CHAPITRE XX
ABAISSEMENT DES ÉQUATIONS. — ÉQUATIONS RÉGIPROQUES. — ÉQUATIOBS ^ BINOMES.
Abaissement des équalions lorsqu'on connaît quelque relation particulière entre les racines.
503. Une équation est toujours susceptible d'absnssement quand on connait quelque relation particulière entre ses racines ; mais dans tous ces cas on est ramené à cette question générale qu'il faut résoudre d*abord. Comment peut ^ on reconnaître qiCune èquationlL^=0 a des racines communes a^ec une autre Y=Oy eP^çom' ment alors peut^on en abaisser le degré? ^
Supposons qucTinconnue soit représentée par x dans les deui équations. Puisqu'etles ont des racines communes t;, by c,..., les facteurs x — a, x — ^, x — c, . . . doivent aussi leur leur être communs, et le produit de ces fadeurs est le plus grand commun diviseur de leurs premiers membres X et Y. On cherchera donc ce plus g^and commun diviseur ; et , en le désignai^par D, les raciof s communes dont il s'agit seront celles de réquatîbi^sp=0. Si ensiiîfte on divise X par D et qu'on appelle X, le quolidint ,* les autrçs^acines dé l'équation X=0 seront celles de l'équation J^=^^I-.r- .^ j
Par exemple , soient les deux équati(î^js:^jr il' "^
jc^— 15x'+10x+2lfe0, x'^-\^ Kx"— 4x— 16=0.
En cherchant leur plus grand commun diviseur, où trOiuvera x'-\--lx — 8. En conséquence on pose x'-^-^x — 8=0, et de -là on tire les racines communes jc=2; x=^ — 4.
Pour avoir les autres racines delà première é()ûation, on la divise par .»/'+2.r— 8 : il viciuira .t'— 2.r -3=0, d'oùv:=— 1, x=3. La troisième racine de la seconde équation C5t.z=~2.
504. Maintenant, montrons de queUe manière on at>aisse le degré d'une équation quand il existe une relation particulière entre quelques-unes de ses racines. Les généralités seraient trop difficiles à saisir ; commençons par un exemple simple.
On j)roj)Ose d'abaisser une équation
élans laquelle on sait qu'il y a deux racines , dont la somme est égale à une quantité connue k.
Ces deux racines étant représentées par x et x\ on deyra avoir les trois équations
La dernière donne x'=k—'X; et en substituant cette valeur dans la seconde , on aura deux équations en x qui devront avoir lieu en même temps , savoir :
' L'équation Y{k — j:)=0, considérée isolément, a pour racines toutes les quantités qui , étant retranchées de k , donnent pour reste une racine de F(j:)=0 ; donc les équations [2] doivent avoir pour racines communes tontes celles de l'équation [1] qui, retranchées de k^ , reproduisent une racine de cette même équation. En conséquence , on cherchera le plus grand commun diviseur D de F(j:) et deF(A:— jt); et toutes ces racines seront contenues dans l'équation D=0. On divisera ensuite l'équation [1] par B, et l'on aura celle qui doit renfermer les autres racines.
Si l'équation contient véritablement-deux racines a et b telles qu'on ait a+b=k^ on doit avoir également k-'a=b et k — b=a; par conséquent le diviseur commun D serait alors au moins du 2* degré. Il sera d'un degré supérieur lorsque , parmi les racines de l'équation , il y aura plusieurs manières d'en prendre deux dont la somme soit k. Il pourra aussi être du 1" degré , et ce cas arrive lorsqu'il y a dans l'équation une racine égale à ^k.
Rien de si facile que de former à priori des exemples qui présentent ces différents cas. En voici dans lesquels A=6.
1 o F (ce) = {x—2) ( J7— 4) {x—5y{x—S)\
F(6— .r)=(x— 4)(x— 2)(a'-l)"(x+2)\ D=(jr— 2)(j:— 4).
47ft LEçons d'aloëshe. V
a* F(j:)=(jr— 2)(J7— 3)(^— 4)'(x~8)', I
3° F(jr)={a-— 3)(j:— 41[ar— 5)"(j:— 8)', I
D=jr — 3. ■
Remarque. Lorsqu'il y 3 des racines égales à '-k dans F(x)=0, |d est facile de le reconnaître en subslttoanl ; k dans celle équation , et^ dcsnpprimer ensuite ces racines parla division. Lorsque l'éqaatioa 1 contient en outre d'autres racines égales entre elles , on sait com- J menton peut l'on débarrasser : de sorlequesi, après ces stniplilj~^ cations , il existe dans l'équation des racines qui , étant soustraites 1 de i, reproduisent des racines de celte équation, on sera certain qu'elles pourront être distribuées par couples aeXb, c et t^ , elc. » ^ tels qu'on ait a-^-b=k, v+d^k, etc. M
305. 1-cs explications précédentes ne souffriraient que de légère» J modifications , si au lieu de la somme de deux racines , on supposait I que c'est leur produit, ou leur différence, ou leur quotient, quij est égal à un nombre donné /*. >l
On a TU que les équations qui renferment des racines égales ^ pouvaient subir un abaissement considérable. Ce cas est celui de plusieurs racines qui ont entre elles une différence k qu'on ferait égale à zéro , on un quotient k qu'on ferait égal à l'unité.
Si l'on veut considérer la question sous le point de vue le pins général , il faudra supposer qu'il existe entre plusieurs racines d'une équation telles relations qu'on voudra. 11 est facile de voir qu'alors on aura, entre ces racines inconnues, plus d'équations qu'il n'y a de ces racines , de sorte qu'on sera toujours ramené à reconnaître que plusieurs équations à une seule inconnue doivent avoir des racines communes. Mais pour arriver à ces équations , l'emploi des méthodes d'élimination peut être nécessaire. . 506. Il y a certains cas où l'abaissement ne peut s'opérer qn'à l'aide de procédés nouveaux. Afiu de me faire mieux entendre, je reprends l'exemple du n° 504, dans lequel on doit avoir entre xelsr" la relation jr+x'=k; et, pour plus de netteté, je suppose qu'on ait effectué les simpliQcalions dont il a été parlé dans la remarque. Soient alors
les deux équations qai doivent avoir des racines communes.
LEÇONS b'ALGÊBaR. 477
Il pcnt arriver que toutes les racines de F(x)= Ose distribuent par couples ,aeib^cctd, etc., pour chacun desquels on ait la nw^me relation, a+b=Ic^ c+d=kj etc. Alors il est évident qu'en meUant successivement chaque racine ^ , ^ , t: ,... à la place de jc dans la valeur j:'=A- — x , on retrouverait toutes ces mêmes racines dans un ordre différent : de sorte que les deux équations [3] seraient identiques et rabaissement n'aurait plus lieu. C'est ce qu'on voit dans l'exemple ci-dessous, où l'on suppose k=z6 :
Cependant je vais montrer quel'équation proposée pourras'ahaisser à un degré moitié moindre , au moyen d'une inconnue auxiliaire z, choisie convenablement! La condition essentielle à remplir en choisissant cette inconnue , c'est qu'elle soit égale à une fonction tellement composée avec les deux racines jc et x' d'un même couple , qu'on soit assuré d'avance que les différentes valeurs de z dépendent d'une équation de degré moi^c que la proposée. Ce qu'il y a de plus simple sera de prendre pour inconnue la différence des deux racines x et x\ ou mieux encore leur demi-différence , et de poser JC — x=2z. De cette manière, on est certain que chaque couple de racines donnera pour z deux valeurs égales et de signes contraires , savoir :
z=K^-a); I z=;(tf— c); etc.
A la vérité , l'équation en z sera de môme degré que F{x) = 0 , mais elle ne devra contenir que des puissances paires de z, et par conséquent, en y regardant z* comme l'inconnue, elle sera d'un degré moitié moindre.
Quant à la manière d'avoir l'équation en z, rien de plus facile. On a ces trois équations
F(jc) = 0, x + x=zk^ X— j:'=2z.
Des deux dernières on tire x=^z-^{k; et, en substituant cette valeur dans la première, on a la transformée .
On peut aisément reconnaître àpafierionip
lion atteint véritutilcmi'nt le but qu'oa sv propose. Si on décompose F(x] eu ses facteurs simples , un aura
[ Maifl, par hypoUièso/t
= c + fî=...; donc
On n'a mis ici en évidence que les deux facteurs correspondant à an couple do racines, mais cela suffit pour comprendre que l'équation en s ne contiendra que des puissances paires do z.
La transformation précédente n'est point la seule qa'on puisse employer arecsuocès. Par exemple, si on pose ::=.x:i:\ il estda'r que 1rs denx racines d'un môme couple ne feront prendre qu'one seule valeur à s ; et par conséquent !a transformée sera de d^ré moitié moindre que F[x)- Pa^uie raison semblable, on pourrait poser ii=x'+x^'; et, en gén^R, on peut faire l'inconnue aaùîiaire égale à telle fonction de x et x' qu'on voudra , pourvu qne cette fonction reste la même quand on y change ces deux racines l'une dans l'autre. Seulement , on ne devra pas recourir à la somim' .l'+o.-', qui est déjà connue.
507. J'appliquerai ici les considérations précédentes à one classe d'équations dont la forme même fait découvrir nne relation entre leurs racines : je veux parler des équations réciproques. On nomme ainsi colles dont on reproduit toutes les racines, mais dans un ordre différent, en divisant successivement l'unité par chacune d'elles, Telle est évidemment l'équation
x'+I'x' + qx+Px+i=Q:
car en changeant j^ en - elle dovipnt
et celle-ci, en la multipliant pur x* cl renversant l'ordre des termes, n'est autre que la proposée.
508. Avant tout, cherchons quelles relations doivent avoir entre eux les coefficients d'une équation pour qu'elle soit réciproque. Soit d'ahord une équation de degré impair
Si on y remplace x par - , la transformée devra avoir les mêmes
racines, et par conséquent, en la ramenant à la forme ordinaire x^ + etc. = 0, elle devra être identique avec la proposée. Or, cette transformée est
X A — x*H — .r3+ — X 4- — xA — = 0 :
donc , pour qu'elle soit identique ayec la proposée , il faut qu'on ait i-p l^-O 5-R l-S i-T
rp *» rp Xî m "■ î rp *-' » m *•
La dernière égalité donne 1^=1, d'où T=dil ; et par suite les autres s'accordent à donner S = ±P, R=±Q. L'équation proposée , pour être réciproque , doit donc avoir l'une de ces formes
[i] x'-{'fx*'hQx'+Qx*+Vx+i=0,
[2] x'+ Px*+ Qx'— Qj:'— P jc— 1= 0.
Donc, pour qu'une équation de degré impair soit réciproque , il faut et il suffit que les termes à égale distance des extrêmes aient des coefficients égaux et de même signe, ou égaux et de signe contraire.
En second lieu , soit une équation de degré pair
x%Px'+Qx^+B.x^ + Sx*+Tx+l} =0.
en changeant :): en — , et en ramenant encore la tranformée à la
forme ordinaire , on trouve
jc«j jc J X*A X^-^--^ X^A X+ — = 0:
et , pour rendre cette équation identique avec la proposée , il faut poser les conditions
T p S R Q g P i -P, :^-Q, ^-R, ^-b, ij-1, u-U.
M) Leçons o'itLatiU.
no h dernière on lire U = ± 1 . Si on prend U= + 1 , les aulr
tlonai'nt
Lot , si on prend U = — i , cllt's doiiiienl
c râqualioD proposée doit avoir l'une de ces formes
a-V P^'+ Q J-'— Qa;'— Po; — 1 = 0 ;
it loQlcfois il faal remarquer que rien ne s'oppose h ce que R K a dons la première.
Ainsi, pour qu'une équation de degré pair soit n-ciproque ^ ^aul et il suffit , en général , que les coefficients à éj^ale distance à ixtrémes iûient égaux et de ntème signe; mais lorsque le terniei niUeu manque , elle sera encore réciproque si ces coe^cients so T et de signe contraire.
509. Maintenant voyons comment s'abaissent les équations réi nques. Si on considère l'équation [1 ] et qu'on rapproche les terni également éleignés des extrêmes, on peut l'écrire ainsi : ^
Alors on toil que j.'^ — 1 est une des racines; et en divisant par x-\-i chacun des binômes x^+\, x^+1, J7+], on obtient l'équation
jt'— l|jr'+l U'— l|x+l=0, +p| p 4.p|
qui est encore rédproque , mais de même Torme que l'équation [3]. Si on considère l'équation [2], on reconnaît que jr=l est une racine. Poor faciliter la division par^r — I, on l'écrira ainsi
(x'— 1) -f Px(vc'— 1) +Qj:'(a:— 1) =0 }
puis on trouvera facilement l'équation soivaule, encore de même forme que l'équation [3] ,
x'+ 1 |a:'+ 1 |a^'+ 1 lj:+l=0.
+P +P +Pl
LEÇONS d'algèbre. iSl
Si on considère réqaation [4] , on voit qu'elle admet +1 et —1 pour racines. Écrivons-la ainsi
(x'— 1)+Pa:(j:i— 1) +Qx'(x'— 1) =0 :
on Toit qu'en effet elle se diyise par x^ — 1, et l'on a pour quotient une équation encore de même forme que l'équation [3] , savoir :
j:*+Pj:^+ (l+Q)jc*+Pa:+l=0.
Quoique nous ayons pris des équations d'un degré déterminé, il n'en est pas moins clair qu'en simpliGant conyenablement une équation réciproque quelconque, on la ramènera toujours à celles de la forme [3]. Par cette raison , la dénomination d'équations réciproques est plus spécialement appliquée à ces dernières, et c'est d'elles seules que nous avons à nous occuper.
510. Considérons d'une manière générale l'équation réciproque
[5] j:^'»+Pj:»''»~»+Qjra'«-«...4-Qj?'4-Pj:+l =0.
Puisque toutes ses racines doivent se reproduire en divisant l'unité successivement par chacune , on en conclut qu'elles peuvent se
distribuer par couples telles que /z et -, ^ et t, ^ et -, etc., dans
abc
chacun desquels se trouvent deux racines dont le produit est 1. Par les considérations du n° 506 on pourra donc transformer l'équation en une autre de degré moitié moindre au moyen d'une inconnue auxiliaire ; et le mieux sera de prendre
Il est d'ailleurs évident qu'en mettant chaque racine à son tour dans cette expression à la place de je- , le nombre des différentes valeurs de z est égal à celui des couples j d'où il suit que l'équation en z doit être d'un degré moitié moindre que celui de la proposée.
Pour former cette équation , il faut éliminer x entre [5] et [6] , et l'on y parvient par un moyen aussi simple qu'élégant. £n divisant par x'" et rapprochant les termes également distants des extrêmes, l'équation [5] devient
•^"•+|r.+p(^-'+^)+Q(*"-'+^)+-=Oî
par coméqncat , U ne s'agit pins que d'exprimer cd roncliou de s les bioomes
A ccl effet, remarqaons d'une manière générale qu'en mollipUant x'-{ — parjc+-,ona
et quo de là on lire, en remplaçant x+ - par =,
Celte formule résout la question , car elle montre comment cbacuB des binômes peut se déduire des deux précédents. Si on fait sucresslvemcnt m=1, 2, 3,... on trouve, en partant de 3:+— = z,
X*'i — : = a* — 4z'4-2, 37'+— 1 = 1' — 5b' + 5i, etc.
On reconnaît, à la forme de ces expressions, que la transforma en s sera eu effet du degré rn, ainsi qu'où l'avail prévu.
Quand on aura déterminé les valeurs de ;: , o» trouvera les racines de la proposée au moyen de l'équation [C]. Or, elle équivaut i
celle-ci
;r'— =x + 1 = 0, d'où x=\z±.',yz'—\; par conséquent, il a'j aura plus qu'à substituer sncccssivemeDl les m valeurs de : pour obtenir les 2wi valeurs de ^■-
Un trouve des exemples d'équations réciproques dans les éqoilioiis binômes dont je vais m'occuper à présent.
51 1 . Les équations binômes sont celles qu'on ramène à la fonu [1] jr'=A ou j:^"— A=0,
A étant une quantité connue quelconque.
On aperçoit sur-le-champ qu'elles u'ont pas de racines égales, car le binôme x"* — A n'a aucun facteur commun avec sa fonction dérivée mx"'—^. Donc les m racines do cette équation sont différentes entre elles.
Ces racines, si on les élève à la puissance m , doivent reproduire  ; donc elles sont les mêmes que les valeurs renfermées dans l'expression
Ainsi , on est sûr que co radical a m valeurs différentes , et la proposition admise n^ 241 se trouve démontrée. On peut même ajouter que si A est une quantité de la forme a+pl^ — 1, les valeurs du radical auront aussi c^tte forme : car on a prouvé (379) qu'elle est celle des racines de l'équation [1].
512.* Lorsque m est un nombre composé , la résolution de l'équation [1] se ramène à celle de plusieurs équations binômes , dont les degrés sont les facteurs de m. Supposons m = pqr : au lieu de l'équation jc/'î''= A, on peut prendre celles-ci
xP = j/, x'n = x'y x"'' = A ,
dans lesquelles x* et x" sont de nouvelles inconnues. Il est évident qu'après avoir résolu j/'** = A , l'équation précédente x'i = x!' fera connaître les valeurs de x\ et qu'ensuite l'équation xp=^x! donnera toutes les racines de l'équation proposée.
Au reste , cette remarque revient à une formule déjà connue par la théorie des radicaux (253) , savoir :
pqr
51 3. Désignons par a une quantité dont la puissance m est A , et posons x=:ay. L'équation a:« = A deviendra a"«^« = û'", et en divisant par a»»,
doncy = yi, et par suite x = a]/i.
De là on conclut que les racines de l'équation x"' = A peuvent se former en multipliant l'une quelconque d'entre elles par celles de l'équation y" = 1 : ou bien encore , comme au n» 242, que les différentes racines /»•"*" d'une quantité peuvent s'obtenir en multipliant Tune d'elles par les racines n^'^* de l'unité.
W4 Leçons uVlcèbre.
514. Gonsidc^-roDs plus spécialcmeut le cas où A est anc quantité réellfl ; Dt , pour distinguer les bypoltièse& de A positif oa négatif f écTJTODS l'éqnatioD biaome comme il suit :
tA.
On sait détermiaer, au moins par approximation , une quantité positive a telle qu'on ait a^—k. Posons encore x=aj^, l'éqaattoQ ci-dessus d^Tieudra
et c'est de celle-ci que je m'occuperai exclusivement.
btb. Ou peut , sur celte équation , faire plusieurs remarques.
Lorsque'" est impair et que l'èquatioQ est j" = l ou y — 1=0, elle admet évidemment la racine y^i. Elle n'a pas d'autre racine réelle; car toute autre valeur positive (|c j donnerait v*">l ou j'^-Cl, et une valeur négative rendrait j" oégatif- Pour avmr l'équation d'oii dépendent les m — 1 racines imaginaires , un divisera jy" — 1 par j' — 1, et il viendra l'équation
qui appartient à la classe de celles qu'on nomme réciproques.
Lorsque m est impair et que l'équation est .r"^ — 1 , elle a évidemment pour racine ^— — 1. Des raisonnements analogues au précédents prouveraient que les aulres racines sont imaginaires; et on aurait l'équation dont elles dépendent en divisant ^'"+1^=0 par y+l . Mais , pour avoir toults les racines de l'équalion ^'— — 1 , il est mieux de remarquer que cette équation se déduit de l'équaticm ^^"'^l eu changeant ^ eu — ;> ; de sorte qu'il sulSrade prendre toutes les racines de jf"=1 avec des signes contraires.
Supposonsmpair,etsoit m— aw: l'équation ^'"=^1 ou j'"— 1=0 a pour racines y=+i et y=—t. Les autres sont imaginaires, et l'équalion qui les renferme s'obtiendrait en divisant ,r" — 1=0 par (j-— i)[j'+1 ) ou y — i ; mais il sera mieux d'observer qne y" — 1= (^-1 — l){j"+l ), et que par suite l'équation ^"— J=;0 peut être remplacée par deux autres plus simples , j" — 1=0, ^" + 1 = 0.
Enfin, lorsque l'équation est ^"= — i ou ^"4-1^=0, on remarquera que les puissances paires des quantités réelles douncul loujoHrs des résultats positifs , et de là on conclura que toutes 1«
hKÇONs d'algéere. 485
racines sont imaginaires. En posant j^'=z, l'équation s'abaisse au degré n et devient simplement 5"= — 1.
516. Maintenant je yais développer les solutions des équations j^'«~l=0 et ^^"'+1=0 dans quelques cas particuliers.
Soit m=2 : les équations à résoudre sont
y— 1=0 d'où j^=±l,
y-hl=0 d'où y=^XV—i.
Soit m=3 : pour résoudre Téquation^^ — 1=0, on remarque d'abord qu'elle a pour racine ^— 1 ; alors on la divise pai'j^ — l,et il vient
y 4.j.+l=:0, d'où y=: .
Donc les trois racines sont, comme on le savait déjà (242) ,
S'il s'agit de l'équation ^^^1=0, on observera que ses racines sont les mêmes, au signe près, que celles de l'équation y^ — 1=0 ; et en conséquence el^es seront
Soit /» = 4 : l'équation y^ — 1 = 0 se décomposera en deux autres , y^ — 1 = 0 et y + 1 = 0; et de celles-ci on tirera les quatre racines
^=±il, y^±.]/—i.
L'équation j^*+l=0 se résoudra différemment. En ajoutant 2j^* aux deux membres, on l'écrira ainsi, (^+1)'=^'. Puis on la décomposera en deux autres ,
y+i =yy2, y+i = — ^J/i ;
et enfin, de celles-ci on tire les quatre valeurs dey,. On aurait pu traiter l'équation j^*+l=0 comme récip^
«irait pa encore remarquer qu'elle donne y= + v^i , et qu'en , pfCDont successivement +1-''^ et — V—^, on a
y = ±]/+\/~i et 3=±\^-y^i:
Ijjorsonn'aurait plus qu'àramcncr ces Talcnrsàla Tonne a+pl/—), 1^ c'est a> qui a déjà été fait n°197.
Eu «'élevant saccesaivemcot jusqu'au 10. degré, on reconnaîtra fiÇiie l'équation .r' + l—O stf résout par les cas précédents on par Ltfes équations réciproques qui s'al>aîssent k uu degré moindre que \ le 5°. ParLOurons d'abord les degrés impairs.
Si on a l'ëquatioD .r' — t = 0, après avoir remarqué qu'elle admet «racine y=i, on la divise par^ — I, et il vient
f iqnation réciproque qu'on abaissera aa S' degré- A cet effet oa I l'écrit d'abord sous celte forme
f Alors on pose j'+- =«, ce qui donne y+ -; = a' — 2;et persoite l'équation en y se changera en ecllc-ci
+ 7—1:^0, d'où z=-
Ces valeurs étant connues, celles dejv le seront par la relation y-\ — = I. En effet cette relation donne
et il n'y a plus qu'à substituer, au lieu de :;, successivement cbacune de ses deux valeurs pour trouver les quatre valeurs imaginaires de j'. En y joignant la valeur j=^l, on aura doncles cinq racines de l'équation y^ — 1=0, savoir ;
-|/5 1^10-2^5 ly-i . ±— — — j— K I.
LEÇONS b'àlgâbbk. 487
L'équation ^—1 = 0 exigerait la résolution de l'égoation z^+s"— 2s— l=Oî etréquation j^«— 1=0 exigerait celle de Véquation z^+s' — 33*--2s+i=0.
Les équations y+i=0, ^^+1=0, ^+1 = 0, ont les mêmes racines que les précédentes, au signe près.
Parcourons les degrés pairs. Les équations y — 1=0 , y* — 1=0, y — 1=0, n'offrent aucune difficulté, puisque chacune d'elles se décompose en deux autres dont les racines sont connues.
En prenant +1 au lieu de —1 , les équations analogues sont
^'+1=0, d'où J^=k^P^; y + 1=0, d'où J^=>/j>^;
^•+1 = 0, d'où y^\/]K^i.
Or, on connaît les valeurs de l^^^^y ]/—i^ J/ — 1 ; il n'y aurait donc plus qu'à en extraire les racines carrées par les procédés du n''197. IMais il sera plus simple de traiter ces équations comme réciproques : car les transformées en z , dont elles dépendent y ont leurs racines réelles et sont très-faciles à résoudre.
517. Les équations en z du 3"^ et du k^ degré auxquelles conduisent les équations fi — 1=0 et y^ — 1=0 sont complètes , et nous donnerons plus tard des méthodes pour résoudre les équations générales de ces deux degrés. Pour le moment , je me bornerai à remarquer que ces méthodes étant connues depuis longtemps , la résolution de l'équation y"^±i =0 l'était aussi pour les 10 premiers degrés. Dans les degrés supérieurs on pouvait bien encore , d'après la remarque du n° 512 , regarder comme résolus ceux dont les exposants sont des nombres composés des facteurs premiers 2, 3, 5, 7. Mais quand l'on passait à l'équation y— 1=0, tout cequ*on pouvait faire était de la ramener à une transformée du 5« degré , qui était complète aussi , et qu'on ne savait pas résoudre (*).
On en était là lorsque Yanderhonde donna l'expression de la racine de l'équation y— 1=0, à la suite d'un mémoire sur la résolution des équations, imprimé- parmi ceux de V Académie def
O Par la règle de M. Stuak on reconnatt fiijlemftpt qa« tOfflpt
fie ces transformées en e sont réelles.
Sciences , année 1771 . Mais elle D'élaît présentée que comme an résoltat de sa méthode gSaérale, et elle est restée longtemps ignorée. Elle l'étail encore en 1801, époque «ù Gacss publia un procédé fort ingénieux pour résoudre tous les cas de l't'iiaatioii y — 1^0. Plus lard, ce procédé a encore élé perfectionné pur IiAGRANGE , cl c'cst dsus Cet aulcuT qu'il convient de l'étudier aujonrd'hui : Résolution dus équations numériques, note XIV. Au reste , les expressions qu'il fournit pour les ratines sont en général pea utiles à cause des imaginaires qui les compliquent ; et quand on veut les obtenir sous la forme b+^^Z — 1 , il vaut mieux recourir à d'autres procédés , fondés sur les propriétés des lignes trigonométriqucs- Voyez ma Trigonométrie ou ma Géométrie analytique.
518. J'exposerai encore ici une propriété des racines de l'unilé , curieuse par ellc-métie , et dont les analystes font un usage trèquwit. Elleadéiàétéremarquécpourle3'degré(243), et elle consiste en ce qu'on peut, dans chaque, degré, reproduire toutes les ror 1 eiiies de l'unité par les puissances d'une des racines imagiaaira, t Reprenons l'équation j
et supposons d'abord que rn sôit un uombrc premier. Soit a l'une quelconque des racines imaginaires de cette t;qualion , on devr» avoir b.'"=^1 ; par conséquent , en désignant par» un nombre entier quelconque positif ou négatif, on aura
a'"-=l OU (a'']"'=l; I
donc toutes les puissances de a. satisfont à l'équation [â],
11 n'en résulte pas cependant plus de m valeur pour^ : car de «"=1 on conclut
c'est-â-dire qu'où n'obtient plus de nouvelles racines au delà de a". 11 en serait encore de même si on prenait des puissances négatives -. car<ma
D'un autre c6té il sera facile de prouver que si m est un nombre premier, les m quantités 1, a, a',... a"—' sont inégales. En effet, admettons pout un moment que n et n+r étant deux nombres
LEÇONS DALGÊBRR. 489
moindres que m, on puisse avoir a" + '•=««. On en déduirait «''=1 , donc a serait une racine commune aux deux équations
Or cela est impossible quand m est un nombre premier : car si on cherche leur plus grand commun diviseur, les réductions successives qui s'opéreront dans les exposants de ^, seront les mêmes que dans les restes qu on trouve en cherchant le plus grand commun diviseur de m et r; et comme /;* est un nombre premier, on reconnaîtra que^ — 1 est le plus grand commun diviseur des deux équations. Donc a ne peut pas être racine commune à ces équations ; donc toutes les racines de l'équation [2] sont représentées par la suite.
La même propriété s'étend aussi aux cas où l'exposant m est un nombre composé, mais-alors il faut faire un choix parmi les racines imaginaires de l'équation , pour en avoir une dont les puissances reproduisent toutes les autres racines. Pour ces détails, je renverrai encore à la résolution des équations numériques^ Note XIII.
