Les formules évidentes

/u'dx r du , , ,

/— dx— l II-"' u dx = ! fd{ tt-'«^-*) = — (m ^ i ),

ru, r du

I rdx = I = arctancu,

où U est une fonction de x dont la dérivée est i/', se rattachent si Ton veut à la théorie précédente, ou au théorème des fonctions de fonction, dont elles sont des conséquences immédiates. Il convient de se familiariser avec leur application, de savoir reconnaître, par exemple, si le numérateur d'une fraction est, à un facteur constant près, la dérivée du dénominateur ou la dérivée d'une fonction dont le dénominateur est une puissance.

Ainsi

r {Anr-hh)dT 1,14, i> /-i

J \X*-^ 'llix -h Çj 2 "

Celte dernière formule, dans laquelle le premier membre peut s'écrire

J Ax«H-iBa7H-C"^ ,/ A;r«-h2B:r-+-C' montre, puisque Ton a l'expression de / -j—^ -^ r^» qu'on peut

NOTIONS DE CALCUL INTÉGAAL. SlQ

TTi ^ p' ^^)

par suite, celle des intégrales de la forme / ^^^^ p' où a et 6

sont des constantes.

De même la formule

./ |/Aj-*-H9.Bj7-f- C J

et les résultats précédemment obtenus permettent d'évaluer les inté-

11, C {a.t -^ b)cLc

crrales du type / ^

On a

320. Les applications précédentes du changement de variable ont été faites en vue de la recherche de l'intégrale indéfinie; celle-ci une fois oblenue, il n'y a qu'à prendre, pour en déduire une intégrale définie, les précautions relatives à la continuité, etc., sur lesquelles on a insisté au n° 314; il importe de se rendre compte de la façon dont il convient d'opérer en général quand on fait un changement de va-

f f{x)dx.

Je suppose essentiellement que la fonction /(ar) soit continue dans un intervalle (A, B) auquel appartiennent les limites :ro, Xx^ que la fonction ^{t) soit de même continue, ainsi que sa dérivée o'{t)^ dans l'intervalle (a, P), et que les valeurs qu'elle prend quand t varie dans l'intervalle (a, P) appartiennent toujours à l'intervalle (A, B),

Soit F(x) une fonction primitive de/{x); elle sera aussi continue dans l'intervalle ( A, B) et l'on aura

/{x)dx=F{Ti)-F(T^).

Quant e appartient à l'intervalle (a, P), la dérivée par rapport à t de F[?(OJ ^^^ /['f(^)] ?'(0> ^^ ^'^"^ aura, quels que soient les nombres Iq et f|, appartenant à l'intervalle (a, p),

320 CHAPITHE XYIII.

el, par suite,

(I) r V[?(Ol?'(/) = F(x,) — F(^o)= f f^^)dx,

pourvu que /o et t^ appartiennent à Tintervalle (a, ^) et satisfassent aux équations

Lorsque t varie de /« à/|, sans sortir de l'intervalle (/«, i|), x = ^(/ » qui passe de la valeur x^ à la valeur Xx peut sans inconvénient osciller dans cet intervalle, ou même sortir de l'intervalle (x«, x^ j. pourvu que les conditions précédentes soient vérifiées. Ce point, qui ressort clairement de ce qui précède, s'établit sans peine par des considérations géométriques que je laisse au lecteur le soin de développer.

Au reste, lorsque Téquation x = »(/) permet de définir une fonction / = A(x), inverse de o{l) (n" 199) qui varie toujours dans !«• même sens quand x va de Xq à r,, il sera naturel de choisir pour /» et tx les \aleursque prend cette fonction •i(x) pourar = Xo, x= Xt.

La formule (i) ne s'appliquerait plus si, lorsque l \arie de /« à /,. les valeurs de la fonction x = ^{t) sortaient de l'intervalle ( A, B ) où la continuité AeJ\x) est assurée.

J'ai supposé dans ce qui précède la formule du changement d'' variable résolue par rapport à .r. Si Ton se donne inversement la formule t = '^{^) et si l'on sait former une fonction continue g{l • tell»* que l'on ait

pour les valeurs que prend la fonction ^{x) quand x varie de j-* à -r,. on aura

(O f fix)dx= f gyt)dt

en prenant /o= •i(:ro), i\ = *l{xx)^ ainsi qu'on le \éri(ie iminédi-ilement en faisant, dans le second membre, le changement de ^ariahlr>

NOTIONS DE CALCUL INTEGHAL. .'>aI

Considérons, par exemple, en supposant b- — c négatif, l'intégrale

ibx -t- cy*

où n est un nombre entier, au moins égal à 2 ; Tîntcgrale indéfinie, en posant x -{- b = ^c — b'^ tang/, deviendra

; :^ I cos'*~*/rf^'

on a vu au n" 31o comment se calculait cette intégrale indéfinie ; on n'aura ensuite qu'à appliquer la formule (i) en prenant pour Iq^ t^ les nombres définis sans ambiguïté par les formules

j*o -h 6 ^ .ri H- 6

t^ = arr i«tng — . /t=arclang-

On aura, en particulier,

/ il.r I / K J ir^T^Ty-^ . arc ta„îr —.==-- a. ctang