CHAPITRE II

ou CALCUL ALGÉIMQIII.

CoBtmeDt on étend aux ^nantiln négativet Im opératioiu d« rarilk«iétiqtt«.

21. Lbs quantités algébriques peuvent, comme les nombres, être soumises à diverses opérations, telles que l'addition , la soustraction , etc. Mais pour les quantités littérales , ces opérations , ainsi que le fait observer M. Lacroix , diflèrent de cdles qui se pratiquent, sur les nombres, en ce que leurs résultats, ne pouvant être que des indications de calculs à effectuer , no présentenfréeliement qu'une transformation des opérations , primitivement indiquées , en d'autres qui doivent produire les mémos résultats. Les règles qo'fl faut suivre pour eflbctuer ces transformations constitmetà le calcul algélnrique.

22. Tant qu'on ne considère que des grandeurs positives , les déQnltkms de l'arithmétique font coonatlre avec précision l'objet de diaqae opération ; mais dles deviennent insuflBsantes quand on les applique aux quantités négatives. Par exemple, quelle signiâcatioii ces définitions peuvent-elles donner à des énonciations telles que celka-d : ajouter — 5 et — 7 , multiplier + 5 par — 7 , etc. ? et n'est-Q pas clair que de pareiUes loeutions doivent être rejetées comme étant tout à fait videS de sens , à moins qu'on ne fixe , par qudques ccmventions nouvelles, celui qu'on vent y attacher : c'est ce que je vais faire. A cet effet, je reprendra! diacune des quatre opérations ; j'étendrai , autant qu'il sera possible , la définition de chacune d'elles aux cas nouveaux qui se présenteront ; et quand cela ne se pourra point, j'établirai les conventions nouvelles auxqoriBes ces cas donnent lieu.

23. ÀDDiTioff . Cette opération , telle qu'on la conçoit en arithmétique, a pour objet de trouver une quantité qui contienne à elle seïde tontes les unités et parties d'unité qui sont dans piufieurs

14 LEÇONS d'aLG&BRE.

le résultat doit être négatif , et que sa grandeur absolue est égale k l'excès de 7 sur 3 : c'est-à-dire qu'cm a

Il est à remarquer que dans chacun des quatre cas qu'on Vient de parcourir le résultat est toujours le même que si l'on eût ajouté le second nombre, après avoir changé son signe, avec le premier. Bien entendu que dans cette addition on se conforme aux conventions du n"" 23. Ainsi , on a cette règle simple et facile à retenir :

La soustraction revient à une addition dans laquelle on ajoute la quantité à soustraire > prise avec un signe contraire , avec Vautre quantité.

Par cette règle , on aurait

25. Multiplication. Soient aQib deux nombres quelconques, il y a quatre cas à. considérer, savoir :

+aX+^, — ûX+ô, +tfX— 6, — /ïX— A.

Le premier cas est celui de l'arithmétique , car + ^ et + fr sont la même chose que a et bj et comme le produit de a par 2^ se représente par ab , et que ab est la même chose que 4-a& , on peut écrire , en mettant les signes en évidence , +a x 4- 6 = + ^6.

La définition ordinaire de la multiplication peut s'appliquer aa second cas; mais pour le montrer clairement il faut examiner l'une après l'autre les hypothèses de b entier et de b fractionnaire. Si ce multiplicateur est un entier, 3 par exemple, en répétant, suivant les règles de l'addition (23), le multiplicande — a autant de fois ^'il y a d'unités dans 3 , On aura — a — a— ^ on — 3i •• c'esl-àdire que , pour multiplier une quantité négative par un nomkre entier positif, on fait le produit sans égard aux signes, et qu'on lui donne le signe — . De là on conclut qu'on peut diviseur une quantité négative par un nombre entier positif, en prenant le qootieot sans égard aux signes, et en lui donnant le signe -<-.

Supposons que, dans le produit — a x +^ , le multiplicateur soit un nombre fractionnaire tel que f . D'après l'idée attachée à la multiplication, il faut prendre les \ du multiplicande $ ou, en d'au-

LRÇONS d'aLGÂRAE. 15

Uts tentm , il faut diviser ce multipUcaiide par 5 , et multiplier le résuUai par 7. Or, oq vient de démontrer que ces apérati(His dMveot s'exécater sans avoir é^rd au signe — , et qu'on doit donner ce signe au résultat j donc — a x 4» î = — la. Donc , quel que soit 6, on a toujours — ax+b = — ab.

Dans les deux autres cas , 4-tfX — 6 et — ax — 6, lemultiplicatttir est négatif. Or, la déGnition de la multiplication, en prescrivant de composer le produit avec le multiplicande comntô le multi- ]^iGateur est composé avec l'unité, ne montre point comment on dmt avoir égard au signe — qui est devant le multiplicateur , et sous ce rapport elle est insufiSsantc. Pour corriger ce défaut, on remarquera que , dans les cas où le multiplicateur est positif, le signe du malti|dicande se conserve dans le produit ; et par-là on est conduit naturellement à ajouter, comme complément à la définition , cette convention nouvelle que , dans les cas ou le multiplicateur est négatifs il /aut faire la multiplication comme s'il était positif , et changer ensuite le signe du produit. De là on conclut immédiatement qu'on doit avoir -ha x — fr= — ab et — a x — ^ = +ab.

Les différents cas qu'on vient d'examiner peuvent se résumer dans la règle suivante :

Pour multiplier deux quantités, quels que soient leurs signes ,

on fait le produit de ces quantités, sans fu^oir d'abord égard aux

signes , puis on affecte le produit du signe + quand les deux

facteurs ont le même signe^ et du signe — quand ils ont des signes

contraires»

L'usage permçt encore d'énoncer la règle des signes par ces locutions abrégées :

+par + donne + , ---par + tionne — , ■^par — donne — , — par — tionne +.

Remarquez que, si on change le signe d'un facteur, le produit doit changer de signe, et que si on change les signes des deux facteurs, le produit reste le même. Remarquez aussi que le produit ne change point quand on intervertit Tordre des deux facteurs.

26. Division. La définition ordinaire convient parfaitement à l'algèbre. Son objet sera toujours de découvrir Tun des facteurs d'un produit donné quand on connatt.rautre facteur ; et par conséquent il faudra toujours qu'en multipliant le quotient et le diviseur Ton par l'autre , on reproduise le dividende*

qael ses termes soient rangés , pourra que chacun d'eux reste toujours précédé du même signe.

En effet , un polynôme quelconque étant dontié , imaginons qu'on ait écrit, comme formant deux sommes séparées , d'une part les termes positifs , et de l'autre les termes négatifs. Si on suit avec attention le détail des additions et des soustractions indiquées dans le polynôme donné , on comprendra sans peine que ces opé- ■ rations successives reviennent tantôt à retranclier , sur une partie de la première somme, une partie de la seccnde, tantôt à Mranclier, sur une partie de la seconde , une pâHle de la première. Par-là il devient clair que le résultat définitif doit être égal à l'excès de la plus grande somme sur la plus, petite et avoir le signe de la plus grande; et conune les deux sommes demeurent les mêmes dans quelque ordre que les termes du polynôme soient placés , on con- ., dut que l'ordre de ces termes lal ^^i^ interverti à vohmté , sans ^^ que la valeur du polynonMpMllwée.

Cela posé , supposaolBMt^lt p^nôme donné ftit des termes semblables. Par eaKiMi^pnl soit

On pourra changer de place les quatre termes semblables — 86^^ +3^^, — 5^^, 4-46^, et les rapprocher les uns des autres commt^^ il suit : I ,*"

Alors remarquez que les termes positifs 36^+46^ peuvent remplacés par un seul +76^; qu'ensuite les termes négat — 8i^ — 5ô^ peuvent aussi être remplacés par un seul — 13^1 quatre termes semblables seront déjà réduits à deux+7&^ — l^^a» Mais ces deux-ci se réduisent eux-mêmes à un seul — 6^^ ; P^"*!? conséquent, en reportant— 66^ à la dernière place, le polynonfipi simplifié sera

En général , plusieurs termes semblables pourront toujours réduire à un seul \ son coefficient sera la différence entre somme des coefficients précédés du signe-^et la somme des coi cients précédés du Signe — ; et son signe sera le même f^ue d des coejîcients dont la somme est la plus grande.

LEÇONS D'ALGABII«. 19

Dans rapplicatioo de telle règle , il ne faut pas oublier que le premier terme , qoand il n*a pas de signe , est censé avoir le signe +9 et qae les termes devant lesquels on n'écrit pas de coefficient sont censés avoir le coefficient 1 .

30. Remarque. Qnolqde Tordre des ternies soit indifférent, on les dispose presque toujours de manière que les exposants d'une même lettre aillent en croissant ou bien en décroissant : cela s'appelle ordonner. Le dernier polynôme est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de ^ ; et il Test aussi par rapport aux puissances croissantes de 6.

AùéMoû et toiiitractioii des pol jutftnet.

31. Si à a — b on doit ajouter c-f*^ — e, pour indiquer cette addition , on enveloppe la seconde quantité entre des parenthèses et on écrit

a — 6-H(c4-rf^e);

mais je vais montrer qtie les parenthèses peuvent se supprimer.

Concevons pour un moment qu'on ait effectué les opérations

bdiqaées dans le second polynôme c+d — a, et que le résultat

toit une quantité positive +P. En ajoutant 4«P avec a— Z^, il

^^1 vient a — ft + P. On peut changer la place des termes et écrire

+P + ^x — b. Mais ici l'addition de a et la soustraction de b ne

doivent venir qu'après les opérations qui donnent +P ; par consé*

qoent on peut remettre , au lieu de 4-P, le polynôme c+û?— e, et

on a c + rf — c+a— ô. Enfin on transportera aux dernières

les termes qui viennent de 4-P, et on aura

a — b-rC+d — e,

uoïïf ^ lo second polyncmie était égal à une quantité négative — P, le jnême raisonnement se ferait encore en mettant jpar tout — P au lieu +P, et on arriverait encore au même résiQtat. Dans ce résulit, les termes des deux polynômes se trouvent écrits , avec leurs , les unsà la suite des autres; et il est évident que la même doit arriver, quels que soient les polynômes qu'on ajoute, là on conclut cette règle :

le ce| Pour ajouter des polynômes, U suffit de les écrire les uns à suUe des auires, en conservant les signes de tous leurs termes.

20 LEÇONS d'algâbre.

Après avoir appliqué cette règle, il ne faut pas néglige la réduction des termes semblables , s41 y en a. Pour faci réduction , on ordonne assez ordinairement les polynôme! port à une lettre, et on les écrit les uns sous les autres j fait immédiatement la réduction. Yoici un exemple :

— a'-i'lab-h 7c'-}r2 ab-h2b'+ 4c" +1

Somme 7a" — i«6-Mlc*+f.

32. Passons à la soustraction. Pour indiquer qu'on ( traire c+d — e de a— 6, on écrit

et , pour arriver à une expression débarrassée des parent raisonnera comme il suit.

D'après ce qui a été dit n^ 24, la soustraction revient à lion dans laquelle la quantité à soustraire est prise avec contraire. Or, la valeur d'un polynôme est égale à la diffé existe entre la somme de ses termes positifs et celle de s* négatifs; et le signe de cette valeur est celui de la pluç g deux sommes; donc cette valeur ne fera que changer de si change dans le polynôme tous les -h en —, et tous les — en de là que, pour soustraire un polynôme d'une quantité que , il suffit de changer les signes de tous ses termes, et ter ensuite à cette quantité. Mais , dans l'addition, les p qu'on ajoute se placent à la suite les uns des autres , en c( les signes de leurs termes ; donc ,

Pour soustraire un polynôme , il suffit de Vécrir avoir changé le signe de tous ses termes y à la sui quantité dont il doit être soustrait.

On peut encore démontrer cette règle en prouvant (j ajoute au résultat le polynôme qui était à soustraire, ( duit la quantité dont il devait être soustrait. En effet , ] cette addition, on écrira à la suite du résultat les ton polynôme avec leurs signes ; mais ces termes se trouv dans le résultat, avec des signes contraires , il est clair qu détruits , et qu'après la réduction il ne restera plus que

imposent la qaantité sur laquelle la soustraction devait être faite. Yoici on exemple de soustraction :

Soustraire de. . . . 9a*^3ab-h2b*+lbc le polynôme . . . . 5a*-4-4a6 — 36* — \hc

Reste avant la | %c^— ^ab + 26*+ {bc ^ réduction, \ — ^à^—iab^W^{bc,

Après la réduction, 4a* — 7ab 4- 56*+ {bc.

Multiplication àts monômes;^

S3. Pour indiquer des multiplications successives, on est con-

[«BQ (8) d'écrire les facteurs à la suite les uns des autres , en les

Lt par le signe x , ou seulement par des points , ou même

aucun signe quand il n'en résulte point d'ambiguité. Par

iple , si on doit multiplier a^b par c , et le produit par d" , on

a^byccxti^ , ou a*b.c.d^^ ou simplement a^bceP.

I^û fallait multiplier a^ par un nombre déterminé , tel que

I , ce nombre deviendrait le coefficient de a* , et on écrirait

on |a*.

ion avait à indiquer la multiplication de a*b par ccf^ on pourlêcrire indifféremment a''6x^^, oii,a*b.c(t', mais on ne devrait supprimer le signe , car alors on aurait l'expression à'bcd' , dans on devrait voir que a'b est multiplié par c , et que le pro- \a*bc est lui-même multiplié par d*:oj^ce n'est point là ce qu'on it indiquer. A la vérité , les deux expressions a'b x cd* et sont équivalentes , mais il faut le prouver, et c'est ce qu'on rappelant que , d'après un principe démontré en arithméti- I on peut multiplier une quantité par un produit de plusieurs en multipliant cette quantité successivement par chacun ap^kiexirs (*).

i^ f Les règles des signes ayant été établies n*" 25 , on laissera signes de côté. Soient d'ab<»r4^ deux quantités telles que a* [. D'après la définition de l'exposant , a* et a^ sont la même re^ que aa et aaa-y donc a* X a^ =^ aap< aaa. Or, par le ur

. JSoit m une quantité qu'on doit multiplier par le produit abc. Puis- ^produit ne change pas quelque soit l'ordre des facteurs ; on aura VsS^ic=adcwf =;maic ; c'est le principe dont il s'agit.

22 LKÇONS D'ALGÉ^RE.

principe rappelé plus haut, on doit avoir aax aaa=i aaaaa ; donc

Si on prenait d'autres exposants, il est cl^ir qu'il faudrait encore les ajouter pour avoir l'exposant du produit. Donc , en général , quand on multiplie entre elles des puissances d'une même quan^' tité , on doit donner à cette quantité un exposan égal à la somme de ceux des facteurs.

Une lettre sans exposant doit être regardée comme ayant l'exposant 1 : car , par exe^le , on aurait dx,a=^a^.