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formule qui se vérifie immédiatement en prenant les dérivées des deux membre^. En se reportant au n** 31 S, on reconnaît de suite que la formule précédente est valable quand a est imaginaire, en particulier quand il est égal à db i ; on en conclut, en supposant toujours que v soit un polynôme de degré /i,

/ wcosx r/j7 — (a — M* -h //.'*' — . . .) sinjr -h («'— M*-»-. . . )cosx,

I X rfj? = ( «' — m" -+- . . . ) sin j" — ( u — u' -h m" — . . . ) co^ar.

j usine

La méthode d'intégration par parties, ou plutôt une méthode fondée sur la même identité, permet souvent d'obtenir des formules de réduction qui sont très piécieuses. Les formules que l'on désigne ainsi ramènent d'ordinaire le calcul d'une expression qui dépen<l d'un nombre entier n à celui d'expressions semblables mais relatives à des valeurs moindres de cet entier.

Considérons par exemple l'intégrale

X» dx

où n est ua nombre entier.

La dérivée de .r^ y/i -

est

.ri'-^*

pxP'Ui

■rP-^l

pxf*~^

i)xP-*-\

on en conclut

Si n est un nombre entier positif, on aura donc, en remplaçant dans cette formule p successivement par n — i , n — 3, n — 5, les égalités

. // — l .r"- ' v/i — jr* A„ =--A,,

La dernière de ces formules sera, suivant que // est pair ou impair,

Puisque A© = / . — - = arc sina? est connu, ces formules perriiet-

tront, dans tous les cas, de calculer de proche en proche les quantités Aa, A4,'A6, ..., A« si n est pair, les quantités Aj, As, ..., A„ si n est impair. Le lecteur pourra calculer, dans les deux cas, Texpressîon explicite (*) de A«. Je me borne aux remarques suivantes, qui sont immédiates.

Si n est pair, A„ cor tient un terme transcendant, en arc sin^c, et le produit par ^/i ~ x^ d'un polynôme en x^ de degré n — i , dont tous les termes sont de degré impair.

Si n est impair, A„ est le produit par y/i — x^ d'un polynôme en x de degré n — i , dont tous les termes sont de degré pair.

Dans tous les cas on doit ajouter à l'expression de A;, la constante arbitraire qui figure dans toute intégrale indéfinie.

Je laisse au k oteur le soin de traiter le cas où n est un nombre entier négatif; il verra encore que le calcul de A,, se ramène au calcul de quantités connues.

Revenons au cas où n est un entier positif : et faisons maintenant

'* xPda?

fjcP dx

\.\\ l'iiriiiule

quia été notre point de départ, et qui montre que xP\/ \ — x^ est une fonction primitive du second membre, montre que l'intégrale définie de ce second ineiiibre, pri^ic entre les limites o et i, est nulle quand on suppose /?><>, puisque xi^ \f i — x^ est nul pour r = o et pour x = \\ cette remarque fournit

( • j I oir lOx. IGO.

5vt6 CHAPITRE XVI II.

la relation

d'où, en supposant successivement p =^ 'in — i, a/i — 3, . . ., i,

Ain = — '^m-ii

• 2rt--3

A, = - Ao = ;

on déduit de là

Sn

'* a?«/*^ar i.3.5...(2/i — i)

on aura de même