I -494 uujsm» d'aloIsu

Lo pro Juil cBl une fonclion sjmétriqac qui renfermei-a éTidommeoE tous li's termes compris dans cbacuiie des cinii formes

^«+Ê+V a"-+^i> u»+>i'3 fl^+^i*, aj'b^c*; I donc, «n vertu de la notation moTeaae, on aora^P

KMais la formale des fonctions doubles donne

[ En snbsUtuantdonc ces valctirs dans l'égalité précédeate , et tirait I ensoite de cette égalité la Talcur de SCa'fr^O) , on obtient, poor [ les t'oncttoos triples, la formule

I Poor avoir les fonctions quadruples, etc., ou se conduira d'me inanière analo^e : le procédé ne préseute aucune difficulté.

Ici encore il importe d'observer que S,, S,, S,, etc. s'exprimant sans dénominateurs, en fonctious des coefficients de l'équation proposée , il doit en ôlre de même des sommes Sia^bi) , S',/z'b':c:i] , etc.

523. Les formules auxquelles on est parvenu pour ces dernières sommes doivent élremodiliêes quand quelques-uns des esposanU sont égaux. En eifet, une somme quelconque Siw-ùxcr...), dans laquelle chaque terme renf<#me n lettres , se compose en formantlmi les arrangements 1 à 1 des lettres a.;b,c,... et en donnant respeetÎTement aux n lettres de chacun d'euxles exposants c, ^,7,... Or, supposons que dans un terme la lettre a ait l'exposant :t , et ^ l'exposant ^, il y aura uécessairement un autre terme qui ne différera de celui-là qu'eu ce que a el 6 auront été échangées ; donc ces deux termes deviendront égaux gi on suppose |3 = a ; donc alors l'ensemble des termes différents n'est plus que la moitié de la formule générale.

S'il y a trois exposants égaux , il est clair que chacun des termes différents de la formule sera répété dans cette formule autant de fois qu'il y a d'arrangements 3 à 3 avec trois lettres ; donc , pour n'avoir que la somme des termes différents , la formule générale doit éîre divisée par 2x3. £t en général, si p est le nombre des expo-

LEÇONS D*ALGàfillR. 495

suits égaux, il faudra diviser la formulo générale par âx3....x/'. Ces divisions s'effectueront sans laisser aucun dénominateur dans les formules , mais il serait difficile de le reconnaître par ce qui précède : le procédé suivant mettra cette propriété en évidence.

Méthode de M. Gaucbt pour le calcul des fonctioiu symétriques.

524. Cette méthode est extraite des Exercices de Mathéma^ niques , 4'' aimée : elle consiste à éliminer successivement de la fonction symétrique chacune des racines a^ b^c, d,...; elle se fonde sur la proposition suivante.

Soit 2 une fonction symétrique rationnelle et entière des racines d'une équation X = 0 ou

Joignons par a l'une de ces racines, et admettons que d'une iiuiiiière quelconque on transforme s en un polynôme ordonné par i^pport à a , de telle sorte qu'on ait

L,M, N,... étant des coefficients composés avec P, Q,R,... U. Si alors on divise ce polynôme par

je dis qu'on obtiendra un reste indépendant de ^z , et que ce reste sera précisément la valeur de i.

Quel que soit a, cette division doit donner un reste de la forme }a»-«+pi^z"»-«....-f 0a4-j3. Pour abréger, nommons r ce reste, q le quotient, et A le diviseur; on aura 2= A^ + r. Or, a étant racine de Téquation donnée , on doit avoir A= 0 ; donc 2 = r, ou , ce qui est la même chose,

On aurait pu conserver dans le calcul, au lieu de a , Tune quelconque des autres racines de X=0; et comme 2 est une fonction symétrique des m racines, il est clair qu'on serait arrivé à une valeur toute semblable à la précédente , avec cette seule différence que a y serait remplacé par l'une quelconque des m— 1 autres racines. Or, la valeur de 2 doit demeurer la même quelle que soit la racine que l'on conserve dans le calcul ; donc ; en posant

49G LEÇONS d'algèbre.

cette équation , qai est de deg^ré inférieur à m , devrait admettre m racines , ce qui est impossible , à moins qu'on ait

X = 0, fi=0,....9 = 0, J3=2:

c'est la proposition qu'il s'agissait d'établir. Remarquez que le polynôme diviseur a'«4-P«'"~* + Q^"^*.... n*est autre queX où l'on change x en a.

Dans cette démonstration on regarde les m racines de l'équation [1] comme inégales entre elles, mais la conclusion n'en est pas moins générale. Pour s en convaincre, on peut supposer d'abord, comme nous Tavons fait, que toutes les racines soient inégales, et ensuite faire varier les coefficients P, Q , . . . U par degrés insensibles, de telle manière que la différence entre deux racines, ou même plusieurs différences, approchent aussi près de zéro qu'on voudra. Or les dernières égalités ne cessent point de subsister, quelque petites que soient ces différences ; par conséquent elles seront encore vraies quand c<'s différences s'évanouiront, c'est-à-dire, quand les racines de l'équation [1] cesseront d'être inégales.

525. Dans la proposition qui fait l'objet du numéro précédent, j'ai supposé qu'on avait déjà éliminé de la fonction i toutes les racines excepté une. Maintenant je vais expliquer comment par l'emploi répété de cette proposition l'on peut en effet éliminer delà fonction i successivement chacune des racines qui la composent.

Soient a, b^ c,... i, A, /, les 7ii racines de l'équation X=0 : en divisant successivement X par chacun des m — 1 facteurs x— a, .r— 6,.... X — /:, l'on aura différentes équations, dont la dernière sera du l^"^ degré et aura / pour racine. Arrêtons un moment l'attention sur cette suite d équations. X étant un polynôme de la forme

pour faciliter la division de X par x — a^ ou s'y prendra comme dans la remarque du n^' 380 , et l'on aura un quotient

X, = x^- ' + P, a:"»-=» + Q,^'"-^ ^ R^ ^^«-4 . . . . ^ dans lequel P, , Q, , R, , . . . sont composés comme il suit :

P.=«+P, Q,= a'+Pa+Q,

R, = a3+Pa'4.Qa+R, etc.

LIÇ0N8 D^AHOiURk. 497

Semblabl^ment , en divisant X. par x-^-b , on tronvera nn quotient dans lequel on a

R,= y+ P,6>+ Q,6+R, , etc.

En continuant de cette manière on arrivera à nne division où X — i sera pris pour diviseur, et où le quotient sera du S' degré ; puis enfin à une division où ce sera x — k qu'on prendra pour diviseur, et où le quotient ne sera plus que du 1'' degré. II est bon de remarquer ici que les divisions successives par x — a^ X — b , etc. ne peuvent amener aucun dénominateur dans les différents quotients , et que dans tous ces quotients le cœflGicient du premier terme est l'unité.

Remplaçons x par a dans X, par b dans le !<"' quotient , pat c dans le 2%... et enfin par A:, /, dans les deux derniers : on aura ainsi des polynômes que je désignerai par

Le 1l^^ sera ordonné par rapport à ^z , et ses coefficients ne seront autres que P, Q, R,.... Le 2* sera ordonné par rapport à 6, et ses coefficients seront composés avec ^z et P, Q, R,.... ; le 3*^ sera ordonné par rapport à c, et ses coefficients seront composés avec a^ bj et P, Q, R,.... Ainsi de suite, de telle sorte que le polynôme K, ordonné par rapport à A:, renferme dans ses coefficients les m — 2 quantités a, b^ c,.... £, tandis que le polynomeL, ordonné par rapport à /, renferme les /»— 1 quantités é^, 6, c,... i, k.

Maintenant reprenons la fonction symétrique 2, telle qu'elle doit être composée avec les m racines ûj, ^, c ,.... i, ^, /. Si on n'y fait d'abord attention qu'à la seule racine /, on l'éliminera en y substituant , au lieu de cette racine , sa valeur tirée de l'équation L = 0. On peut encore, ce qui est la même chose (524) , ordonner 2 par rapport à /, diviser 2 par L, et alors le reste sera égal à 2.

Cette valeur de 2 , où n'entre plus /, est encore fonction symétrique rationnelle et entière des m — 1 racines a^ b^Cy... i, k. On IK>urra en éliminer k , en l'ordonnant par rapport & A , et en la dlvl-

sant ensuite par K ; le reste, qui doit <>tro iodèpcnilanl de A, wn encore égal it ï.

Eu coatiuuant aitisî , ou éliminera successivement de : tontes les autres racines. Quand :£ oe renfermera plus que a, ou l'ordonnera par rapport à a , puis on diviscta s par A. Le reste devra être indépendant de a, et il sera U valeur de ï qu'il s'agissait de découvrir.

526. Le premier terme des polynômes employés comme diviseurs dans CCS élimina dons successives , ayant toujours l'unité pour coefficient, U s'ensuit que les différenla restes ne renferment point d'autri-s dûoumiuateurs que ceux qui se trouvent dans les coeflicients de l'équatiou proposée : de sorte que si ces coefficients wql d(9 nombres entiers, la valeur de £ sera aussi un nombre entier f*).

Cette conséquence , comme on voit , découle immédiatement du procédé de M. Ciccav.

527. Les fonctions symétriques se présentent d'eUes-mëmes duis la transformation des équations , toutes les fois que les racines de la transformée doivent^lre des fonctions ralionnelies des racines de l'équation donnée.

(') A l'aide <1( eotiert, M. CtD< pins petite difiei

ConsidéroDs d'atiord désignons pat V la foin

euiarqae , qaand l'éqaalîon n'a que des ooefficienb irmiDe ïtnniêdiatement une quantité moindre quel)

ts gëDÉral. QneU que soient les coef&cUntE, syniétrïqae égale ait ptodait des cariés des différences des racines, pat « le module de V, et par u, u!, u",... lus modales de ces diflerenceii : d'après les proptictéi connues des modales Q-.S) on liait

On sût (4^9) trouver une limite Eupérieure des modules des racîaes. nommant m cette limite : chacun des modules u, u', u".... sera ^a». Pour abréger, posons ta<.m — ij^an : le nombre dcu qaantitéi u', u" sera représenté par n — 1; donc on a u'u"..- <(aû-)" — ', et par s ni te Ki» <n(i»)"~^

Si l'équation proposée n'a que des coel'flcieuts entiers,, v est an moïni cjal à 1 . En même temps on penl supposer qoe h représente l'une quelconque des dillércuces entre deux racines réelles : et alors l'inégalité ci-desiui fera connaître sar-le-cbamp une quantité moindre que 11 plus petite de ces diSérentes, car elle di

LEÇONS d'aloèbri. 499

Soient ^, 69 c,.... les racines de réqnation donnée : pour fixer les idées, je suppose qa'il n'entre que deux de ses racines dans la composition de chaque racine de la transformée, et je représente par F{a^ b) la fonction rationnelle qui exprime la loi de cette composition. Imaginons qu'après avoir fait tous les arrangements deux à deux de ût, ^, c,.... on mette successivement dans F(ût,^),aulieu de a et 6, les deux racines de chaque arrangement ; il est clair qu'on aurait ainsi toutes les racines de la transformée , savoir :

F(^,6), F(û5,c),.... F(6,a), F(V)v- etc. Par conséquent cette équation, décomposée en facteurs, serait

[z-F(fl,ô)][2— F(a,c)].... =0.

Ce produit ne varie pas en faisant entre a , 6, c , . . . tel échange qu'on Toudra, car alors les facteurs ne font que se placer dans un autre ordre; on est donc sûr qu'après la multiplication , les coefficients des différentes puissances de z seront des fonctions symétriques et rationnelles de a f ^, c , . . . . Ainsi , en se servant des procédés expliqaés dans ce chapitre , on pourra exprimer ces coefficients au moyen de ceux de la proposée.

528. Mais il existe une autre manière , souvent préférable , d'employer les fonctions symétriques. Elle est fondée sur cette ob* servation très-simple que les relations [2] et [3] du n"" 521 , entre les coefficients d'une équation et les sommes des puissances semblables des racines, peuvent servir à découvrir les coefficients de l'équation quand ils sont inconnus, pourvu qu'on connaisse ces sonmies jusqu'à celle des puissances dont l'ordre est égal au nombre des coefficients inconnus , c'est-à-dire au degré de l'équation.

En conséquence, pour arriver à la transformée, on détermine d'abord à quel degré elle doit s'élever ; ensuite on cherche les sommes des puissances premières, secondes, etc. de ses racines jusqu'aux puissances dont l'ordre est égal au degré de cette transformée; puis, à l'aide de ces sommes, on calcule les coefficients inconnus. Et quant à ces différentes sommes, il est clair qu'elles sont des fonctions symétriques des racines de la proposée , et qu'elles peuvent s'exprimer par les coefficients de cette équation.

529. Comme exemple , je reprendrai ici la question de l'équation aux carrés des différences, déjà traitée n"" 427. Les fonctions vpùb^

Iriques on dooncnt la solution la plus simple et la plus él^ail dont elle Boil susceptible. La question est c«ilo-d :

Trouver Vèquation dont les rdcines sonC les carrés des différences de celles d'une équation donnée

i&] :r" + Pj:"— +Qj.-"-»....=0,

Représentons l'équatioa cherchée par

\B\ r"+7j=-— + î!?--'+rz''-3.,.. + /=+u = 0.

Los m racines de [Â] étant a, b, c,..., celles de [B] seront {,a—b)\ {a—cf, (a— rf)*,.... (*— c)', {b—d)',.... (c— rf"),.... etc.

Le nombre de ees carrés est éTidenunent celui des combinaisons deux à deux qu'on peut faire avec les m quantités a, b, c, etc. ; donc le degré de l'équation cherchée sera n^'.m[m — 1).

Les coefficients/», y, r,... seront faciles à trouver quand on connaîtra les sommes des puissances semblables et entières des racines de l'équatioD [B] , depuis la somme des premières puissances jusqu'à celles des puissances n""". Désignons donc par jt,/., /,, etc. ces nouvelles sommes , el cherchons la valeur générale de ;£?, a étant un nombre quelconque , entier et positif. .

Les racines de celte équation sont les carrés (a — b)', etc. , rapportés plus haut ; donc en les élevant à la puissance « , on a /„ = (fl t)>-4.(a(r)'«+(<i— rf)"«....+(6— 1)'--+ etc. Ponr trouver cette somme, considérons l'expression

>f(x) = (j— fl)>»+[x~fc)'«+(a7— c)»M- etc., qui comprend les m binômes x — a, x — i, x — c, etc. Si on y fait SDCcessivcment x—a, b,c, etc., et qu'on ajoute les m résultats, il vient évidemment

2/"«=<p[a)47{i)+ï(c)4-etc.

Si on développe les puissances qui composent <f (x), on trouve

l j:"— 2aaj:"'-' + — — a^x*^-\... + a"

LEÇOHS d'ALGÈBAX. 501

OU plus simplement , en se servant de la notation S, , S, , etc.,

2ar2a — 1) ç(a:) = mx^^— 2«S, j:«*-« + — V^r— S.o:»*- «.... + Sa* ;

donc, en substituant successivement ^ , b^c^,., au lieu de jt , et ajoutant les résultats , il viendra

2/ût=//lSacfr — 2aSiSa*— 1 + — -—-— - S>Saat-a.... 4*wSâ*.

Dans le second membre, il est aisé de reconnaître que les termes à égale distance des extrêmes sont égaux ; par conséquent, en s'arrétant au terme du milieu, et ne prenant que la moitié de ce terme, on aura la valeur générale de /« , savoir :

..«.JX— z t: ;;; ^*^*«

2 1.2.3 .... et

Gomme les signes sont alternativement + et — , il n'y aura jamais d'incertitude sur le dernier.

Voici maintenant les opérations qui sont à effectuer.

l"" On calculera les sommes S,, S,, S3,... jusqu'à Sa« par les relations connues

S,+P=0, S,+PS.+2Q=0, etc

2° Dans la formule qui exprime fa, , on fera successivement a=l , 2, 3,... jusqu'à /i , et on aura ainsi , pour déterminer les n sommes /,,/,,.../„,

/,=7nS.— S.S., /,=7nS,-^4S.S3+3SÂ,etc.

3<^ Enfin les relations entre ces n sommes et les n coefficients /?, 9, r,... donneront les valeurs de ces coefficients, savoir :

P^-fn q=-l(L+/.), r=-l(f,+pf,+ qf,), etC. ' / /

On ne voit point , par ces valeurs mêmes, si les fractions ;, ;,... disparaîtront à la fin, mais la remarque du n"" 526 prouve qu'il en doit être ainsi : de sorte que, si l'équation proposée n'a que des coefficients entiers , l'équation aux carrés des différences n'aura aussi que des coefficients entiers.

302 i^ons d'algëbhs.

530. Une marche (ont à fait analogue à celle qu'on a spivie p troDver l'équation ans carrés des diSérences peut encore être ei ployée dans un grand nombre de cas , et Dotaniment dans ceu\ 0 les racines de la transFormée devraient être des puissances s blablcs et entières de la dilTérence, delà somme, du produit ou dl quotient de deux racines quelconques de Téqualion donnée.

Par exemple, supposons que chaque nouvelle racine soit la puis- ] sancc A de la somme a-i-b de deux racines de l'èqualion [A], t posant n^jin^m — t), la transformée devra être de la forme.

et 5i on fait

..+tz+u

■f (<i4-c)K.. + (fi+c)'»+ etc.,

le calcul se réduira à cxprimer/it pariiue formule générale. A cet j effet, on prendra )a fonction

î(x)=r (j:+a)*=' + (x+i]*='+ (JT+C)*» + etc. ,

MùDt le développement est

" ,(.r) = mj^- + i>S,:r*--< + ^'^^^'"'^ S,j^*— .... +Si«.

Or, si avant le développement on substitue dans if (x) successivement a, h, c... au lieu de .z , la somme des résultats sera égale à 2/a,-l-2'''S*«; par suite il est aisé d'apercevoir qu'en faisant k> mêmes opérations sur le développement, on aura

et enfin de là on tire la formule chercbée

/.= (m— 2**— )S*«+AaS,S*.-, + -

Lorsque inséra pair, on s'arrêtera au terme qui contient S avec deux indices égaux , et en n'en pt^ndra que la moitié ; mais lorsque kz sera impair, on s'arrêtera au terme dans lequel les deux indices sont ;(Âa— 1] et 7(^3+1), et ou le prendra tout entier.

531. Les fonctions symétriques fournissent encore un procédé d'élimination qui a l'avantage de faire connaître le degré de l'équation finale. Soient les deux équations

[1] .r"+Pj:''~'+Qx"'-' + Rjr"— '... = 0,

[2] ;c»-hP'j«-'+Q'jr'-»-f-R'^"-i..=0,

LEÇONS d'aLGAiHB. $03

dans lesquelles P, Q, . . . P', Q^, . . . son t des fonctions do j^. Si on pouvait résoudre la première par rapport à j: , on en déduirait m valeurs a, i, c,... qui seraient fonctions de ^, et en les substituant dans la seconde , il viendrait pour déterminer les valeurs de j^, m équations délivrées de jc, savoir :

l J V + Fc"-' + Q'c?«-> 4* R'c— «....= 0,

Mais , en général, la résolution de l'équation [1] est impossible, et la question est de trouver une équation finale qui renferme indistinctement toutes les valeurs de^.

On aura une équation qui remplira cette condition en multipliant entre elles les m équations [3] : car la résultante sera satisfaite par chaque valeur de y tirée de Tune d'elles , et elle ne peut pas l'être autrement. Or, les facteurs de cette résultante ne font que changer de place, quelque permutation qu'on opère entre les quantités a^b^c^ etc.; le produit ne renfermera donc que des fonctions symétriques , entières et rationnelles de ces quantités ; donc on pourra les exprimer au moyen des coefficients de l'équation [1] , et de cette manière on aura l'équation finale en y. Ce procédé d'élimination conduit en général à des calculs très-prolixes ; mais il fait trouver l'équation finale avec toutes les racines qu'elle doit renfermer, et sans complication de racines étrangères.

532. Ce procédé a surtout l'avantage de conduire à un théorème général sur le degré de l'équation finale. Dans ce qui vient d'être dit , la 1^ équation est du degré w , la 2« est du degré w ,- et P, Q, etc. , F, Q', etc. sont des fonctions quelconques Aey .• mais, pour le théorème dont il s'agit , ces fonctions doivent être, comme au n*' 408 , des polynômes tels que la somme des exposants de jt et de ^ soit au plus égale à m dans chaque terme de l'équation [1] , et au plus à n dans chaque terme de l'équation [2]. Alors nous avons à examiner à quel degré j^ peut s'élever dans les fonctions symétriques qui composent le produit des équations [3].

Chaque terme de ce produit est lui - même le produit de m termes pris respectivement dans ces m équations , de sorte qu'en désignant ces termes par Ya«, Y'i^, Y"c>,.... le terme du prodipit sera YY'Y".....x«*fr^c>'.... Mais le produit des m çqua^oni^ étoRt

S04> LBÇONS b'ALGiBRE.

symétrique par rapport aux quantités ^e, 6 , c ,.... on doit y tronrer tous les termes de même forme qu'on peut faire avec ces quantités ; par conséquent on est sûr qu'il renferme tous les termes représentés par

[4] YYT'...,xS(a*t^c'V.,..).

n s'a^t maintenant d'évaluer le degré de cette expression.

D'après les suppositions , le degré de y est au plus égal à n— a dans Y, à ;*— (3 dans Y', à /i— 7 dans Y", etc.; donc, dans YY'Y"..., a sera au plus égal à mn — a — p — 7.... D'un autre côté , si on se reporte (520) aux relations d'où se tirent les sommes S, , S3 , S3 , etc. , on voit que P étant au plus du 1«' degré en y^ Q du 2«, R du 3', etc., le degré de j^ dans ces sommes ne doit point surpasser l'indice de S ; et semblablement, si on se reporte (522] aux formules qui expriment les fonctions doubles , triples , etc. , on reconnaît encore que dans S{a^bhy, . . .) le degré de y ne doit point surpasser a+p+7. . . . Donc, dans l'expression [4] , le degré de y sera au plus égal à mn. La même chose peut se dire de toutes les fonctions symétriques dont la somme compose le produit des m équations [3] ; donc, enfin, l'équation finale ne peut point être d/iin degré supérieur à mn.

La démonstration semble exiger que Tcquation [1] renferme le terme :?:'«. Mais ou peut supposer qu'il y ait d'abord devant x"' un coeflRcient A, indépendant de ^, et qu'on ait divisé toute l'équation par A. Alors , l'équation finale en^ devant subsister quel que soit A, on pourra y faire A=0, et il est clair que cette supposition ne saurait en élever le degré. Du reste, il faut entendre le théorème en ce sens, que l'élimination entre deux équations générales , Tune du degré m et l'autre du degré n , doit donner une équation finale du degré //m; mais que, dans des cas particuliers, ce degré peut devenir moindre.

Les deux équations x— ^"=0, x''-\-ay''-\^by>\-c=^0 ^ quoique très - simples , donneront véritablement une équation finale du degré /un ; car, en substituant dans la seconde la valeur de x , tirée de la première, il vient j>""+<^r?" + ^j^+c=0.

Au contraire, en éliminant .r entre les équations .r" — ;>''"=0, ^" + ^j'"H-^^ -f-t = 0, on aurait une équation finale de degré moindre que itm , savoir : y""- + ay"" *\*hy-\- r=0.

533. En étendant le théorème à un nombre quelconque d'équations, ou aura le théorème général dû à Biizoui, et dont on a déjà

JLBÇONS d'al iBRI. 505

rapporté renonce n^ 424 , savoir : que si , entre des équations en nombre pareil à celui des inconnues , on élimine toutes les inconnues hors une , le degré de V équation finale devra être tout au plus égal au produit des degrés de ces équations.

Ayant Bezout, le théorème était connu pour le cas de deux équations ; et Cramer , dans un appendice de son Introduction à Vana-lyse des lignes courbes , en avait donné une démonstration fort simple qui , au fond , ne diffère point de celle que nous avons exposée. Il était à désirer que la même démonstration fût appliquée à tous les autres cas : c'est ce qu'a fait M. Poisson dans un mémoire qui est imprimé parmi ceux du onzième cahier du Journal de V Ecole Polytechnique , et que M. Lacroix a aussi inséré dans le complément de ses éléments d'algèbre.