C TT

rijL' , ^3 Ig3 = ig = -s =0,549...,

5 tang -7

, c-;i;7 = 'S 3^ = lglang^ =0,881....

^ tang -;-

(^uand on applique la formule V au calcul d'une intégrale définie, les limites doivent appartenir à l'intervalle ( — 1, 1). Je me contente d'écrire les formules

/'* r/j7 r^ dx £ r* dx Tt

Lorsque ^/ est positif, la formule VI s'applique, quelles que soient les limittf^s d'intégration; la quantité x -V- yjci-^- x^ est toujours positive. Dans le cas où a est égal à i , on a

= arg slia:.

Cette formule et la formule VI montrent que les relations

5o8 CHAPITRE XVIll.

entraînent les suivantes

X = sin^, ^ = shz.

Lorsque a est négatif, il faut, pour appliquer la formule Vi au calcul d'une intégrale définie, supposer les limites soit égales ou supérieures à \J — a, soit égales ou inférieures à — yj — a. On peut au>>i introduire les fonctions hyperboliques, en partant de ce que

arg

cha: = Ig(ar -h /a?* — i)

et — argch( — x) sont des fonctions primitives de qui con-

viennent, la première quand x est supérieur ou égal à i , la seconde quand x est inférieur ou é^al à — i .

Relativement aui formules VJI et VIII, j'observerai que les intégrales

/ cos(ax-»-6) rfa?, / sin(ajr -h 6) rfr,

regardées comme des fonctions de leur limite supérieure x, sonu lorsque a n'est pas nul, des fonctions périodiques de jt, la période étant — ; ces intégrales sont nulles toutes les fois que la différence

x^ — X est un multiple entier de — ^ ; ces fonctions changent entièrement de caractère quand a est nul : elles sont alors respectivement égales à

(ar — a?o) cos6, (a? — a*©) sin6.

Les détails dans lesquels je suis entré montrent, sur des cas simples, les précautions à prendre pour le calcul des inlégrile> définies.

Je vais, maintenant, faire quelques observations sur les intégrale» définies portant sur des fonctions imaginaires.

315. Tout d'abord, il doit être entendu, conformément à ce que l'on a dit pour ce qui concerne les fonctions primitives, que la variable d'intégration et les limites de l'intégrale seront toujours supposées réelles. Le cas contraire est formellement exclu de ce Livre. Je préviens en outre que les seules fonctions imaginaires que je considé-

NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. 5o9

rerai dans ia suite seront des polynômes, des fractions rationnelles, des fonctions exponentielles, des sinus et des cosinus. Les logarithmes, les arc sin, ... de quantités imaginaires n'ont pas été définis et sont formellement exclus du présent Livre.

Soity*(j:) une fonction de la variable réelle x^ qui puisse se mettre sous la forme ©(:r) -|- i^(x), en désignant par cp(jc) et ^{x) des fonctions réelles, l'intégrale définie

où Xo el Xx sont des nombres réels, sera, par définition, égale à

Jf ^(x) dx -h i f ^(x)dx;

on suppose, bien entendu, que les intégrales définies qui figurent dans cette dernière expression ont un sens. On voit que, si l'on désigne par F(j:) une fonction primitive de/{x) au sens du n° 223, on pourra encore écrire

f */(x)dx = F(xi)-F{xo).

Les formules VII, VIII, IX, X, XI subsistent sans modification, que les constantes a el b soient réelles ou imaginaires.

On en déduit le moyen d'obtenir la fonction primitive de toute fonction de x obtenue en remplaçant, dans un polynôme quelconque en a, i?, ..., les variables par des expressions de la forme e**^"^*; la substitution étant faite, il est clair, à cause de l'identité e-^e-^ = e^"^^, que l'expression considérée devient une somme de termes de la forme Ae"^^P, où A, a, ^ peuvent, d'ailleurs, être des constantes réelles ou imaginaires; chacun de ces termes s'intègre par la formule IX. En se rappelant les formules d'Euler qui permettent de passer des fonctions sin, cos à la fonction exponentielle, on voit de suite que le procédé qu'on vient d'indiquer réussit pour toute fonction de X obtenue en remplaçant, dans un polynôme quelconque en w, i^, ..., les variables par des expressions de la forme e**^"*"*, sin{ax -H 6), cos(a^ H- b).

5lO CHAPITRE XVII 1

On a, par exemple,

f ^ a->i-bi\r ; ^{a—bi)x

j <»«■*■ cos bx dx = j l j

= - ( ïT^ -^ r^ = ' — ^'''

•2 \ a -h 6i a — ùi /

j e"' sin hxdx = / ( : ) dx

, / ^{a-hbix ^ a-bi^x \ « sin 6ar — A COS 6jr

= — • ( T^ r- ) ^^ = ; — Âï ^''''•

!ii\a-r-ftf a — bi I a*-t-b^

la déinoQStratioii inèiTic prou\e que ces formules subsisteut, que a, b soient réels ou imaginaires, pourvu que a^-h 6* ne soit pas nul. Pour calculer les intégrales

/ co^'f^xdxy j sin"^xdx^

où m désigne un nombre naturel, on remplacera cosx, sinx, par

— y ;— : > et l'ott appliquera la formule du binouie, de

manière a avoir une somme de termes de la forme e'*-^, où a est un nombre entier positif ou négatif, multipliés par des coefficients numériques. Au reste, le calcul même montre sans peine que cos-'"x. cos^'"~*j:, sin^^'x, sin*^"*x peuvent être mis respectivement sous \e> formes

cos*'" j: = Xocos'imx -+- Ai cos( -im — •x)x H-. . .-h A//i t cosaa" -!- A«, cos*"*-'x = Bo cos(a//i — i)x-+- B] cos (2 /m — 3)x-h...-h...-i- B«,cosjr, sin*"»a7 = Co cos 2 m x ■+■ C| cos(2/;i — 1)0: -4-. . .-*- C,„i cos2X-r-Gw, sin^m-ijr = Do 5in(2m — i)x -h Di sin('2A/i — 3 )^ h-. . .-k D/« sinx.

Les coefficients A, B, C, D sont des constantes numériques ai>êe!» à calculer en se reportant au n'^OT; je me contente d'écrire les premières de ces formules

cos*x