essentiellement que m soit inférieur à — i , et que {ax -\- b)"^ soit réel pour toutes les valeurs de x supérieures ou égales à x^ ; lorsque m est supérieur à — i , le premier membre n'a pas de signification.
D'une façon générale, si la fonction /(j:) est continue dans Tintervalle (iCft, J7|), lorsque x^ est un nombre plus grand que :&o^ et m
f f{x)dx tend vers une limite quand x^ augmente in-
définiment, cette limite est, par définition, la valeur du symbole
f{x) dx.
NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. 5o5
f{x) dx tend vers une limite quand x^ tend vers — oo, cette limite sera, par définition, la valeur du symbole
r 'f{x)dx.
On a, par exemple,
'^* dx /-"* dx
.rs=£
Le lecteur reconnaîtra sans peine la signification géométrique de
ces égalités; la courbe dont l'équation est y = ~ est asymptote à
Taxe des j?, des deux côtés; la première intégrale représente l'aire comprise entre cette asymptote, la courbe et la droite dont l'équation est x = \.
Arrivons maintenant à la formule II du n® 313. Elle conduit à l'égalité
/•'* dx I ,
ax\-
a.ro-
le second membre a un sens pourvu qu'aucun des nombres Xq^ X\ ne
soit égal à ; mais le premier n'en a point quand ax -H b s'annule
pour une valeur de x appartenant à l'intervalle {x^^ x^)^ puisque, alors, T devient infini dans les limites d'intégration. Dans ce
cas la formule (2) est inapplicable; le lecteur reconnaît de suite, sur cette formule, que le premier membre devient infini, en valeur absolue, quand l'une des limites d'intégration s'approche de 5 ou
quand l'une des limites devient infinie. Puisque, dans la formule (a), ax -I- b ne doit pas s'annuler dans les limites d'intégration, ax^^ b et ax^ H- h sont de mêmes signes, leur rapport est positif, et l'on peut tout aussi bien écrire
■' * dx I , ax\-
= - le
ax -»r b a axo-\- b*
5o6 CHAPITRE XVUl.
cette forme est même avantageuse, parce que le second membre n'a pas de sens quand ax + b s'annule dans l'intervalle (:ro, :zr,). On a, par exemple,
r^^dx r^ dx r^ dx
Les symboles / — > / — , 1 — n'ont aucune signification.
Quand on applique la formule JJI au calcul d'une intégrale définie, arc tango: doit, comme il a été dit au n" 199, être compris entre — - et H — ; je me borne à écrire les formules (* )
r* dx ^ r" __
dx __ 11
dx
Quand on applique la formule IV au calcul d'une intégrale définie, on doit supposer que les deux limites sont supérieures à i ou toutes les deux inférieures à — i , ou bien qu'elles sont toutes les deux comprises entre — i et -h i , sans quoi la fonction __ ^ deviendrait infinie dans les limites d'intégration; on peut écrire dans les trois cas
dx £ I (i H-3:t)(i — .rp) I — X* X ^ i\ — XiXlH-a-u)
l^e cas où l'une des limites serait — i ou i est formellement exclu. L'emploi du symbole arg \}xx suppose | x | < i .
(') Quand la fonction /(.r) est continue dans tout intervalle et que l'inlégnle
I /{x)dx tend vers une limite, soit lorsque jc, tend vers -t-oc, soit qaaod x«
tend — 90, cette intégrale tend certainement vers une limite lorsque j:« et x, teudfot indépendamment Tun vers -h ac, l'autre vers — x, et cette limite est, par déliiiiti»»'.
^+« la valeur du symbole / /(«^r) dx\ on a alors, quel que soit x',
f /{x)dx= f /{x)dx-^f f{x)dx.
NOTIONS DK CALCUL INTÉGRAL. Soj
Des observations analogues concernent les formules XII, XIII, XIV, quand on les applique au calcul d'intégrales définies ; les limites d'intégration doivent être telles que sinx pour la formule XIII, ces wC pour les formules XII et XIV ne s'annulent pas dans l'intervalle d'intégration. Dans un intervalle où sinj? ne s'annule pas, tang —
garde le même signe ; de même coso: et tang ( — *" t ) ^^^^ ^^ intervalle où cos.r ne s'annule pas.
On aura, dans ces conditions.
Xi /tt Xi\
tang — •'• ta
Par exemple,
