Soit l'équation

[1] jr"+Pa-"-' + Qj:"— .*.+Tx+U = 0

dans Ia.;ueUe P, Q,... sont des quantités réelles on imaginaii Pty'-r abréger, je continuerai de désigner le premier mcml ]arX. Si on remplace JT par a + tiU''—i, X prendra aussi forme A + BK — I, A et U étant des polynômes co a et b qnine contiennent point V—\; et, pour résoudre l'équation X = 0, il faut trouver les valeurs rOelles de a et b qui peuvent annuller il lalfois A et B.

TraçoDl dans un plan deux axes rectangulaires OX, Oïi considérons dans ce plan un point qi conque M , par ce point menons MP pa- M "^ rallélc à OY, donnons à l'abscisse OP le "1 signe + ou — , selon qu'elle est à droite ou â gauche de Von'gine 0, et donnai aussi à Yoriloniive MP le signe + ou - X selon qu'elle est au-dessus ou aa-dessi de OX. Les deux coordonnées OP et MP, ainsi prises avec les signes qui leur conviennent , déterminent paiv Taitemeut le point M.

On peut toujours regarder les quantités a et i qui entrent dans l'expression a-'rbV^^i nomme étant l'abscisse et l'ordonnée d'ua certain point M ; et lorsqu'on propose de résoudre l'équation X=0, la question revient à chercher les points dont les coordonnées sont telles qa'en les snbsUtaant à la place de a et & l'on ait à la fois A=0, B=O.Ces points sont, en quelque sorte, une représéDlatim géométrique des racines de l'équation X=^0. Si l'ordonnée b est zéro, l'expression a+bl'''^ se réduit à a, alors elle devient réelle, et le point M est placé sur l'axe OX.

Gela posé, traçons dans le plan XOT an contoar fensé qnelcrniqae GHIK. On peut demander si, dans l'intérieur de ce contoar, il y a des points ponr lesquels A el B soient nuls «a même temps , et combien il y en a : ou , plus brièvement , on peut demander combien , dans l'intérieur da contoar, il y a de racines de l'équation X=0. Ponrrésoadre cette question , M. G&ucbi a donné la règle snivante.

LEÇONS D'âLGÈBRK. 473

Considérez le rapport ^ , et supposez qu'il n'y ait sur le contour

aucun point pour lequel A el B soient zéro en même temps : pour chaque point du contour ce rapport aura une valeur déterminée. Si Ton suit le contour GHIK à partir d'un point quelconque G , en avançant toujours dans le même sens GHIK jusqu'à ce qu'on re-

Tienne à ce même point G j le rapport — prend successivement Ai-

Terses valeurs, et il pourra changer de signe en passant par zéro si  devient zéro, et par l'inGni si B devient zéro. Soit i le nombre de fois que ce rapport en s'évanouissant et changeant de signe passe du positif au négatif, soit k le nombre de fois que ce même rapport en s'évanouissant et changeant de signe passe du négatif au positif : le nombre i ne sera jamais moindre que A: , et la différence i — k sera toujours double du nombre des racines contenues dans l'intérieur du contour GHIK. Ainsi , en désignant par fx le nombre de ces racines , et par a l'excès i — * , on devra avoir f* = i A.

Gomme l'expression a + bl/ — 1 peut représenter toutes les racines ^ soit réelles, soit imaginaires, l'énoncé qui précède embrasse ces deux sortes de racines. Il n'exige point non plus que les racines soient inégales ; mais il est essentiel d'observer qtt'on n'y fait atten-

tion ni aux changements de signe que peut éprouver — en passant

par l'infini , ni aux cas où ce rapport devient zéro sans changer de signe.

M. Caucht a donné desonihéorème une démonstration qui exige l'emploi du^ calcul intégral ,,iÉais il en existe une de MM. Sturm et

brique a aLmoins.jimgJ!ff[iine de la forme a+b^^—î. Mais au contraire, omi déduit , coiôme corollaire immédiat, qv! une équation i^u deg m doit avoir m racines. Les bornes que je me suis prescrites ne me permettent point 'de rapporter ici cette ingénieuse démonstrafion : le lecteur la trouvera dans le Journal de Mathèmanques j publié par les soins de M. Liouville, jeune géomètre dont le n'om se p!ace déjà parmi ceux des savants qui honorent la France.

474 LEÇONS d'algèbbe.

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