RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU 3** ET DU 4" DEGRÉ

Résolution de l'équation du 3« degré.

534. Je supposerai qu'on ait fait disparaître le second terme de l'équation du 3« degré , et , pour éviter les fractions , j'écrirai cette équation sous la forme

[1] x'+Sp^-l-âj—O.

Parmi les différentes manières de la résoudre , la plus simple consiste à former à priori une équation du V degré sans second terme, laquelle admette une racine connue, mais exprimée avec des indéterminées, et à se servir ensuite de ces indéterminées pour rendre cette équation identique avec la proposée [1]. Pour établir cette identité il faudra poser deux égalités, et par ce motif on emploiera deux indéternunées.

Soit fait .r = a+ô : en élevant au cube, on aura j:^ =^^+6^ +3fl6(a-|-6) j puis , remplaçant a-\-b par x et transposant, il vient

oqnatùta qui adinol la racine x=:a-^b, et qu'il faul rendre idenli avec [1]. En uiasùquaitfi on posera

La preroiôro de ces écaillés donne «^6*=—^'. Ainsi, on I itSAtnino a'4-6) et le produit a^^^ Donc les valeurs de a' et ^' «onf Inclues d'une équation du 2° degré, dans laquelle le coefficient d» cond terme est égal à +3-7 , cl le dernier terme égal à ~-p'' -, do )rte qae celle équation aern , en opptJant s l'inconnue,

9K*esl«lle qu'on nomme la rêduiie de l'équation [1]. Ses deux racines représentent les valeursde a' et 6^ ; cl d'ailleurs a peut inditTércmment prendre l'une un l'autre pour la valeur 0 a^, car cela revient à changer a en ^ et i en a dans la valt Kf =iM-A. Je prendrai

^ par suite il viendra

Chaque radical carré n'a ici qu'une seule valeur, mais chacun des radicaux cubiques en n trois. Si on pouvait satisfaire aux équations [3] sans fairt; aucun choix entre ces valeurs, on pourrai! aussi, pur les mi'mns valeurs, rendre l'équaliun [t] identique à l'équation [2] ; et puisque a+A est racine de la seconde , on devrait Mtisfaire à la première en prenant

leur

[*] x = \^—q + Vq'+p^ + ]/—q—yq'+pK

Mais uue remarque importante se présent* d'elle-inéme : c'est que chaque radical cuhique ayant trois valeurs, il s'ensuit que l'expression ci-dessus en a neuf, taudis que l'équation [1] ne doit avoir que trois racines. Il faut donc expliquer d'oii vient cette multiplicité de valeurs , et discerner parmi elles celles qui sont véritablement racines de l'équation [1],

A cet effet observons , qu'à proprement parler/^ ne sont pas les équations [3] qui ont été résolues pour avoir atAb, mais bien les «tqua lions • [5] a'b^=~p^, a'+b^ = — 2q.

LiçoNft d'algèbre. 507

Or, si on représente par « et a* les deax racines cubiques imaginaires de l'unité , lesquelles, comme on sait, sont le carré Tune de l'autre (518), il est clair que Téquation «^i'=—/7' peut provenir également de l'élévation au cube de chacune de celles-ci

ûft= — /?, ab=. — ap, ab= — ap.

De là il suit que les neuf valeurs renfermées dans la formule [4] doivent donner les racines des trois équations

[6] j:^4-3px-|-25r=0, x^-\^^oipx-{-2q=0^ x^+3a'j5x+2^=0.

On peut encore considérer ces neuf valeurs comme les racines de l'équation du 9« degré qu'on obtiendrait en multipliant entre elles les trois équations ci-dessus. Mai&il sera plus simple , et cela revient au même , d'élever au cube l'une quelconque de ces équations , après avoir transposé dans le second membre le terme qui contient p. De cette manière on trouvera sur-le-champ

Quant aux racines qui se rapportent spécialement à chacune des trois équations , ce qui précède donne le moyen de les distinguer : car, selon que le coefficient de x sera 3/? ou 3a/? ou 3a^, il est clair qu'on ne devra ajouter que les valeurs de <2 et ^ pour lesquelles on a ab=^ — p ou ab=: — op ou aZ»= — a/?.

Par celte règle, il sera facile de former les racines de la proposée j:'+3pj:+2^ = 0 , la seule dont nous ayons à nous occuper. Désignons par A une des valeurs du premier radical cubique , et par B une des valeurs du second , les valeurs de a et ^ seront

fl=A, «A, a'A; 6=B, «B, aB.

De plus supposons , ce qui est permis , que A et B représentent des valeurs dont le produit soit —p. D'après ce qui vient d'être dit , on ne devra ajouter que les valeurs , dont le produit est AB ; donc, en 86 rappelant que a^=i , il faudra prendre

a:=A+B, X=aA+a'B, j:=a'A+aB;

et d'ailleurs on sait (516) qu'on a

UÇONS B ALOftlRB.

Si on remptace A et B par Ips deux radicaas cnbiqoes, cla,«' par leurs valeurs, il viendra

Telles sont les racines de l'éqnatioa proposée : mais il faut avoir soin d'attacher aux deux radicaax cubiques le même sens restreint qa'ii A et à B, sans quoi l'on pourrait trouver de fausses racines.

b35. Pour discuter ces valeurs il sera plus commode d'y laissa subsister A et B au lieu des radicaux cubiques, et d'isoler ce qui multiplie (^ — 3. De cette manière , on a = A + B,

Je supposerai aussi , comme on le fait ordinairement , qnc les coefficients 3p et 2q représentent des quantités réelles. Alors, celte équation étant de degré impair, a toujours une racine réelle , et il est permis de supposer que A et B sont les valeurs de d et * qui donnent cette racine; do sorte qne A + B sera une quantité rédle. Cela posé , reportons-nous aux deux radicaux

■q+Wq'+p', li-.

Si i7'+/j^>0, chacun d'eux a une valeur réelle ; donc on peut supposer A et B réels. Par suite A+B et A— B le se^nt aussi ; d(MK la première racine jr = A+B est réelle, et les deux autres sont imaginaires.

Si q'-i'p''i=0, on aura A=B, et alors les trois racines sont :r = 2A, jr = — A, jr = — A. Elles sont toutes trois réelles, et les deux dernières sont égales entre clUs.

Enfin soit q'+p^^fi , ce ([ui exige que p soit négatif. Alors a cl i'

LEÇONS d'aloSbrc. 509

n'ont plas de détermination réelle, et par suite les trois valeurs de x se trouvent compliquées d'imaginaires. Cependant on sait que l'une d'elles doit être réelle; et même il est évident que les cas où les trois racines de Tcquation [1] sont réelles et inégales ne peuvent se trouver que dans rh}'potlièse actuelle q*'\'p^<CP. Ou aurait donc tort d'aflirmcr que les valeurs de x sont imaginaires. Je vais prouver en effet qu'aucune d'elles ne l'est ; et comme on peut toujours supposer que A et B sont des déterminations telles que la somme Â+B représente la racine réelle dont l'existence est démontrée, tout se réduit à faire voir que la partie KA.— B)k^^, qui se trouve dans les deux autres valeurs de x^ doit être réelle. Par les seules règles du calcul on a (A— B) (A'-f AB+B')=A'— B*;

donc

A*+ AB + B" (A+ii)'— AB'

Mais, à cause des valeurs de a^ et de 6^, on a A^ — B3= ^l^q'^p^; et, par la manière dont A et B ont été choisis, ;on a AB = — /?; donc , en faisant A4-B = j:', il vient

et par conséquent

A-B 1/-- k-3(/yV)

Or, par hypothèse , on a ^*+/?'-<0 ; donc la quantité ci-dessus est réelle ; donc les trois valeurs de x le sont aussi.

Il est démontré par là que, dans l'hypothèse /?'+^'<0, les imaginaires qui affectent les trois valeurs de x doivent se détruire; par conséquent il semble que le calcul doive fournir les moyens de les faire disparaître. Cependant il n'en est point ainsi ; et , à moins de recourir à des séries non terminées , l'algèbre ne peut point opérer cette réduction. C'est cette raison qui a fait donner le nom de cas irréductible à celui que nous examinons. Toutes les fois que l'équation tombera dans ce cas, les expressions générales des racines ne seront d'aucune utilité pour calculer les valeurs numériques de ces racines, et alors on pourra recourir aux procédés du chapitre XYHI. Qn trouvera aussi dans la trigonométrie une solu-

IMieM D'tLOftUB.

tion Ibrt simple de l'équatiu» du S' df'grê , non seulement pour 1b cas irrMuctible , mats onrori' pour tous les autres.

536. Au reste, quand on connall udg racine réelle Jt-", ileslfocile d'avuir le» rteui. autres racines. On le voit dalwrd par la valeur de A — D, trouvée ci-tlcsHUSi car au moyen de celte valeur on a évidemBicnt

jc = y. j:= — - + ,,' ' , J.-^ ~— ^.

Maison le voit aussi en divisant l'ùquation proposée par x— jt'. Pour le faire plus commodément, on observe qu'on doit avoir ^•''+^j:'+'iq = Oi par suite l'équation proposée peat s'écrire | ainsi x^ — a:'^+^{x — j:') = 0. Alors en divisant par x — x", il vient

et de cette dernière équation l'on tire

^VCOI

Voici maintenant comment on reconnaît que ces valeurs s irdent avec les précédentes. Remarquons d'abord que

K— 3(ix"+p) =

-3i;x"+p]{x''+pr -'■+p

D'un autro cOté, la relation j:'^+3px'+2q — 0 donne q'-

{lx'"+lpx')'=:lx'^+lp2:''+lp'j:"i donc enfin

537. Après avoir fait disparaître le second terme , l'équalioii générale du 4° degré est

[1] x'+px'+qx+r=Q.

Posons x=fl+i+c ; en élevant au carré, il vient x'= a'+ b^+c' +2{ab+ac-^bc) , ou, en transposant ,

^■■— («■+*'+ c") = -Haù+ac + bc).

LEÇONS d'aLGÉBRB. 511

Elevant de nouveau au carré, on trouve j?*— 2(a"+&'+c')x'+ (a'H- ft'+ 0*= 4(a'^'-f a'c^H- ft V) ^Habc (a + 6 + c) ; puis , remplaçant a-\-b'{'C par x et transposant, on obtient

Cette équation est sans second terme , et , par la manière même dont on Fa formée, on sait qu'elle admet pour racine j: = a4-^+c. Ainsi, on résoudra Téquation [i] en déterminant a, b^c, par la condition qu'elle soit identique avec la précédente, ce qui donne

— 8abc = qy {a*+b'+cy—^a'b^'hà'c*^bY) = /-.

Ces égalités font voir qu'en prenant rt% ^% c\ pour inconnues, ces trois quantités sont les racines d'une équation du S"" degré dont les coefficients sont

64' par conséquent cette équation est

et telle est la réduite d'où dépend la résolution de l'équation [1].

Supposons qu'on ait déterminé les trois valeurs de ^3, et désignons-les par z', s", z^j on aura

Si on combine les signes de toutes les manières , on a huit valeurs pour a+b+c ou x. Mais comme le dernier terme de la réduite [2] a été formé en élevant au carré l'équation abc= — Iq , il en résulte que ces valeurs renferment et les racines de la proposée , et aussi ceUes de l'équation qui en différerait par le signe de q.

En même temps on voit que pour avoir seulement les racines de la proposée , il faut n'ajouter ^eles valeurs de a, 6, c, pour lesqoéUea on fi âbc^-i^i^^fjlit^^ de

SIS ' LEÇONS d'aL^ÂUB.

signe contraire à q. Daos ctiaqac cas particulier, il sera facile détcnniner pour les radicaux trois valeurs A, B, C, qui rcmpl sent celte condition, et ensuite avec fxs valeurs on formera bnt quatre racines de la proposée, savoir :

Le plus souvent, au lieu de A, B, C, on met les trois rai +K=', H-Ks", — P^, et les valeurs de x s'écrivent ainsi

^Vmais alors il faut sons-ontcndre qu'en appUquant^ces formules à ^ft^s cas particuliers, oa prendra pour i^z', 1/=", V^', trois ^Kiléterminations dont le produit soit de m(^mo si^e que q. Celte ^B^servation est importante : car, faute d'y avoir égard , on pourrait ^^ trouver de fausses racines,

538. La nature des racines de la réduite fera connaître la nature des racines de la proposée. Or la réduite , ayant son dernier terme négatif, a toujours une racine positive, et le produit des deux » autres racines doit Atre posilifj donc, si ces dernières ne sont pas imaginaires, elles seront tontes deux positives ou toutes deux natives. Je laisse dec6téles cas où l'on aurait 2 — 0, parce qu'alors la proposée se résout directement par le second degré. En conséquence, trois cas seulement sont à examiner.

1° Cas ok les trois racines de la réduite sont positives. Alors les quatre valeurs de x sont évidemment réelles, et si l'on regarde les radicaux l^z', l^, k^, comme représentant des déterminations positives, lear produit sera positif} donc les formules précé^ dentés seront spécialement applicables à l'hypothèse de y>0. Pour î<0, il faudrait changer le signe de l'un des radicaux.

2" Cas' oit la réduite aune racine positiiie z' et deux racines négaïicess", s"'. Le radical kV sera réel, mais les radicaux l^z"e(Ks^ seront imaginaires; par sbite les quatre valeurs de x seront ioiaginaires aussi , à moins qu'on n'ait ï"= a'". Quand z"^= a'", l'une des deux quantités V^-i- V^" et Kâ"~ VW' deviaidra zéro.

LEÇONS D'àLGÉfiiifi. 5!^

et CD supposant que ce soil la dernière, les valeurs de x seront simplement

Les deux premières sont réelles puisque z' est positif, et les deux autres sont imaginaires puisque z" est négatif. D'ailleurs, comme dans la réduction on a supposé Ks''=k^, on doit avoir ici y^'l^z"\^^'=z"\/Z'; de sorte que ce produit ne pourra avoir le signe de q qu'en choisissant pour \^z' un signe contraire à r/.

3° Cas oh la réduite a une racine positive •£ et deux racines imaginaires s", s'". La racine positive z' étant connue, on pourra diviser la réduite par z^z\ et Ton aura une équation du 2* degré qui donnera , pour z' et ::"', des valeurs imaginaires de la forme

Deux des valeurs de x renfermeront donc l'expression et les deux autres renfermeront celle-ci

Mais par des formules connues (259) , on a

et il faut , ainsi qu'on l'a remarqué au n'cité , associer les déterminations des deux radicaux [/{f+gV--^) ^^V(f—gV—^) ^^ telle «orte que leur produit ait même signe que [/(f*+g'). Supposons donc qu'on prenne {/if+g^) positivement, on devra choisir pour \/:d une détermination de même signe que^. Avec cette attention les quatre valeurs de x pourront s'écrire comme il suit : .^^

tieax de ces valeurs sont réelles, cl les deux autres sont imaginaires.

514 tIÇONS D'ALGtoU.

^ur les eiprtMÎon» irrationnelles analogues à celles qu'on trouve daaa la résolution

des équations du 3« degrr.

539. L'une de ces expressions est celle-ci k A±kl8 : or, il arrive fréquemment que A et B sont des nombres rationnels , et alors on peut se proposer de réduire ces radicanx à des expressi(HUi plus simples, dans lesquelles il n'y ait plus de radicaux superposés. Cette question a déjà été résolue pour les radicaux carrés, et il s'agit maintenant d'atteindre à des cas plus élevés.

Je commencerai parle radical cubique y A+I^B. On ne peut pas

supposer pour cette racine une quantité de la forme V^ + V^ : car on a

résultat qui contient les radicaux l^a et [/b. Mais le calcul qu'on vient de faire montre qu'on aurait un résultat de la forme A+ Kb

enélevant au cube a+ 1/6 et {a^ )/b)l^c. Je choisirai cette dernière expression, comme plus générale, et je poserai

[1] K A+klB = (a+k^)|/c.

En élevant au cube , il vient d'abord

A+I/B ==c(a^^3ab) + c{Za*+b)yb;

puis , en égalant les parties rationnelles entre elles , et les parties irrationnelles entre elles,

[2] A'=:c{a^ + 3ab), [3] yB=:c(Za'+b)yb.

La question est donc maintenant de trouver pour a , 6, c , des yaleurs rationnelles qui satisfassent à ces deux équations. Or, en élevant ces équations au carré et en les retranchant ensuite Tune de l'autre, on a A ~B = c'(a'— 3a' b + Za'b*— b^) = c\a'-^ b)^ ; donc

LIQ01I3 o'ALGiBAI. 515

Puisque aeib doivent être rationnels, il faudra prendre c de manière que (A*— B)c soit un cube entier ou fractionnaire, ce qui est toujours possible. Alors, en nommant M le second membre ci-dessus, on aura

a*—b=M, d'où 6 = a*— M;

et, en substituant cette valeur de b dans l'équation [2] , il viendra

[4] 4ca3— 3Mca— A=0.

Cette équation devra donner pour a au moins une valeur commensurable , sans quoi la transformation [1] sera impossible.

Si , au lieu de I^A+Kb, on avait J/a— Kb à réduire, il suffirait de changer partout, dans ce qui précède, le signe de l^b.

Pour exemple, soit l'expression K 14±:|/200. On aura A=14, B=200, A*--B =— 4; donc (A'— B)c = — 4c; donc on aura le cube — 8 en prenant c = 2. Par suite on a M= — 1, b=z a*+i^ et réqualion [4] devient 8a^ + 6a— 14=0. On y satisfait par la valeur commensurable a=l, ce qui donne ^=2. D'ailleurs on a déjà c = 2 ; donc enfin

Soit encore l'expression V— lldz2k^^. On fera passer 2 sous le radical carré, et Ton aura A=— 11, B=— 4, A" — B=125. Gomme 125 est déjà le cube de 5, il suffit de faire c = l. £n conséquence on a M=5, ^=a'— 5, et l'équation [4] devient 4^3—15^+11 = 0. Or elle est satisfaite par a = l ; donc ^=—4, et par suite

J/11 ±2|/I:î = (1 + |/-4)Kf .

540. Considérons l'expression plus générale k A ± J^B, et posons

[5] ]/A±yB^{a±\/b)yc.

La question est encore de déterminer des nombres rationnels pour a , &, c , si cela e^ possible.

3t(t Mçons b'*U)fmt.

En èlevaut k la piiissance « t'I i!g;3laiil siipariincnl les parties I raliouuelU's, il vieut

-W+etC.l,A

[7] l/B=,[««— +:iiii^^«-3i + etc.]Kfc.

On pourrait, comme pour le cas du raiikal cubique, élever cm, deux i^^ulilés au carré et les relraoclier l'uuo de l'aalrc, maïs ]f| rtdnclions s'aperçoivent mieux par le calcul suivant. Commo if doit avoir en nif^me (Gnips

A + vB^cfrt + l^ftj". &—i^ = rU~yb)",

un liri'dclii, d'abord,

rnsuile, par des ri-dnctions Tacil^s, on troiiTC A' — B; c\a + yi)'{i - k^)" = c^{« ■— 1>7 ; d'où

l'arlàuii voit qu'il rriiitdioisirc de telle sorte quelesprondmemljre ci-desstis sojl niliuiiuid. En le. iiummaul M, on aura

cl , eu sulisliliiacl ci Itc valeur de b dans [fi] , l'équalidn r<!sullant( en a devra avoir uni! racine coiumensnrable toutes les fois que 1» transformation [5] sera possible,

5il . lljins l;> rt'solulirjn des ('quations du n' dei;r(' , ce qui rend le (ils irmluclililsî si remarquable, c'est qu'alors, quoiqu'on soit assuré que les trois racines sont réelles, il est cependant impossible de fair;^ disparaître les imaginaires autrement que par la voie des séries. Cette dilTiculté n'est point propre uniquement au 3' de^é : <i!e sf ioneontrc également dans la formule générale

sur iaqiu'l!'.

= E^A+Bk^— 1 + y'k—hy'-'

i:i- marrôtcr un momenl.

LKÇONS d'ai.ckbre. 517

A considérer celte expression dans toute sa gtnêralilô , on devrait combiner les n déterminations de la premièn; riartie avec les n déterminations de la seconde ; de sorte qu'il y aurait en loiit //' valeurs pour a. 'Mais elle se prend rarement dans un sens aussi étendu, et je vais préciser celui qu'on y attache ordinairement.

(iOmme les deux radicaux qui ont l'indice n représentent des racines d équations binômes, leurs déterminations sont égales à des quantités de la forme /-j-^'^K—l. De plus, il est manifeste qu'à chaque détermination du premier radical, il en correspond une du second, laquelle n'est différente quo par le signe de K — 1 . Or, on suppose que ces valeurs correspondantes sont celles qui doivent s'ajouter dans la formule [8] ; et avec celte restriction les valeurs de a: sont toutes rétdles et au nombre de n seulement.

Le produit de ces deux valeurs radicales , ainsi prises dans un même couple, est réel et positif. Ur, pour le produit des deux radicaux , on 9 en général

et le radical qui exprime ce produit ne peut avoir qu'une seule valeur réelle et positive; donc, si on la représente par K', on pourra encore caractériser les valeurs conjuguées, qui doivent être ajoutées dans la formule [8], par la condition que leur produit soit égal à K'.

La formule [8] peut être regardée comme l'expression générale des racines d'une équation , dont le degré est marqué par le nombre des valeurs dont cette expression est^susceptible; par conséquent , suivant qu'elle sera prise dans sa plus grande extension ou avec la restriction dont on vient de parler, le degré de l'équation doit être n* OM n.

542. Cette dernière remarque nous conduit à expliquer comment on forme une équation lorsqu'on connaît l'expression de sa racine. C'est-à-dire qu'une expression donnée étant susceptible de prendre différentes valeurs , à raison du sens multiple des radicaux qu'elle contient, il faut trouver une équation débarrassée de radicaux, qui ait ces valeurs pour racines. Je prendrai pour exemple l'expression [8} elle-même.

Pour abréger, faisons

518 LIÇOm «'«LCtMB.

la question reviendra à éliminer^ et s eotre les trois équations

Mais id l'éliminaliOD peot *^trp dirigée d'après un procédé fort simple, analogue à celui qui a clé eroplnré pour les équations rédproques. Par les règles de la multiplication , on a

(.r'+ï") (r+îj^r" "^ '+="■*■ '+.)'2(^"'~'+='""' )■

Or, j + !=x et j-s =I^Ht; donc en faisant cncorek'«fr=c,il viendra /

Au moyeu de celte formule on esprimera , en fonction de a: et de éf^ successivement toutes les quantités y+z^,y''+z*, etc. Quand oS sera parvenu à j"'+=', on remplacera ^+3" par a+b, étalon on aura l'équation cherchée , laquelle sera de degré « en -r.

Celte équalicn contient c : or, on a c=^ \^ab=v^+^ ; dooc est en général susceptible de n valeurs différentes. En mettant dM l'éqnation chacune de ces ii valeurs à son tour, un aura " équalions, et par suîle«x«ou n' valeurs de jt. C'est eu effet ce qui doit être, d'après ce qui a élé dil h. la fui du numéro précédent. Si on voulait avoir une équation unique qui eût loul^'s ces valeurs pour racines, il resterait encore à éliminer c , entre l'équation de degré n en j^ el l'équalion j:''=«t.

Mais si dans la formule [8] on ne veut associer que les valenB radicales dont le produit est réel, alors ce sera uniquement cette valeur réelle qu'il faudra choisir pour c, clou n'aura plus qu'une seule équation de degré /( pour détermina- toutes les valeur* de x.

LiçoNS d'âlgéiu.^ 519