NOTIONS PRÉLIMINAIRES
Objet de l'tftgebrA. — Premirr<»s iliSoull^s> qui se présenteut.
1. Dans toate question qu'on peut proposer sur les nombres , il doit exister entre les données et les inconnues certaines conditions qui sont indiquées par l'énoncé de la question : la solution a pour but de déterminer les inoHmues de manière qu'elles vérifient ces ocmditions. H faut donc s'attacher d'abord à bien saisir les divo^ses relations par lesquelles toutes les quantités connues ou inconnues sont liées entre elles, et trouver ensuite, au moyen de \m relations, quelles opérations on doit effectua sur les quantités I innées pour obtenir les inconnues. Tel est l'objet qu'on se proplus spécialement dans cette partie des mathématiques à
îlle on donne le nom d' Algèbre.
2. Pour mieux apprécier les premiers moyens qu'elle met en 9 je inrendrai le problème suivant : Partager 52 en trois
irties telles que la moyenne partie surpasse de 9 la plus petite »
qu^elle soit surpassée de iZ par la plus grande.
D'après cet énoncé , les parties inconnues doivent remplir trois
iditions :
r Que la moyenne soit égale à la plus petite augmentée de 9 ;
¥ Que la plus grande soit égale à la moyenne augmentée de i 3 ;
3» Que la somme des trois parties fasse 52.
Si quelques quantités données sont exprimées en chiffres, cl surtout si CCS quantités sont des nombres fort simples , on gagnera peu, sous le rapport de la brièveté, à les remplacer par dei lettres. Mais comme ces nombres s'altèrent par les calculs successifs , il n'est plus possible de reconnaître , à la fin des opérations de quelle manière ils entrent dans les résultats ; et de là il sol qu'en changeant ces nombres dans la question, il faut recommencer tous les calculs qui Ont déjà été faits. Quand on veut obyia à cet inconvénient, on le peut encore, en mettant des lettres ai lieu de ces nombres ; et c'est là un des plus grands avantages qvi procure l'emploi des lettres pour représenter les grandeurs, r. 6. La seconde difiBculté, celle qui naît de la répétition desmdl plus, moins, etc. , employés pour désigner les relations des qnatf tités entre elles, se résout naturellement en adoptant des signe! particuliers pour indiquer ces diverses relations. Je vais faire oott naître ceux qui sont en usage. ' '
7. + signifie plus, et — signifie moins. Ainsi, pour indiqott qu'on ajoute b k a, on écrit a+b{ei, pour indiquer que b'M retranché de a , on écrit a — b. ™
8. On emploie le signe x , ou bien un simple point , pom: diquer une multiplication. En écrivant ax^b ou a,b, on connaître que la quantité a est multipliée par b. De ày^by^c et a.b.c signifient que a est multiplié par b, et produit est multiplié par c.
-; Lorsque les multiplicateurs successifs sont désignés par simples lettres, on supprime les signes de multiplication afin rendre l'écriture plus rapide. Ainsi , abc a la même si lion que a.b.c ou axbxc. ^^,
Quand les facteurs sont des nombres , cette simplificatûn plus permise : car si on voulait, par exemple, indiquer le duit de 3 par 4, et qu'on écrivît 34, on confondrait ce avec le nombre trente-quatre.
Lorsqu'on multiplie une quantité littérale par un mnltipU numérique, on le place au-devant de cette quantité : on loi alors le nom de coefficient. Ainsi ^aet^b signifient la m que ax 3 et ^x 3 : 3 et J sont des coelBScicots.
9. Pour indiquer une division, on écrit le diviseur- ai sous du dividende , et on l'en sépare par un trait U
LEÇONS U ALGKbKK. O
ri
ainsi , - signîGe ^ dimé par b. Quelquefois aussi on ccril a : b.
IQ. Oa nomme puissances d*unc quantité les produits qu'on forme en multipliant cette quantité par elle-même une fois ou plusieurs. Ainsi, aa est la 2" puissance ou le carré de a, aaa en est la 3* puissance ou le cubé, aaaa en est la ¥ puissance, etc. On indique ces puissances d'une manière abrégée en écrivant la lettre nue seule fois et en plaçant à sa droite, un peu au-dessus, un nombre, qu'on appelle exposant^ et qui marque combien de fois die devrait être écrite. Par exemple, a'^ représentera aaaa ou la ('puissance de a, et on lira a exposant quatre^ ou, plussimplenent, a quatre. Cette notation, imaginée par Descartes, a eu k plus heureuse influence sur les progrès de Falgèbre.
n faut bien prendre garde de confondre le coefficient et l'expotaX. Si j'écris 3^, le nombre 3 est un coefficient, et si j'écris A^, le nombre 3 est un exposant. Or 3a et à^ expriment desquanttés bien différentes : car 3a est la même chose que a+a+a, et a' est la même chose que ay^ax^a. On comprendra mieux More la différence , si on met un nombre particulier à la place de k lettre a. Par exemple , si on met 4 , 3a représente 3 fois 4 ou 12 , tandis que a^ représente 4x4x4 ou 64.
11. La quantité qui, étant élevée à une puissance, produit ime quantité donnée, est une racine de celte dernière. Ce sera ime racine 2«, 3% 4% etc., selon qu'il faudra en faire la 2^ puissance, la 3', la 4*, etc., pour reproduire la quantité donnée. Ainsi, la
dne4" de 16 est 2, attendu qu'on reproduit le nombre 16 en vaut 2 à la 4« puissance. La racine deuxième prend ordinaireinent le nom de racine carrée^ et la raciiie troisième celui de racine
€ubique.
Le signe V , qui s'appelle radical ^ indique une racine à ex-
i. On lui joint un nombre qu'on nomme closant ou indice ,
qui marque de quelle racine il s'agit. |/â indique la racine 4«
a. Dans la racine carrée, on sous-entend l'indice, et on écrit
iplement Va.
12. Le signe = est celui de l'égalité. Ainsi, en écrivant i+2a = 5a , on indique que si à trois fois à on ajoute le double
a, la somme est égale au quintuple de a. L'ensemble des ox .qpiantilés , ainsi séparées par le signe = , se nomme une
6 LKÇONS o'aLGÉBRK.
égalité. Chacune des deux quantités se nomme membre. Celle qui est à gauche est le premier membre; ceUe qui est à droite est le second.
13. Le signe > veut dire ;?/tt5jr«»rfîtttf /et le signe < veut dire ptus petit que. Ainsi , a^b signifie a plus grand que b; et a<Cfi signifie a plus petit que b. L'ouverture du signe est toujours tournée du côté de la plus grande quantité.
14. Les dénominations de quantité littérale, quantité algé'brique y expression littérale^ expression algébrique y sont employées indifféremment pour désigner un assemblage quelconque de quantités représentées par des lettres , et unies entre dles par les signes de différentes opérations. Telles sont 2a^ et a^ — Vab.
Chacune des quantités qui sont jointes entre eUes par les signes +et — s'appelle terme, et assez ordinairement le signe fait partie du terme. Dans l'expression ^a — ab"" + k^, il y a trois termes , savoir: 9a, — ab*^'^Vab,
On appelle quantité monôme ou simplement monôme , une expression algébrique qui n'a qu'un seul terme; etpofynome, celle qui en a plusieurs. En particulier, on appelle binôme, trinôme^ quadrinome, quinome, celles qui en ont deux, trois, quatre oii cinq. Quelquefois encore on donne aux monômes le nom de quantités incomplexes , et aux polynômes celui de quantités complexes.
On appelle termes semblables ceux qui sont composés des mêmes lettres affectées des mêmes exposants. Ils peuvent d'ail* leurs différer par le signe et par le coefficient. Dans l'expression i^a^b — Zab"" — 2ûf'6, le premier terme 4^'^ est semblable au troisième — 2a'i. Toutes les fois qu'un polynôme renferme des termes semblables, il peut recevoir certaine simplification dont on parlera plus loin (29).
En algèbre, on nomme quantités rationnelles celles qui ne
renferment point de radical. Telles sont 17, \a, a^h -.
On appelle quantités entières celles qui sont rationnelles et ne contiennent aucun dénominateur. Telles sont 47, 2c^b^ %a* — bc.
15. Lorsqu'une quantité est composée avec une autre, on dit qu'dlc est une fonction de cette dernière. Par exemple, l'exiM'eBMOn 3^:^ — 1^ est mie fenotion de x.
Pour désigner d'une mAnitod générale une fonction dé a:, on
L£CO?SS d'aI.GKBRK.
écrit F(x) , et alors la lettre F est employée comme une abré- TÎation da mot Fonction. Lorsqu'on veut représenter plusieurs fooctioiis diffâreutes de or, on varie la forme de cette initiale. Par eiemple , on écrira F(x) , f(x) , ^(x) , quelle que soit d'ailleurs la loi d'après laquelle chaque fonction est composée.
Quand on se sert de la même lettre F, et qu'on écrit F (a.) , F (.r), on désigne par-là deux fondions composées semblablement , Tune ttec JT et Tautre avec y , de telle sorte que la première se change en la seconde quand on y met ^ au lieu de x.
Ce qui vient d'être dit s'étend naturellement aux expressions où il eatre {dos d'une quantité. Ainsi, l'expression ^xy — x-f Vy sera me fonction de jt et^ ; et en écrivant F ( a: , ^) on désignera d'une manière générale une fonction quelconque de a: et ^.
Application de la noUtion algéJ>rM|ue.
16. A6n de faire ressortir les avantages qui peuvent résulter de la notation algébrique, je vais l'appliquer à la solution du problème énoncé n** 3.
Je désignerai par a le nombre à partager , par b l'excès de la noyeane partie sur la plus petite , et par c l'excès de la plus grande sur la moyenne.
De plus , je représenterai la petite partie par . . jt,
Alors la moyenne sera x+ b^
La plus. grande sera x4- 6-fc,
Et la somme des trois parties sera 3jr+26+c.
Or cette somne doit être égale au nomlve à partagera; donc on a r^^alité
Si on retranche 2b et c de chaque membre, il vient '
3jc=/ï — 2& — C;
et si on divise par 3 , on obtient, pour rineonnue x^
ont employé les quantités négatives ,- et , laissant de côté tonte question particulière, c'est de la soustraction qu'ils font naître ces quantités , comme on Tient de TexpHqaer plus lumt.
Ainsi , en résumé , lorsque dans une soustraction la quantité à retrancher surpasse celle dont on doit la retrancher^ on est convenu de soustraire la plus petite de la plus grande^ et JÊin^ diquer ce changement d^ ordre en plaçant le signe — devant le reste.
Ce sont les quantités isolées, ainsi précédées du signe — , qu'on nomme négatives. Par opposition, ceUes qui ne sont poiirt afiectées de ce signe , sont cens^ aToir le signe +, et on les nonune positives.
20. Reprenons l'expression a — 6 , et supposant que a oonserre une grandeur fixe , faisons croître b à partir de léro. On (Atient d'abord des résultats décroissants ; et quand b est égal à /x, la différence a — b est zéro. Si on coatkaM d'augmenter b , on trouve des quantités négatives ; et plu» b sera grand , plus ces quantités négatives, considérées dans l^aur vsdeur absolue, seront grandes. Par exemple, prenons ^ =3, et faisons succedsivement ^=0, 1 , 2, 3 ; les valeurs de a^—b seront 3, 2,1, 0. Mais si b continue de croître, et qu'on fasse 6=4, 5, 6,... on aura — i, — 2, — 3,...
Or, parce que ces valeurs négatives viennent à la suite des nombres positifs décroissants 3,2, 1, 0, on convient de les regarder comme plus petites que zéro ; et parce que les quantités négatives qui ont une valeur absolue {dos considérable viennent après celles qui ont une valeur moindre , on les regarde aussi comme plus petites que ces dernières.
Ainsi, d'après ces conventions, — 2 est moindre que zéro, et — 5 est moindre que —2. En se servant des signes < et > dont la signification a été fixée n^' 13 , on peut écrire
, — 2<0^ 5<;-.2, oubien 0> — 2, —2>— 5-
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