COS2X
NOTIONS DE CALCta INTÉGRAL. 5l l
On a, par exemple,
cos^xdx= — sinS-r-h - sina*.
Il 4
316. Plus généralement, un calcul du même genre conduil sans peine à la fonction primitive d'un produit de cosinus ou de sinus portant sur des expressions de la forme ax -h b. On arrive aisément au même résultat sans passer par la considération des nombres imaginaires; observons d'abord qu'on peut, à cause de la relation
sin(ax -h b) = — cos lax-^-b-^ Jj
se borner au cas où le produit ne contient que des cosinus ; dès lors les formules
ticosacosp = cos(a -+- |3) -h cos(a -h P), 4 ces a cos p cos Y = ^ cos y cos (a -»- P) -h '2 cosYCOs(a — ^)
= cos(a -h p -+- Y) -h cos(a -4- p — Y) -h cos(y -+- a — P) -+- cos(y — a -h P)
montrent qu'un produit de la forme 2" cosacos ^3. . . cos A, où figurent n cosinus, est une somme de cosinus d'expressions de la forme (a zb p d= . . . ±:X); si toutes les expressions a, p, ..., A sont de la forme ax H- 6, il en sera de même de l'expression ol± ^ ±:...d=X; on ramène ainsi le produit à une somme que l'on sait intégrer terme par terme.
On a par exemple
/ cos(aj: -+- 6) cos(a'^ -H 6')rfx = - / cos [{a -h a') jc -h ô -h b'] cLr
H — / cos [(a — a'jx-hb — b']{ix.
On voit que le second membre est susceptible de formes différentes suivant les cas; si a -H a' et a — a' sont difiérents de o, on aura
.. . , ,,, , sinf a-4- a ).r-h 6-1- 6'] cos{ax-h b)cos(ax-h b )dx = ' ;
•lia -h a)
sïnUa — a) x-h b — b']
H î^^ TT -'
■li^a — a )
5 12 CHAPITBE XVIII.
Si a est égal à a', ou à — a\ on aura, suivant les cas,
/,. ,,, , s\n('iax -*- b -^b') x .. ,, cos(ax -+- o)co8(aar-^ b )(ix = : 1 — cos(6 — o).
/., / t. v^ sin (2ax-h6 — 6') jt /r i.v cos(ax -+-6)cos(— ax-\- b )dx =i ; h cos(o — 6 ). 4a 2
Ces dernières formules supposent a difl'érent de o.
Lorsque a et a' sont des nombres entiers, on voit que Tintégrale
cos(ar H- b)cos(a'x -h b')dx
est nulle si les valeurs absolues de a et de a' sont différentes, qu'elle est égale à ircos(é — 6'), ou à «cos(6 -h 6'), si l'on a a = a'^o, ou a= — a'^ o; elle serait égale à 2 7tcos6 cos6',si l'on avait a = a' =o. En particulier, si a, a' sont des nombres entiers qui ne sont pas nuls tous les deux, on a, dans tous les cas,
co%axs\na' X dx = o^ 1 sin a x cos a' xebp =^o^
puis, si les deux nombres a -h a' et a — a' sont l'un et l'autre différents de o,
/ cosaxcosa'xdx = o, 1 s\naxsma'xdx = o;
enfin
f cos*aa7ûte= ir, / siB*axdx= t: (>).
317. Changement de la ▼ariable d'intégration. — Si F(j7) est une fonction primitive de /(x) et si cp(^) est une fonction quelconque de t admettant pour dérivée '/(/), il est clair que F[?y(/)] sera une fonction primitive àe/[f{t)]f'{t); en d'autres termes, l'égalité
(I) f/(x)dx = Fix)
(') L'exercice 378 est une application très importante de ces divers résuluts.
NOTIONS DB CALCIL INTKGUAL. 5l3
entraîne l'égalilé
(2) ff[9in\9'indi^F[^{t)l
Ce résultat se retient très aisément en remarquant que, si l'on regarde dx^ dt comme des différentielles, la différentielle de la fonction »(/)est précisément ^'(t)dl; en sorte qu'on peut dire que l'égalité (2) se déduit de l'égalité (i) en y remplaçant x par cp(/) et dx par (f'(t)dt, comme s'il s'agissait de différentielles. C'est ce qu'on avait annoncé au n" 30o : bien que le symbole dx qui figure sous le signe / ne soit pas, à proprement parler, une différentielle, l'emploi de ce symbole n'offre que des avantages, puisqu'il se trouve soumis aux mêmes règles de calculque les différentielles proprement dites ('). Rien n'empêche, d'après cela, d'écrire le premier membre de l'éga- Jilé (2) sous la forme
En particulier, si l'on suppose o(/) = a^H-6, a et b étant des constantes, on voit qu'on a
fAat
b)aclt= ¥{at-^b);
ce qui, sauf le nom de la variable, revient à dire que, si F(x) est une fonction primitive de/(T7), -Y{a.v -[-b) est une fonction primitive i\e /{(ix -\- b)] en fait, cette remarque a été déjà appliquée pour les formules I, II, Vill, IX, X, XI : la formule VIII, par exemple, résulte de la remarque qu'on vient de faire et de ce que smx est une fonction primitive de cos..*'.
318. Cette même remarque va nous fournir le moyen de déduire des formules III, IV, V, VI les fonctions primitives des fonctions
Kx^^ j.n.c'
\' Xx- -t- i .{..
( '; L;j Icctciit' tjui puiirsuivia ses ëluilc.s iiiaihéiiiuliqiH s rocoiiiii.Mra qu'il n'en c»l \t\\i^ »lc même .piand il s'agit «l'inlcgralcs mulliples.
Si i CHAPITAB XVlil.
OU, si Ton veuU les expressions des intégrales indéfinies r dx r dx^
L'identité
suggère immmédiatement l'idée du changement de variable
ar -h -r- = l. dx = dt A
qui change les deux intégrales précédentes en
•Vf — B* Pour ramener ensuite le binôme /*-»- - — '-r-i — à la forme Z'± i qi»
figure dans les formules III, IV, V, VI, il suffira de faire le changement de variable
v^Ac-B», „„ / = ./EEZ2*,
suivant que AC — B^ est positif ou négatif, suivant que le trinôme proposé Aj?''^4- 2 Bx H- C a ses racines imaginaires ou réelles. Considérons d'abord la première intégrale
I* AC — B» > o, t = ^ z, dt = dz.
r dx 1 r dt I /
J Ax«-h2Bx-hC A / ^^ AC — B« ~ A f
A AC — Bî , A»
x r dz I
= . - / —z = - arctang-s
v/AC - B» ./ «* -^ • /AC - B^
NOTIONS DK CALCUL INTÉGRAL. 3l5
et, finalement,
dx I A 2: -+- B
: arc tang -
on a, en parlîciilier (*),
/•"*"* dx __ sgnA
./., Xx*-^2Bx^C /aG — B*
en effet, quand^ tend vers -\- 00, -=== tend vers -\- 00, ou vers — 00, '^ ' v/AG-B«
suivant que A est positif ou négatif, l'arc tangente tend vers ;^ ou — ->
suivant que A est positif ou négatif. On a les mêmes distinctions à
faire quand x tend vers — 00.
Dans le cas qu'on vient de traiter, la fonction sous le signe / est
continue, quel que soit x.
jir n^^ , V'H»— AG . /B« - AG ,
a" AG — - B* < o, / = j z, dt = r dz.
On a
r dx \ r dt —i r dz
J Ax*-^iBx-hG ~ A / B«--AG ~ ^B^ZTXg.' '- -5*
a ^^n AG
•ji/B*— AG'^U-'^r
«-^«1 av^B«- AG
v/B*— VC — A.r— B
v/B»- AC-f-A^-^ B
en désignant par x', x^ les racines du trinôme Ax^-h 2Bjf-4-C, rangées dans un ordre tel que l'on ait a:' — a/'= ^ ; la formule n'est applicable que si les deux limites d'intégration sont toutes deux supérieures à x', af^ ou toutes deux inférieures à x', a^ ^ ou toutes deux comprises entre x' et af , On peut écrire aussi, dans le
( • ) Je rappelle que sgnA = -î^-r- représente -t-i ou — i, suivant que A est positif ou négatif.
5l6 CHAPITRE XVIli.
dernier cas,
dx — I , A ar -^ B
/dx — 1 ^ .
Arî-^-î*Ba:-4-G /B»— AG v/H«— AG
3" .\C-B2=o, on a
r dx
J Aj»-+-aB.
x-hC A r -+- B
La formule ne s^applique que si — j n'appartient pas à ['intervalle d'intégration.
Arrivons à l'intéarale / -- —
^ J y/Xx^'-^'iBx-^C
Supposons d'abord A négatif; on doit supposer les racines du irinome Aa^^'^- 9.Bx -h C réelles (B*^ — AC > o), sans quoi le radical serait toujours imaginaire; on aura alors
/dx I /" d.r
7;^j.,,Bt-"C~/=T / /B»- AC 'T~'hJ''
vn faisant le changement de variables,
Il /Bî^r;\ô t/B»— AC ,
A \ieat
/ • dx — I /• //5 — I
/ = -T=r / — = --^r— arcsiDJ,
/ • dx — I . A r -4- B
