I S„ + .+PS„ + .+QS„ ....+TS,+US

Dans la première de ces relations on peut remplacer le tenue j US, parmU,carS„ = a''4-/)°+c''+ctc. = m; et alors on voit qu'elfe I est comprise dans la môme loi que les équations [2]. Cette relation fera trouver S,» au moycndessommesS,,S,,... S,„, déjà connues) et en passant successivement à chacune des rdalions suivantes, aa déterminera cliaque somme nouvelle au n^yen de sommes dép calculées.

Il est utile d'observer que tontes les sommes S,, S,, S,, etc. seront exprimées , sans aucun dénominateur, en fonctions des coetBcieuts P, Q , R , etc. Cède conséquence résulte de ce que le premier terme,daus chacune des relations [2] et [3], al'unité pour coellicienl.

Pour présenter une application numérique, prenons l'équation ^'— 7x + 7=0.

Dans cet exemple on a P= 0, Q = — 7, R=7. Puisque P= 0 , la relation S, +P = 0 donne S, = 0 ; par suite les relations^qui déterminent les sommes S,, S.,... Sg se réduisent à celles-ci, S, = 0, S,+2Q = 0, S3+3R = 0,

S, + QS. = 0, S,+ QSj+RS. = 0, S,+QS,+ RS,=0;

LBÇONS d'aLGÂBRI. iOlt

et en substituant les valeurs de Q et de R , on trouve facilement S.= 0, S.=14, S3=-.21, S,= 98, 85=— 245, S,=833.

521. JRema^Hl^. ^^^^ Téquation S«,+n+ etc.= 0 trouvée plus haut, n peut être un nombre négatif, et par suite cette équation peut déterminer les sommes des puissances négatives des racines. Ainsi, en faisant /i=— i, — 2, etc., on aura

Sm-, 4-PS«, .... + TS,+US-, =0,

S/n— a + PSm— 3 •••• + TS— i + US— a= 0,

etc.

équations qui feront connaître successivement S-i, S-.a, etc.

Mais il sera plus simple de cbanger a: en - ^ans l'équation

proposée [1], et de cbercber ensuite, au moyen des formules [2] et [3] , les sommes des puissances positives des racines de la transformée. Il est clair en effet que ces puissances sont les puissances négatives de ^, ^, c,.,,.

522. Je passe à la détermination des Jonctions doubles, triples^ etc. représentées par S{a^b^) , S(ût«Wc>), etc.

Pour trouver S(a«6/^) , on multiplie entre elles les deux sommes

a^ + b^ + cf^..,, = Sj:.

Le produit contient deux sortes de termes : 1** la somme de toutes les puissances a+p des racines; 2° la somme de tous les produits qu'on forme en combinant la puissance r d'une racine quelconque avec la puissance p d'une autre racine. Or, la première somme est dénotée par Sx+/^, et la seconde par S(ût«W) ; donc

et de là on tire , pour les fonctions doubles , la formule

Pour trouver la fonction triple S{a»b^cy) , on multiplie entre elles les trois sonunes