FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Calcul des fonctions symétriques des racines d'une équation.

519. Il existe certaines fonctions des racines qu'on sait exprimer d'une manière générale au moyen des coefiScients des équations, sans qu'on ait besoin pour cela de résoudre les équations. Ces fonctions , qui forment une classe très-étendue , sont désignées par la dénomination Refondions rationnelles et symétriques ; ou, plus simplement , par celle Aefonctions symétriques.

Elles sont dites rationnelles, parce que les racines ne doivent y entrer ni sous des radicaux ni avec des exposants fractionnaires , c'est-à-dire qu'elles n'y sont combinées que par addition , sou»-

■pOr LKÇMS OAIÂRBIIB*

RnclioR, maltiplication et divisinn ; el cllos sont dites symitrigues , nurcc que les rocines doivent y £tre conibîntVs de telle sorte qu'on ■hiisse les échanger eotre elles , suivant tel ordre qu'on voudra , BUs que la rouctiuD change.

m Par exemple , les expressions

■ , ,, , ab ac bc

m a'Jrb'+c'. TTi + rw-. + ;rn— S"**^»

■ 2c' 2if 2a

■nil. des fonctions de a, h, c, rationnelles et symétriqnca. La prenùèro est entière , et la seconde est fractionnaire.

■ Plusieurs quantités a, Z>, c, tf, elc. étant données, si on lesar- Dange deux à>deux de toutes les manières possibles , et que dans B^iaqac arrangement, tel <incab, on donne l'exposant u au premira HEuilear, et l'exposant p au second ; on aura une suite de produits Hds que a'b'^ , dont la somme est évidemment une fonction sjmé- Blriquc des quantités a, b, c, d, etc. On dit que cette fonction est Wdùuùle, parce que chaque terme renferme deux de ces quantités , et

OD la repr<%onte d'une manière abrégée par S {a'b--) -. la lettre S est employée ici pour désigner le mol somme. Où comprend de même ce que doivent être les fonclionK symétriques triples, quadruples, etc., représentées par Stii'/'^rt), S{a^b^cyd^), etc.

En suivant cette notation, les fonctions simples^ telles que iz^+i'+c'-fclc, , seraiojil représentées par S[a') ; mais, pour abréger davanta^'C, on écrit ordinairement S^. Ainsi, on a

S,=a+i+c+clc. , S,=a'+b''+c'+elc. , S^=fl'+i'+c'+etc. , etc.

La notation dont on vient de parler se rapporte aux fonctions symétriques entières. Quand elles sont fractionnaires , oDcmnmence par les réduire au même dénominateur, et alors on a une frâcUw dont les deux termes sont des fonctions symétriques et entières. C'est pourquoi l'on n'aura à s'occuper que de ces dernières.

520. La première question à résoudre sera celle-ci : Une équation étant donnée., trouver les sommes S, ^ S,, etc. des puissances semblables et entières de ses racines.

Soit l'équatioD X = 0 ou

LEÇONS d'algâbrb. 491

dont je désigne les m racines par a^b^c^d On a tronyé n^' 380

le quotient de X par x—a^ et on peut avoir de même les quotients de X par chacun des autres facteurs x—b^ x—c , etc. Or, en ajoutant ces m quotients, on sait que la somme doit être égale au polynôme dérivé X' ou

mx^-^ + (m— 1)P j:'«-> 4- (w— 2)Qj:'»~34, (m— 3)R3h-4. . . . + T :

il faudra donc que les multiplicateurs des mêmes puissances de x soient égaux de part et d'autre. De là résulte la détermination des sommes demandées.

Reprenons donc le quotient de X par x — a,