I -— = -^=- arc siii

,' v'^Aj- — /Hj- — G \ — \ /B^ — AG

l:i formule n'est applicable que si les limites d'inlégralion appi«rlionnenl à Tintervalle formé par les deux racines .r', jf du trinom -; ou désignant par j:' la plus petite et par x" la plus grande, on a

Ai ^ B ^ ^ B — \G, Aj' ~ B = — v^B«— AG,

= : I arc sini — n — arc mu i J = — «j=:-*

/, \ A J >Bj — «: \ - A V - \

NOTIONS DE CALCUL INTÉGHAl • 5l7

Supposons maintenant A >• o. Un calcul tout pareil et la formule VI montrent que l'on a

/âï»TTb7Tg /a

= -Llg[Ar-hB-f-v/A«/Aar*-h'>.BarH-C|.

Je laisse au lecteur le soin de montrer que la quantité placée entre deux barres verticales, dans le second membre, est toujours positive quand les racines du trinôme Aj:^ -h 2 B j? -^ C sont imaginaires. Lorsque ces racines sont réelles et distinctes, elle est positive si x est supérieur à la plus grande des racines, négative si x est inférieur à la plus petite. Ce dernier point résulte sans peine de l'identité

(A:c-+-BH-/A/Aj^«H-2BarH-G)(Aar4-B--- v/Âv/Â>»-h2Ba:--G) = B«--AG.

Les limites de l'intégrale définie doivent être toutes deux plus grandes que la plus grande des racines ou toutes deux plus petites que la plus petite.

Lorsque B^ — AC est nul, on a

sgn ( -. -. ^ ; I B I

lg|^-H;^

r dx ^j r^^f = Z!t!lÂZi I

J y/X^^'iBx-r-C v/Â / I ^ ^ B I /Â ^1

Considérons l'intégrale indéfinie

dx

xyx^- On peut l'écrire

— sgniT

On aura donc, si a est positif.

Va

5l8 CHAPITRE XVIII.

et, si a est négatif,

— " arcsin

Si Ton applique celte formule à une intégrale définie, les deux limites de rinlégrale doivent être de mêmes signes et, si a est négatif, être toutes deux au moins égales à y^ — a, ou au plus égales à — \/— a.