AT I

— - j arc lan«ç y i h- arc lanjj -^ J = -:— .

321. Intégration par parties. — La recherche de la fonction primitive du produit w(^' d'une fonction connue m de .r par la dérivée d'une fonction connue (^, se ramène immédiatement à la recherche de la fonction primitive du produit u'v^ puisque la dérivée de uv est égale à //'i-'-l- uv\ en sorte que la fonction primitive de uv' est égale à e/r moins la fonctioa primitive de «V; en d'autres termes, on a

(11 / nv' lix = Hv — I vu' dr.

Cette formule, quand on a affaire à une intégrale définie, s'écrit souvent

uv' dx =\uv J J* — / vu' dx^

>«->. CHAPITIIK XVIII.

en désignant par le symbole [«»']rj la différence entre les valeurs que prend le produit uç pour x = Xt et pour x = x^,

La formule (i), ou (2). à laquelle on donne le nom de formule d'intégration par parties, est avantageuse toutes les fois qu'on sait calculer / UK'dx,

Si, en particulier, u est une de ces fonctions qui, comme Igx, arc tango:, . . ., ont une dérivée algébrique simple, la formule (1) permettra souvent de ramener le problème proposé à un problème plus

aise.

Soit par exemple à calculer / x" Igjr dx{n -h 1 ^^ o).

En supposant v = 1 h = Igjr dans la formule (i), elle deviendra

x** Isx dx = / x^ cLr

on a en particulier, pour n = o,

/ lg.r ûte = ar Igjr — x.

Soit encore à calculer

/ /j**-i-a dx.

On a, en prenant v — r^ u = ^x^-^a^

I v/j** -\-adx = X ^x^-h a — / dx ;

d'autre pan, on a

/. dx = / — "^ dx = I /ar'-f-a eix — a f —==. ;

on en conclut

/ /j^* -^adx — ^ l X Jx^ ^ a —a f ^"^ - j. ./ ^ \ J v^x«-^a '

r x^dx I / /-- /• dx .

I , =^ - ( x/x«-i-rt — « / );

NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL. SlS

l'intégrale qui flgurc dans les seconds membres a été calculée dans le n* 318. Plus généralement, oo a, en prenant

j ^kx^^'iHx-^Cdx = ^(Aa^-H B; /Aj-^-i- aBar -h C

(Aar-i-B)«

dx\

v/XtM^TbFTc

on a d'ailleurs

(Aar-*-B)»= A(Aar»-H2Bj:-+-G)-+-B«- AG, et, par suite,

\ r (Ay -f-B)<r/a-

.^ ^^ ,/ V^Ax*-*- >.Bar-+-C

d'où

= -i- I { Aar -+- B ) /AT«-f- 2 Bj- -4- G -h ( AG — B«} / ^ -

^A L J |/'Aar*4--2Ba:-hGj

Ici encore, l'intégrale qui flgure dans le second membre est connue. La formule (n*»213)

onduit à une formule plus générale que la formule (i), à savoir :

/ i^pU+i) dx — af {«^ — aV<«-i' -4- . . .=!z a'"' v^i j m<'*^»U' ^j:;

le s'appliquera quand la fonction dont on cherche la fonction primitive est produit d'une fonction connue par la dérivée (/n-i)''"** d'une fonction ^nnue. Une belle application de cette formule concerne le cas où v est de la rnie e*»-*, a étant une constante, et où u est un polynôme de degré n, poly- >ine dont la dérivée (n ^-i)'*™* est identiquement nulle, en sorte que l'intéale du second membre disparaît et que l'on a

I ue»^ dx = e*"^ ( -H — .,.±: — )i