Reprenons de suite

Si on y met pour x des valeurs négatives au delà d'une certaine limite x=^ — A, les signes de ces fonctions seront ceux de leurg premiers termes. Mais, par la manière dont on forme les polynômes dérivés, il est clair que ces premiers termes sont composés des puissances x""^ x\ x\,.. x""^ multipliées par des cocflicients qui sont tous de même signe; donc, après la substitution de j:=c->A, la suite des fonctions n aura que des variations.

452 LEÇONS D'ALCÈBRt.

Pareillement, des valeurs positives de x^ au delà d'une certaine limite a:=r + fi, feront acquérir aux fonctions de la suite [i] des valeurs qui seront toutes de même signe , de sorte que la suite des résultats n'ofiOrira plus alors que des permanences.

Puisque la substitution de la limite — A, dans la suite des fonctions [1], ne doit donner que des variations, et que ces fonctions sont au nombre de /tz+I, il s'ensuit que le nombre des variations est égal à m, c'est-à-dire au degré de l'équation X= 0. Ainsi, m est le numbrc total des variations que doit perdre la suite [1] en faisant augmenter x depuis — A jusqu'à +B.

Gela posé^ considérons le cas où les m racines de l'équation X3=0 sont réelles, et concevons qu'on substitue dans la suite [1] deux quantités a et p intermédiaires entre — A et +B, a étant < j5 : je dis qu'alors le nombre des racines comprises entre a et j^ s<Tail préci'* sèment égal à celui des variations perdues par la suite [1] en passant de x=ai à :r=p. En effet, on sait déjà que le nombre de ces racines ne peut pas être plus grand que le nombre des variations perdues (482); et d'un autre côté, s'il était moindre, il faudrait, par compensation , qu'on trouvât , en passant de —A à a ou de p à +B, plus de racines que de variatians perdues, ce qui est impossible (482).

Maintenant , ne supposons plus que l'équation ait ses m racines réelles. Nommons n le nombre des variations perdues en passant de a à J3. Par le théorème du u^" 482, il est clair que le nombre des racines réelles qui sont en deçà de a et au delà de fJ, ne devra jamais excéder m—n ; donc, s'il y a entre a et ^ moins de n racines réelles , on est certain que ce nombre doit être complété par des racines imaginaires.

Pour cette raison, et afin de rendre le discours plus général^ FoDRiER propose de regarder l'intervalle de a à (5 comme comprenant n racines ; mais alors il faut sous-entcndre que quelques-unes d'entre elles peuvent être déficientes ou imaginaires.

485. Le théorème du n** 482 renferme comme corollaire celui de Descértes. Pour une certaine Ifmite positive j:=4-B, la suite [1] ne doit avoir que des permanences. Mais si on fait jr=0, les fonctions de cette suite se réduisent aux coefficients même de l'équation X=0, abstraction faite de certains multiplicateurs numériques et positifs : donc, de j:=0 à jr=-f-B, la suite doit perdre autant de variations qu'il y en a dans l'équation ; donc le nombre des racines positives,

LEÇOZrS D ALGÈBBE. 453

lesquelles sont toutes entre 0 et +B, est tout au plus égal au nombre des variations de Tcquation. Tel est en effet le théorème de Des-

GAHTES (473).

Si l'équation manque de quelques termes , il y aura , dans la suite [1], des fonctions qui s'anéanlii^ont pour a:=0. Maison peut supposer à ces zéros des signes tels que les variations soient en même nombre que si on ne tenait aucun compte des termes manquants ; par conséquent le corollaire est vrai sans qu'il soit nécessaire de faire aucune attention à ces termes. Cette remarque s'acorde parfaitement avec ce qui a été dit au sujet du théorème de Descartes. Et ici encore on peut ajouter, comme conséquence immédiate du — nouveau théorème, que si le nombre des variations de l'équation est plus grand que celui des racines positives, la différence sera r. toujours un nombre pair, qui indiquera dans Fciqualion un nombre égal de racines imaginaires.

486. L'utilité du nouveau théorème, pour la recherche des racines réelle, est facile à apercevoir. Dans les fonctions

^^ [1] xr),X('«-«)v...x",x',x,

i on substituera des quantités négatives croissantes de 0 vers — oo , i jusqu'à ce qu'on parvienne à une limite — Â, qui ne donne que des ^ Variations de signes ; puis on substituera aussi des quantités posit-^ lives croissantes de 0 vers + od, jusqu'à ce qu'on atteigne une limite ^ 4-B, qui ne donne que des permanences. Quant aux intervalles / des substitutions, ils pourront varier selon telle loi qu'on jugera '■ Convenable. Parmi ces intervalles, il en faudra distinguer de :.' plusieurs sortes.

Si wi intervalle est compris entre deux quantités, dont l'une P dcmne une variation de moins que l'autre, il y a entre ces quantités

Une racine réelle de l'équation, et il n'y en a qu'une.

Si un intervalle est formé par deux quantités, dont Tune donne . plusieurs variations de moins, mais en nombre impair, on sera sûr

qu'il j a dans cet intervalle un nombre impair de racines réelles; , • Uiais on ne saura pas encore s'il y en a une seule ou plusieurs.

EnGn, si un intervalle est formé par deux quantités, dont l'une ■: donne plusieurs variations de moins , mais en nombre pair, cet in-

^orvalle pourra renfermer un nombre pair de racines ou n'en ren-

'eirmer aucune.

487. Dans les deux derniers cas, il reste 4c\\ivt^t\À\xx^^ •svaV,

454 LEÇONS O'âLGÂBllK.

noDibre des radnes réelles que comprend Tinter valle. La première idée qui s'offre à la pensée, est de partager yîntervalle en plusieurs intervalles moindres par des quantités intermédiaires qu^on substituera dans la suite [1] , et d'appliquer à ces substitutions les règles précédentes. Si la séparation n'est pas encore complètement opérée, on pourra subdiviser les derniers intervalles, et ainsi de suite. Lorsque l'intervalle primitif ne comprend que des racines ré Iles et inégales, ces subdivisions répétées doivent en opérer infailliblement la séparation. Nous écartons ici le cas des racines égales, attendu qu'on a une méthode pour décomposer une équation, qui a des racines égales , en d'autres équations dont toutes les racines sont inégales.

Lorsque l'intervalle primitif ne comprend pas de racines réelles, la subdivision de cet intervalle n'aura aucun terme, et l'on ignorera toujours si la séparation est impossible en raison de ce que les racines sont imaginaires, ou si elle est seulement retardée en raison de ce que leurs différences sont extrêmement petites. De nouvelles règles sont donc nécessaires pour faire disparaître le doute; et c'est à quoi Ton parvient sûrement on employant, avec Lagrange, des substitutions intermédiaires, dont les intervalles soient moindres que la plus petite différence entre les racines.

Il reste donc encore à éviter l'équation aux carrés des différences dont le calcul est d'une prolixité si fastidieuse , et j'ai déjà dit que M. fiuDAN avait dirigé ses recherches vers ce but. Mais il n'a pdnt pu y réussir, même avec le secours de son théorème ; et la seule utilité qu'il en ait tirée consiste à reconnaître , comme on Ta hit plus haut, certains intervalles dans lesquels il n'y a point dertcines réelles , ce qui peut diminuer considérablement le nombre des substitutions exigées par la méthode de Lagrange.

FouRiER , dans soft Analyse des^ équations , n'a pas été phs heureux. Cependant il est à remarquer que dans les mémoires de l'Institut, année 1827, ce géomètre a énoncé qu'on pouvait procéder immédiatement au calcul des racines en fractions continues, comme si l'on était assuré que toutes les racines sont réelles, et que la distinction des racines réelles et des racines imaginaires ne doit pas manquer de s'opérer ; mais cette propriété remarquable des fractions continues n'était appuyée d'aucune preuve. C'est à M. ViîiCEViT qu'on doit de l'avoir mise hors de doute , et d'avoir moairé qu'on on dëdml , ^xn tè^fiioAt^ V;» ^s^V>KyDA ^ une me-

LKÇON8 D*ALGÉBtK. 455

Ihode rigoarease , entièremeDt affranchie de réquation aux carrés des diffièrenoes. Le tbéorëine de M. Bodan y est d'un grand secours pour diminaer le nombre des substitutions qu'elle pourrait encore exiger, f^o^êz le Mémoire de M. Vincisnt, déjà cité , p. 427.

Théorème de M. Stdmm. — Son usage dans ta reaolutioo dea équations. — Gemment il donne les conditions de la réalité des racines.

488. Si Ton avait un tbéorème pour juger d'une manière précise combien une équation a de racines réelles entre deux nombres donnés , on pourrait procéder d'une manière certaine au calcul de ces racines , an moyeii d'approximations successives, en subdivisant Tintervalle des deux nombres par intervalles partiels de plus en frilUft resserrés. Ce théorème important a été découvert par M. Sturm, qai Fa comnitiniqoé à Tldstitut en 1829; et comme il sera désorinaii une partie essentielle de la tbéoric des équations, il doit trouver place id.

Soie une équation Xt= 0, qui n'a plus de racines égales , et dont le premier membre est un polynôme de la forme

dans lequel tous les coefficients sorit des nombres réels. Formons d'abord le polynôme dérivé X, de X, divisons X par X, , et, quand nous serons parvenus à un reste de degré inférieur à X., changeons les signes de tous les termes de ce reste. Désignons par X, ce qu'il devient alors, divisons de la même manière X^ par X, et changeons encore les signes du reste , on aura un nouveau polynôme X, , de degré moindre que X,. Divisons semblablement X, par X,, et continuons cette série de divisions comme s'il s'agissait de découvrir le plus grand commun diviseur de X et X, , en ayant soin de changer tolijoars les dignes des rentes. On est sâr à là fin d'arriver à un reste BBOiérique , c'est-à-dire , qui ne contiendra plus jc; et ce reste sera difiereni de léro, autrement l'équation X=:0 aurait dos racines égales, ce qui est contre la supposition. Après avoir changé aussi le rigne de ce reste, représentons-le par Xr. On aura ainsi une suite de fonctions

(JT) X, X,, X,, X3,**.*Xr^i, Xr,

<|oi toutes contiendront x à l'exception de la dernière Xr. Je désignerai cette suite de fonctions , ainsi écrites , eu dvsanl .^ ^'\yDL^\$\^-

UÇOSS bALOESBE.

e abrégée, la suire {x] ; cl poor indiqaer ce qu'elle devient 4

' jremplaranl x par uno valeur particulière « , jo dirai situplpm

la suite [a}. Le nom de funelioDi intermédiaires sera donné à celS

qui sont placét-s entre X cl X,- Cela posé, voici uno régie sûre p

connaître combien l'équationX^O a de racines réelles comprî»

Mitre deux nombres quelconques k et ^ , ? étant < ^ -.

Substituez a dans la suite (x) , écrivez par ordre sur une même

e les signes de toits les résultais , puis campiez le nombre de

vriationa contenues dans celle suite de signes; écrivez semLlabU-

une i/téine ligne les signes qu'on obtient en subsliluailt

( puis comptez le nombre des varialioni de celte seconde sitili ;

^/aitanl elle aura de variations de moins que la. première , autant

wèquation X = 0 aura de racines réelles entre a ei S,

Tel est le beau théorème doat M. Stdrm a enriobi l'aDDlfse lilgébrique , et dont la démonËtralion va nous occuper.

ons Y,, Y,, Y3,,,.Y^i, les quotk'nls qu'on trouve ea |.<flivisanl X par X, , X, par X,, eic. ; el rappelons -oous que I*s testes de ces divisions sont — Xi,— X^,.., — X,. Op oura cette nite d'égalités

et deux conséquences importantes s'en déduisent immédiatement. 1° Deux fonctions- consécutives de la suite {x] ne peuvent pas devenir nulles pour une même valeur de x. En effet , si on poavailavoiràta fois X,-, =0 etX, =^0, l'égalité

Xn-,=X„Y X,-t.,,

qui se trouve parmi les précédentes, prouverait qu'on doit avoir aussi X.,+, = 0 j et eu dcsceDdant d'égalité en égalité od coudarait qu'on doit avoir Xr = 0, ce qui est contre la supposition.

2° ai une fonction intermédiaire de la sui(£ (x) devient léfD pour une certaine valeur de x, les valeurs de la fonction précédente el de la suivante sont de signes contraires. En effel, lorsqu'on a X,= 0, l'égalité ci-dessus se réduit à X,, = — X,4.,.

Maintenant concevons qu'à partir de jr= ^ on fasse augmeoler X d'une manière continue , et examinons comment penyent sfn-

Irodnire des changements dans les signes delà suite (a:). Tant que X n*aura pas atteint nue valeur propre à faire évanouir une ou plosî<*urs fonctions de la suite (x) , il est clair qu'aucune de ces fonctions ne changera de signe, et que par conséquent la suite {x) présentera toujours les mêmes successions de signes. Supposons donc que x ait atteint une valeur a qui anéantisse une ou plu^ sieurs des fonctions X , X, , X,, etc. j mais supposons d'abord que X n'en fasse point partie.

Soit X„ une fonction intermédiaire qui devient nulle par la valeur x-=a. Suivant ce qui a été remarqué plus haut (T et 2°), les fonctions X„.i et Xn^-i , pour la valeur x=-a^ devront être différentes de zéro et avoir des signes contraires : de sorte qu'en donnant à la fonction nulle tel signe qu'on veut, la suite des trois fonctions

présentera toujours une variation et n'en présentera qu'une.

Depuis j: = a jusqu'à j: = /z , aucune des fonctiens X„, et Xn+ 1 n'ayant changé de signe , elles ont dû être de signes contraires ; par conséquent , quel qu'ait été le signe de Xn avant de faire ^= ^e , la suite des trois fonctions présentait aussi une variation et n'en présentait qu'une.

Si on fait a:= ^z+/i, on pourra prendre h positif et assez petit pour qu'il n'y ait aucune racine des équations X„~.i =0 et X« + , =0 entre a et a+A. Dans cet intervalle aucune des fonctions Xn— i et Xb+ I ne changera de signe ; elles seront donc de ^ignes contraires, et par consé(|ucnt , quel que soit le signe de X„ , il y aura encore une yarialion unique dans la suite des trois fonctions.

S'il y ^ quelqu autre fonction intermédiaire qui soit zéro pour a;= a, on est sûr qu'elle est placée entre deux fonctions qui ne s'anéantissent pas , et les raisonnements précédents seront tout à fait applicables à ces trois fonctions. Donc, après la valeur j: = ûf, il y aura dans la suite {x) le même nombre de variations qu'auparavant , quoiqu'elles puissent être autrement distribuées.

La succession de signes, qui s'établit e|i substituant des valeurs de X un peu plus grandes que a, se maintient la mêmejusqu'a ce quex dépasse une valeur qui fasse disparaître quelque fonction de la suite (jc). Mais si cette valeur n'anéantit point la première fonction X , l'explication précédente prouve qu'après cette valeur les variations de la suite {x) serobt encore en même nombre. Par là on voit clai-

mnent qae ce nombre ne peut pfts changer, à moins que x ne Tienne à dépasser une rtdoe de l'équation X = 0. Il Tant donc i rj^rcr les signes qae pnnd alon celle suite avec ceux qu'elle [^paravaDl, pour(leiTileii(idéj:uo peuau-dessousdeoeltera L Soit a uni' rauine^ de l'éqoatlon X = Oi faisons x = a+h, k ntant une quantité politiTe ûai petite qu'on voudra. Eadé&ignaBl MU* A , À', A", . . . I0i Tllean dn polynôme X et de ses dérivés pour ^=u, et par H U vaknrde'X correspondante à ii+A, on aura H— A+4'*-t-^A"A*+etG.

■rii)Vtli|totfatn(MedBt=KO,onaA=0;doitc , ^., ... . ,fl?»A'*+"^A"A'+etc. 1

•t d'iBlNn «D ctt làr que A' est différent de zéro , atteitdo 41* VA^artioD X^e n'a pai de neSoes ^alts. En mettant A en bctav,M«erin

H^A(A'-fîA"A+etc.)- AMn B CH MMf Iprak dooMlit à A de trës-pctltes valeurs po^ tfrte. Il tÉMHIIi «bV piirMrdtgsec sera de mAme signe que «tt fmÀ» lenM A'; dtme n Wn amsi de ro^tnc signe que A'.

Ponr savur ce qu'était X avanl qne x- eût atteint la vatetir i, on y fera â: = a — h ; e(, poor obtenir le résultai H' de celte Sub- Btltalioa , tt tvS&n de changer k^a — h dans l'expression de if. De cette manière on a

H'= — A(A'— ;A"/.+etc.).

et Von voit clairement qne , ponr de très-peliles valeurs de A, la quantité R' est de signe contraire h A'. Ainsi, avant qae x eùl atteint la raciim d , H y avait dans la suite [x) uric variation de X i X, ; et après que x a dépassé <i, cette variation se trouVe rem- |riacée par nne permanence. Or, de ce qui a été dit plus haut il résulte que, pour les valeurs de x un peu moindres ou un peu plus grandes que n, le reste de la suite {x) doit toujours avoir nn égal nombre de vari.ilinns , quand même x =^a ferait disparaître quelque fonction ÎDlcnnédiairc ; donc lorsque x etl croissant vient il dépasser une racine de l'équation X = 0, la suite {x) perd nue ^riatiou.

En continuant d'augmenter x , le nombre ai^^uel des variatiooS <to la Sllile i^) deiReqr^ le même jusqu'à ce que x dépasse encore

LBÇOnS d' ALGÈBRE. 459

une racine , et alors une autre variaUou se perdra encore. La même diose arrivera chaque fois que x dépassera une nouvelle racine; de sorte que les variations perdues par la suite {x) seront toujours en même nombre que les racines de X=:0, comprises entre la valeur j:^ j. , par laquelle on a commencé les substitutions» et la valeur a> = p à laquelle on les arrête. C'est ce qui était à démontrer.

489. Remarques, I. Dans les divisions successives qui servent à trouver X., X,, etc. , on peut multiplier ou diviser les dividendes et les diviseurs par tels nombres positifs qu'on voudra. Par là les fonctions X , X, , X, , etc. seront seulement multipliées ou divisées par des nombres positifs , ce qui ne changera point leurs signes.

II. Si dans la suite ix) il se trouve une fonction Xjt qui ne puisse pfts devenir zéro de a: = a à jr = p, et si on veut connaître le nombre des racines comprises entre a et ^^i , on pourra arrêter la suite à cette fonction et faire abstraction de celles qui viennent après Qlles En effet , il est facile de voir qu'en*faisant varier x seulement depuis a jusqu'à 6 , on peut appliquer a la suite partielle X^ X,,... TLk tout ce qui a été dit de la suite complète.

III. Le cas où Tune des limites a et p ferait évanouir une. des fonctions X, X,, etc. , ne peut donner lieu à aucune çlifflcQlté. Si c'est une fonction intermédiaire qui disparaît, on a vu- qu'elle est toujours placée entre deux fonctions qui ne disparaissent pas et ' qui sont de signes contraires; de sorte qu'oli peut indifféremment prendre la fonction nulle avec + ou avec — , ou même n'en tenir aucun compte. Si X s'évanoui! et que ce soit, par exemple, en faisant .r=5, on conclura d'abord que js est racine; puis on remarquera , d'après la démonstration du numéro précédent , qu'en donnant à j: des valeurs un peu au-dessus de f% il y a une permanence de X à X. , tandis que dans le reste de la suite , à partir de X„ il y a le même nombre de variations que pour j:* =:p. On connaîtra donc par la règle générale le nombre des racines réelles comprises entre-m etune quantité un peu plus grande que ^.

IV. Ne supposons plus que X,>,soit la fonction dérivée de X, mais un polynôme assujetti seulement aux conditions de n'avoir point de facteur commun avec X , et de prendre un signe contraire à X pour dos valeurs de x très-peu au-dessous d'une racine quelconque de X = 0 ; puis, servons -nous de ce polynôme pour calculer X, , Xjv- comme on s'est servi d'abord du polynôme dérivé. Le théorème de M. Sturm subsistera égaleiÀe^ùV V)^\^ \sksq.^€&sî.

LEÇ05S D «I.GËBHe.

!t, X., X,v- En r-fTct, d'un tOti', si cm rcpn-nJ les lif^lails de

«•w^lralion, un vLTra que les nouvelles funclions inlermédiairea

"nrore des ni^^mes propriélés; pl, d'un autre côl<^, il est

îissant d'une talcur de a- un peu au-dessous d'une ra-

= Oàune valeur un peu au>d<'ssus, la fonclionX devra

■"»' de si^e, tandis que la fonction X,, qui n'a point de fac-

nmuus avec X, devra conserver le ideme signe. }. Jo vaismonlrerà prient comment le théorème de M. Smm encore s'appliquer quand l'équatiou X = Oa des ncineft^l^ ciioil , y J A À

isioos prescrites pour déduire, du polynôme X et de son s fonclions X,, X,, etc., conduiront à uu diviseur

<n do -r, qui sera le plus grand commun diviseor * , •^t, d'après la composition connue de ce divise^ {^OSl^ ' i; X el X, par Xr, les deux quotients seront

V= (■r—a) {x—b) ix-c) {x—d).. . . ,

Ou voit déjà que V n'a plus de facteurs égaux, et que V,, n'a point de fadeur commun avre V.

Soil ^— rt-lin fadeur réel de X, pour mieux le mettre en ért- 1 dence > on fera

et il Tiendra

V=(.r-fl)H, V, = nH+(j:— a)H..

Par la nature même des opérations qai servent à découvrir le pliB grand commun diviseur de X et X,, et à trouver ensuite les quotients V et V,, on est certain que ces quotients, et par conséquent aussi H et H,, ne doivent pas avoir de coefticîents imaginaires, puisqu'il n'y en a ni dans X ni dans X,. Gel? posé, il est facile de voir que 1 pour des valeurs de x très-peu au dcssous.de a, le facteur x—a étant Irès-petïl, V, aura le signe de H , lequel signe est évidemment contraire à celui de V. Donc, d'après la dernière remarque da n' préoédent, va ap{>lHpiai^ le tbéorême de M. Stubh à

LEÇONS d'algêb&s. 461

VéquatiOD Y = 0, on peut employer le quotient V, , au lieu de la fonction dérivée de V.

D'un autre côté il est facile de reconnaître que les fonctions V,, V3,...., qu'il faudrait déduire de V et V, selon la régie prescrite (488), ne sont autres que les quolients de X, , X3 , . . . Xr par Xr ; donc les deux suites

X, X,, X,, Xrj

M Y,, Y., Yr,

ne différent Tune de l'autre que par un facteur commun, et, quel que soit le signe de ce facteur, il est évident qu'elles doivent présenter les mêmes variations lorsqu'on y substitue une valeur de x qui n'ancanlit point X. Ainsi, en appliquant le théorème à la première suite , on pourra juger combien , entre deux nombres a et p, dont aucun n'anéantit X , il y a de racines de l'équation Y=0, ou bien, ce qui e t la même chose, combien il y a de racines de l'équation X=0, abstraction faite du degré de multiplicité.

491. L'usage du théorème de M. Sturm se présente de lui-même. Supposons que Téqu^tion à résoudre n'ait plus de racines égales, et formons la suite

\pCj A, A.,, A^,.... Ar«

Il est évident que la substitution de 0 à la place de x réduit chacune de ces fonctions à son dernier terme ; et d'ailleurs on sait que les valeurs de x au dessus d'une certaine limite positive, +L, font prendre à chaque fonction le même signe qu'à son premier terme : donc, à la seule inspection de la suite {x) on pourra connaître le nombre des variations de la suite (0) et aussi celui des* variations de la suite (+L) La différence entre ces deux nombres indiquera combien l'cqaation a de racines positives.

m On découvre avec la même facilité combien elle a de racines négatives, en observant qu'au delà d'une certaine limite, — L', tous les nombres négatifs font acquérir à chaque fonction de la suite [x) le même signe qu'à son premier terme.

Pour plus de commodité, on prend -h» et —00 au lieu de -f-L et •— L' : c'est une manière abré^^ée de désigner deux nombres qui peuvent être aussi grands qu'on veut.

492. Comme les racines négatives deviennent positives en changeant X en — j:, je ne parlerai plus que de ces dernières. Pour les séparer, on substituera, dans la suite (x), des nombres positifs

^6â LIÇONS* D*ALGÉBRI.

croissants 0, «, |3, 7, etc. ; et en notant le nombre des Variatioiis perdues à chaque substitution, on reconnaîtra le nombre des racines comprises entre 0 et », entre % et 3, etc. Ces substitution^ devront être continuées jusqu'à ce qu'on trouve une suite dont les rariatUMis soient en même nombre que pelles de la suite (+00 ). On n'ira pas plus loin : car il ne peut point y avoir 4e racines au dessus du dernier nombre substitue.

Admettons qu'il y ait plusieurs racines entre a et |3 , on fera une ou plusieurs substitutions intermédiaires; et les variations que perdra la suite {x) , après chaque substitution, indiqueront lea racines comprises entre les nombres substitués. Il pourra se faire que quelques essais suffiseht ainsi pour effectuer complètement la séparation des racines , c'est-à-dire, pour assigner à chacune d'elles deui limites entre lesquelles elle soit seule comprise. Mais quand deux ou plusieurs racines seront très-rapprochées, il sera nécessaire de multiplier beaucoup les substitutions pour les séparer, et , comme l'équation n*a point de racines égales, on est sûr d'y parvenir toujours La longueur des calculs sera rachetée par l'avantage d'avoir ces racines avec une grande approximation. *

493. La loi suivant laquelle croissent les nombres 0, «, p, y,... est arbitraire ; mais il sera bien dfi commencer par les nombres 0, 1, 10, 100, 1000, etc. A l'avantage de n'avoir que des calculs faciles se joint celui de déterminer combien il y a de racines entre 0 et i, entre 1 et 10, entre 10 et 100, etc.

S'il y a des racines entre 1 et 10, on déterminera la partie entière de chacune en substituant les nombres 1 , 2, 3, . . . jusqu'à 10 ^ s'il y a des racines entre 10 et 100, le chiffre des dizaines de chacune se connaîtra parla substitution des nombres 10, 20, 30,... jusqu'à iOO; et ainsi de suite. Scmblablement encore pour les racines nEioindres quel, on connaîtrait le chiffre décimal de l'ordre le plus rapproché de la virgule, eu substituant les nombres de 0,1 à 1, ou biei de 0,01 à 0,1; etc. !

En procédant de cette manière, on obtient le chiffre de l'ordre le plus élevé contenu dans chaque racine : voici comment on obtiendra celui de l'ordre immédiatement inférieur. Pour flxer les idées, supposons qu'il s'agisse des racines comprises de 100 à 1000, et qu'on ait reconnu que quelques-unes d'elles sont entre 300 et 400. Il est évident que la substitution des nombres 300, 310, 320,... dansr la suite {xj fera découvrir le chiffre des dizaines; mais, pour

LBÇOm D'ALQfiBRB. 463

fadliter ces calculs, on changera d'abord x en 300 +*t^, et on aura ainsi une nouvelle suite [x') dans laquelle il n'y aura plus qu'à substituer les nombres 0, 10, 20,...

Admettons maintenant qu'après la détermination des dizaines, on ait reconnu qu'il y a des racines entre 350 et 360. La substitution des nombres 350, 351, 352,... dans la suite (a*) ferait découvrir le chiffre des unités, mais ici encore on peut simplifier le calcul. Le changement de x en 300+.}/ a déjà transformé la suite [x) en une . autre smte {x). Or, celle-ci se transformera pareillement en une /^ suite (^cn y remplaçant x^ par 50+ j:"; et il est clair que si on "* net dans cette dernière les nombres en 0, 1,2,... on aura les mômes résultats qu'en substituant les nombres 50, 51, 52,... dans la suite (x"), ou les nombres 350, 351, 352,... dans la suite (x).

Rien n'ompéche de continuer ces calculs pour connaître successivement les dixièmes, les centièmes, etc. ; et , par celte voie, non seulement on arrive à séparer les racines, mais encore à les calculer avec telle approximation qu*on voudra.

494. Si on voulait obtenir les racines en fractions continues, l'emploi du théorème de M. Stcrm ne serait pas moins facile. Après avoir reconnu qu'il y a dos racines entre deux nombres entiers consécutifs, a et a4-1, que je suppose posiiifs, on fera j:=a+--, dans

la suite (x), et il en résultera une nouvelle suite, (jf), au moyen de laquelle on trouvera les parties entières des valeurs de a! qui

sont >1. Soit fî une de ces parties entières, on fera x'=sj3+— ,

dans la suite (x'), et Ton aura une nouvelle suite, (x"), qui servira à trouver les parties entières des valeurs de x' , On continuera de cette manière aussi loin qu'on le jugera convenable. Pour la facilité du calcul , on pourra , dans chaque fonction des suites (j/) , (j/'), .. réduire tous les termes au même dénominateur et ne plus tenhr aucun compte de ce dénominateur, pourvu qu'il soit positif.

495. Ce théorème donne aussi un moyen simple d'établir les conditions de la réalité dos racines. Comme les racines réelles sont toutes comprises entre deux limites — L' et +L, Tune négative et l'autre positive , qu'on pont choisir aussi grandes qu'on voudra , la question revient à chercher les conditions nécessaires pour que, de Af=s — L'àx = +L,la suite X , X, , X, , etc. perde un nombre de variations égal au degré do l'équation.

464 LEÇONS d'algâbre.

En supposant ce Acgvé égal à m , il faudra donc qu'elle perde m variations. Or, pour qu'elle ait m variations, il faut qu'elle aitaa moins m -ri termes; et comme cilc no peut pas en avoir davantage, on est sûr que les quanlilés X, X,, X,, etc. sont au nombre de /'.' -.- i f et que [nv conséquent elles sont respectivement du degré ;;j^ ;;i — 1 m — 2, etc. 1^ dernière, qui ne contient plus x, sera alors représentée par X«.

Lorsque, dans des polynômes en j:, on substitue pour jc de trèsgrands nombres, positifs ou négatifs, on sait que les résultats sont de mêmes signes que si chaque polynôme était réduit à son premier terme : ainsi, dans la rcchtTche qui nous occupe, on ne doit faire attention qu'au premier terme de chaque polynôme. Prenons Téquation X = 0 sous la forme ordinaire ,

j.in^ Pjru,!-! + Q j:'"-»4-etc. = 0.

le premier terme de X sera jt", et celui du polynôme dérivé X, sera mx""-'. Quant à ceux dos polynômes X,, X3, etc., ils sont des fonctions qui se composent des coefficients P, Q/^qui se déler-^ minent par des divisions successives conformément à la régie. Représentons ces fondions par G, , G3,... Gm, et écrivons par ordre les m+i quantités

jc", mx'"-'^ G,.r'"~% GyV""-^^ G;::.

La question sera réduile à chorciior les conditions qui feront perdre m varialions à cettiî suite lorsqu'on passera de iv = — L' à j:=-hi^- l'our que cela soit, il laut qu\lle ail m varialions après la sahsliiiiliou de — L\ et m permanences après celle de -hL. iMais, ti'uîi autre eôié, dans cette suiie les puissances de .r vont en diniinuaril dune uniié; par conséquent, si elle n'a que des permanences en faisant Jt=: -(- L, elle n'aura que des variations en faisatil x = — L'. Ainsi, les conditions cherchcM^s se réduisent sinjplenient à celles qui sont nécessaires pour que ce tie suite n'ait que di^s C')eiricienls positifs ; c'est-à-dire à celles-ci, G,>0, G3>0, . G,„>0.

On voit que ces cundiiions n<' seront jamais eu plus grand nombre que ni—i. Md.is eU«'S p.iurroui éire en îiombre moiiidre, attendu que quelques-unes di^s inégalités ci-dossus peuvent rentier dans les aulres.

En se servant de l'équaliou aux carres des différences (480) , ces

LEÇONS D^ALGÉfiRK. 46S

conditions se présentaient au nombre de |/n(/7i — 1), lequel est, comme on voit , beaucoup trop considérable. Le perfectionnement que le théorème de M. Sturm ajoute à cette recherche importante sera sans doute apprécié des analystes.

496. Comme application, cherchons les conditions nécessJPes pour la réalité des racines de l'équation

Ici on a m = 3, et les conditions sont seulement au nombre de deux, G^>0 et G3>0. Pour avoir G, et G3, on calculera X, et X3 par des divisions successives comme ci-dessous.

Première division.

3Jc'+3Qa?-h3R

-f-2Qa: + 3R — 2Qx— 3R

Deuxième division.

— lâQ'o-*— ISQRo:

— 18QRJC+ 4Q3 + 18QRa:+27R*

— 2Q3:— 3R — 6Qa:+9R

Pour éviter les dénominateurs, on a multiplié le dividende par 3 dans la première division , et par 4Q' dans la seconde. Les restes se trouvent ainsi multipliés par des facteurs positifs, ce qui est indifférent. On a d'ailleurs eu soin , suivant la règle, de changer le signe du reste après chaque division. De cette manière, il vient

X, = --2Qx~3R, X3=:— 4Q3— 27R';

par conséquent les inégalités G^^O, G3>0, deviennent — 2Q>0, — 4Q^ — 27R*>0. Mais si on change les signes, et si on observe que la première inégalité est renfermée dans la deuxième, on Xi'aura plus que la condition déjà connue,

Théorème de Rolls.— Comment il donne les conditioni de réalité det raeioes.

497. Soit réqualion F(x)=0 qui n'a plus de racines égales; désignons par V'[x) le polynôme dérivé de F(jc). On a vu qu'en faisant

4a ttçom t> ALoetiB.

aratlre x d'ase manière cunlinue, la "Me de M. Sri

Tftiiation cbaqae fois que a: dépaeisc une racine d

F(^') = 0 , et qu'elle n'en pent poiiil perdre antrcmeDt. De plus, on

a vu que code variation so perd au cummencenieat delà suîle parce

qml\a.'i chanfuc de «igné cl que 1''{j^) n'en chaugo paâ : de telle

sorte que F( x) est toujours de signe contraire à F'{a-} ppnr une »•

leur de j: un peu moindre qu'une racine , et toujours de même

signe pour une valeur un peu plus grande.

Ainsi , quand on s'élève d'une racine r â une mcioc r\ qui est immédiatement aa-desi>us do r, F(j:') doit (*tre de raiïme signe que Fffl pour unevalGur de x un peu plus grande que r, et de signe contraire à f"(j) pour une valeur de j- un peu moindre que r'. Or, dans l'inlervalle de /■ à i', Fix] ne change pas de signe ; donc F'(.z) doit changer au moins une fois i donc l'équation F'(x) = 0 a au moii» une racine entre

Soient a, fc, c,d,,.,g, les racines réelles de FU)=0, rangeas par ordre de grandeur en commençant par la plus grande ^ et soient ^n ^,> ^.v-g",! 1™ racines réelles de F'(x)r=o, disposées de li même manière. On vient de recoonallre que ces dernières sont comprises, partie entre a cl li, partie entre bctc, etc. ; et rien n'empêche d'ailleurs qu'il n'y en ait quelques-unes au-dessus de a, et aussi quelques-unes au-dessous de ^. De là on conclut quel'éqiulionF(j:)=0 ne peut avoir qu'une seule racine au-dessus de i,, qu'une seule entre «.et i,, qu'une seule entre b, el c, ,... et enfio qu'une seule au-dessous de g,. Cette propriété , connue depuis longtemps, n'est autre que le théorème de Rolle.

4tt8. Ce tbcorèmo s'est présenté comme une conséquence de celui de M. Stdrn, maison peut le démontrer directement comme ilsniL Soient a, i, f,. .. ^ les racines réelles de F(.r) = 0, et soient les racines imaginaires : si on pose

{x-a!)[:c-b')(j: -&)... ='^(x), on aura F(x) — o[x)x!'(x); et, d'après ce qui a été dit {*05)sirll composition du polynôme dérivé F'{x) ,

lu*' •< . ' ,

LEÇONS d'alcèbrr. i67

ou , ec qui est la même chose,

F(.) = (jLlfl + i^ + li^ + etc.) X-Hr) \a: — a x — b x — c /

f'b{x) -Mo:) 'Y^x) ^ \

+ ( -"^-^i + ^ + ^ + etc. ) X?(.r). \x—a x—b x-^c / ^

Supposons que les racines a^ b^ c^d^,.. g soient rangées par ordre de grandeur en commençant par la plus grande, faisons successivement x=a^ b^ £?,... et examinons les signes des valeurs correspondantes de P{x).

D'abord, il est clair que chaque substitution fera évanouir ^(jr) , mais que 'j{x) , qui ne renferme aucun facteur réel, ne pourra devenir ni nul ni négatif (455). Ensuite, si on observe que

li^ = ( j^t) ( j:c) . . . , -îîf^ = {x—a) {x^c) .... X — a X — b

= {x — a) (x — b) . . . j etc. ,

il sera facile de voir que les substitutions de ^, &, c,... amènent les résultats ci-dessous :

x=a donne — -^>0, donc F(rt)>0;

x=b donne -5^<0, donc F(^)<0;

x=c donne -^ >0, donc F(c)>0;

etc.

Ces résultats étant alternativement positifs et négatifs, Téquation F{x) = 0 a au moins une racine réelle entre a et 6, au moins une entre 6 et t: , au moins une entre c et d^ et ainsi de suite.

Donc, en désignant, comme plus haut, par «,, ^,, c,,... ^, les racines réelles de F'(jc)=0 rangées par ordre décroissant, on sera certain qu'elles sont comprises , partie entre a et b^ partie entre b et c , etc. Et ici encore on doit observer quil peut y en avoir de plus grandes que a et de plus petites que^. Donc aussi Téquation F{x) = 0 ne peut avoir qu'une seule racine au-dessus de a^ , qu'une seule entre a, et &,, qu'une seule entre ft, et c,,.-? <*t enfin qu'une seule au-dessous de g,.

-• .'• "îftk.» .^-^

Le théorème de Rolle se trouve ainsi démontré de nouveau. Il n'établit pas que deux racines consécutives de Téquation dérivée F\x) = 0 comprennent nécessairement une racine de la proposée; mais qu*e//e5 ne peuvent pas en comprendre plus d'une.

De ce théorème on tire naturellement la conséquence que, dans une équation, le nombre des racines réelles comprises entre deux quantités a et p ne peut pas surpasser de plus d'une unité le nombre des racines de la dérivée qui sont comprises entre les mêmes quantités a et p. Donc aussi le nombre de toutes les racines réelles d'une équation ne peut pas surpasser de plus d'une unité celui des racines réelles de la dérivée. Il est d'ailleurs bien entendu qu'il pourra être moindre. ^

Ce qui précède semble n'être applicable qu'aux équations dont toutes les racines sont inégales , mais on y comprend aussi le cas des racines égales. En effet, on peut arriver à ce cas en partant d'une équation qui n'aurait que des racines inégales, et dans laquelle on supposerait que plusieurs racines, prises consécutivement, se rapprocheraient graduellement jusqu'à devenir égales entre elles. Alors, chaque racine de F'(jc)=0 comprise entre deux racines qui deviennent égales devra être elle-même égale à ces racines.

499. Les considérations qui mènent au théorème de Kolle peuvent aussi fournir des caractères pour reconnaître si les m racines de l'équation F(j:)=0 sont réelles.

Admettons qu^en effet elles le soient , et continuons de les désigner dans Tordre de leurs grandeurs , par a^ b^ c,... On a vu que l'équation dérivée F'(.r)=0 doit avoir au moins une racine réelle entre a et ^, au moins une entre b et c, etc. Mais comme elle ne doit pas avoir en tout plus de m—i racines, on est sûr qu'entre deux nombre consécutifs de la suite a, b, c,... il y a une racine de l'équation dérivée F(j:)=0, et qu'il n'y en a qu'une. Plaçons aussi ces /yi — 1 racines par ordre de grandeur, et nommons-les a,, b,, c„ etc.

Puisque a^ est entre a et b^ b, entre beX c, etc., il est facile de voir que si on substitue successivement rt,, Z^„ etc., à la place de x dans F(j:), les résultats seront alternativement négatifs et positifs : de sorte que.

Pour F(a,), F(^), F(cj, etc.,

on a —, +, —, etc.

D'un autre côlé, on peut appliquer à la fonction ¥{x) et à sa

dérivée F'(j:) tout ce qu'on a dit delV) ctF(a),n° 498; donc,

Pour.... F'(aJ, P'ib^ F'(0, etc., on a.... +, — , +, etc.

Donc les produits F{a^)xF'\a,), F(ft,)xF'(^^J, etc,, seront tous négatifs.

Or, si on fait F(a:)xF'(x)=j^, et qu'on élimine x entre les deux équations

[2] F(j:)=;0, F(a:)xF'(x)=r,

les racines de l'équation finale en y seront précisément les produits d-dessus; donc, puisque tous ces produits sont négatifs, l'équation en jr n'aura que des racines négatives, et par suite tous ses termes anroQt le signe +.

Ainsi, quand l'équation F(x)=0 n'a que des racines réelles , il doit arriver que toutes celles de F'(j:)=0 soient réelles aussi, et en outre qu'il n'y ait que des signes + dans l'équation en y, résultant de réiimination de x entre les équations [2].

Répproquement , ces conditions étant remplies, on peut démontrer que toutes les racines de F(x)=0 seront réelles. D'abord, les m — 1 racines de F'(j:)=0 étant réelles, il est évident que les m — 1 valeurs de y ou F(x)xP\x) sont réelles, et le u° 498 prouve que les quantités F'(/z,), F"(^J, etc. doivent avoir les signes alternatifs -1 — etc. Ensuite, de ce que Téquation eny n'a que des signes +, on oonclut qu'elle n'a point de racines positives ; et, puisque d'ailleurs on sait que toutes ses racines sont réelles , elles ne peuvent itre que négatives : donc les m — 1 produits

F(^,)XF'K), F(6,),xF'(ft.), cftc.

sont négatifs. Or les seconds facteurs ont les signes alternatifs + — etc.; donc, les quantités F(^J, F(^J, etc. devront avoir alternativement les signes — et 4-. Donc il existe, entre a^ et la limite supérieure des racines de Tcquation F(jr)=0, une racine de cette équation , il en existe une entre b^ et a„ une aussi entre c, et ^„ etc. Donc enfin les m racines de cette équation sont réelles.

Les conditions qui se tirent de l'équation en y doivent être regardées comme actuellement connues : car on obtient celle équation

^rune simple élimination. Quant aux autres conditions, qui exigent qu'il n'y ait que des racines réelles dans l'équation dérivée ï^(x)=0, elles sont encore à chercher. Or, cette équation n'est que

470 LEÇONS d'algébrk.

da degré m — 1, et en lai appliquant le même raisonnement qn'i F(j:]=^0 on réduira encore la question à chercher les conditions qui assurent la réalité des racines de la seconde dérivée F'(j:)=0, laquelle n'est plus que du degré m — 2. En continuant ainsi, on descendra jusqu'à une équation du ^ degré , dont la dérivée, étant du i**' degré, ne saurait avoir de racine imaginaire : alors la seule condition à remplir sera que l'équation en y^ qui est aussi du 1** degré, ait ses deux termes de même signe.

Remarque. Si on se reporte aux raisonnements qui ont condidtà faire usage de l'équation j^=F(jr)xF"(j:), on apercevra facilement qu'on peut la remplacer par celle-ci j^=MxF(j;)xF"(j:), M tout une quantité positive quelconque. Donc on peut introduire on supprimer dans les polynômes F(j?), F'(j:), F''(j:), etc. tels fadeurs positifs qu'on jugera convenables pour simplifier les calculs.

500. Le nombre des conditions auxquelles on parvient par œ procédé, pour une équation de degré quelconque m, est facile à déterminer. Elle doivent toutes se tirer des équations succesrives en y. Or, la première de ces équations résulte de l'éliminatioD de x entre les équations [2]

F(x)=0, y=¥{x)y<ie'\x)-r

et comme F'(jr)=Oa m — i racines, y doit aussi avoir m — 1 valeurs. Donc Véqualion en y sera du degré m — 1 ; donc, pour quêtons ses termes soient de incarne signe, il y aura in — 1 conditions.

Semblablement, la deuxième équation en^, résultant de réliminalion de x entre V'[x)=0 et y=:F'{x\ x F"'(x), devra donner m-2 conditions; et ainsi de snite jusqu'à ce qu'on tombe sur une équation du V degré en.r» laquelle ne donnera plus qu'une seule condition. Donc, en reprenant toutes ces conditions en ordre inverse, leur nombre sera

11 est à remarquer que ce nombre de conditions est précisément le même qu'on trouve par l'équation aux carrés des différences (480).