Pour première application , soit l'équation

x'+Px4-Q = 0.

Dans cet exemple, ona Ffxl^.r/'+Pjr+Q, ¥{x)—^x-\-V, F'(x)=2; et sur-le-champ on voit que l'équation F(.z)=:0 n'a pas de racine iZHciijnnaire, puisqu'elle csldu 1" de^ré.

LEÇONS D'âLG&BM. 471

Pour avoir Téquation en y y les deux équations entre lesquelles on doit éliminer x sont

Or, Télimination donne #

donc , pour que les deux termes de cette équation soient de même

signe, il faut qu'(m ait

et cette condition est la seule nécessaire pour assurer la réalité des racines de Téquation du 2" degré.

Considérons encore l'équation du 3® degré. Si elle a son second terme, on peut le faire disparaître sans changer le nombre des racines réelles, c'est pourquoi je la prendrai sous la forme

Dans ce cas F(j:)=j:3+Qj;+r^ F(x) = 3j:'+Q, F'(j:) = 6j:. Il faut d'abord que Téquation dérivée 3j:*+Q=0 n'ait que des racines réelles ; et , pour cela, la condition est évidemment Q<0. Ensuite il faut éliminer x entre les deux équations

La seconde revient à celle-ci ,

et la première donne j:"=— iQ , j:*= ;Q". Par suite on a r=-tQ'+6R:f, d'où x=.£^;

et , en mettant cette valeur dans l'équation 3 j:?^+ Q = 0 , il vient , toute réduction faite ,

r'+ fQ>+ f,Q(*Q'.+27R') = 0.

Pour que les trois termes de cette équation aient même signe , fll faut et il suffit que le terme tout connu soît positif. Mais déjà on a vu ^e Q doit être négatif ; donc la nouvelle condition sera

Enfin , en remarquant que cette condition ne peut pas avoir lieu sans que Q soit négatif, on conclut , comme au n'*480, qu'elle est la seule nécessaire porar assurer la réalité des.racines de l'éqiintion du

3* degré. , ■

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