Par exemple, soit la série
[1] a-{'ax'\^ax*+ax^+cic.^
dans laquelle je supposerai , pour mieux fixer les idées, que x soit positif. Si on prend la somme S« des n premiers termes, on aura
-330 r.tçSKS b'Atoenitfi.
i;*>il-(...;i : plus n tsl grunil, jrhis laquauUlé- cslpclilCjcl
iiH'mc OH a rfcocDU i:;oij (ju un peut diokir n assez grand iKiur c|u'clI(^suiLaussi pcti(oqu'on\oiidra. Doaccn prenant un nomlirc de lemirs de plus en plus grand , la somme S„ apprui'bc couti-
nnellenieut de et pcat en difFêrcr aussi pcn qu'on voudra)
donc la série [1] est convergente et a pour somme celle limite.
Mais si l'on o. x>l , alors uu voit iminèdialemcnt, sur la série clle-mùme, que le^i termes peuvent crollre au delà de toute limile) donc les^iaincs qu'on formerait en prenant surccssivemcnt un terme , deux termes, trois termes, etc. peuvent croître aussi au delà de loule [imite i donc la série est divergente.
5(5. Il ne fiiut pas croire qu'une série soit tonjonrs convergente lorsque SIS termes vont en convergeant vers zéro. Par exemple, ui( . se tromperait si ou cou^âidcrait comme convergente la st'ric 111 11
I Pour rendre l'erreur évidente, remarquons d'abord que si ,'» p;irlk
d'un terme quelconque -, on ajoute cnire eux les " suivants, on
aura une somme >; . En effet , celte somme est
n + i "'"«+2"^«+3"'"*'2ri'
et puisque les termes vont en décroissant, elle est visiblement
"> — xn ou -.
Cela posé, groupons 1<^ termes de la série comme ci- dessous: 1 /1 t\ /l 1 1 1\ /l 1 1\
toutes les sommes entre parenthèses seront ^^ ; la série est donc composée d'une infinité de parties toutes >; ; par conséquent la somme de ses termes n'a pas de limite.
5*6. Les séries convergentes étant les seules qu'on doive employer dan.s l'analyse, il est important de reconnaître si nue série remplit la condition de convergeuce établie dans la déSnition ; cl, pour y iKuvenîr, il esijtc quelque; règles qu'où va expliquer.
Soil une série quelconque
[A] Uo+ u^'i'U^+ Mj+etc,
que l'on suppose convergente. Désignons d'une manière générale par Sa la somme des Ji premiers termes, de sorte qu'on ait
Sn = Wo + w,+ tt..... + a»,,
etc.
La définition de la couTcrgence exige qu'en choisissant n suffisamment grand, les sommes S„, Sq^-i, S„^a, etc. approchent autant qu'on voudra d'une certaine Umite S. Il suit de là que les différences entre ces sommes pourront être rendues aussi petites qu'on voudra , en choisissant n suffisamment grand. Or, les différences entre S» et chacune des sommes suivantes sont respectivement
On -4- I ~~" »^ii =: Un , On + a »ï^ ^ W/i "j" Un -4- 1 ,
S«-h3 S« =Un + Un^i 4- /«a -4- a, CtC. ;
donC, en ne taisant d'abord attention qu'à la différence S„+ . — S„ , on peut conclure qu'en prenant n suffisamment grand, tous les termes à partir de Un devront être aussi petits qu'on voudra.
Cette condition est simple et d'un usage facile , mais on a déjà remarqué qu'eUe ne suffit pas (545) ; et conmie ce qui vient d'être j. dit de la différence "Ssrsf-^Sâls'applique de la même manière aux 7^4/ différences S„4.a — S«,%-{-3 — Sn, etc. , on peut conclure, conmne conditions également nécessaires, que chacune des sommes
Un + Un+i, ttB + Mn + i+ttn + a, CtC.
considérée séparéùient , et quel que soit le nombre de ses termes , doit devenir aussi petite qu'on veut quand on prend pour n des nombres tfts-considérables. Avec ces nouvelles conditions, il est évident que la convergence est assurée : car alors, en choisissant ?i suffisamment grand, les somm^ S„, Sn+i , etc. seront aussi peu différentes entre elles qu'on voudra, et par conséquent il existe une limite dont elles approcheront aussi près qu'on voudra. 547. Pour éclaircir ce qui précède, reprenons la série
dont le terme général est ax''. Considérons d'abord ce terme isolé-
Ui (.SÇOHS D'iLQfiBSE.
ment, puisajonloDS-leausuivanl, puis aux deux suivants, et aine de suite : on aura ces dillércutes expressions,
Or, qnand x est «Cl, chacune d'elles peut devenir aussi petits qu'on veut en prenant pour n un nombre sutTisaroment grand; donc, quand x est <^1, les condiUons de convergence sont remplies par la série [I}.
Reprenons anssi la série Dumérîque
Si on considère comme terme général celui qui a le dénomioaleor »+l,ilest évident qu'en faisant n très-grand, il peut devenir ausà petit qn'on veut , ce qui est une condition nécessaire pour la couvecgeuce de la série. IMais il faut encore qu'en ajoutant à ce l^m$. général dq nombre quelconque de termes, la somme puisse devenfr aussi petite qu'on voudra : or, c'est ce qui n'a pas lieu , car on a vu
....+ est >-.
Il est en généra) assez difTicile de vérîGcr toutes les coaditions de convergence i c'est pourquoi je placerai ici quelques théorèmes qui embrassent des cas assez nombreux , dans lesquels la convergence est certaine.
