Thëorëmb I. Si dans une série

U = n„+u,+u, +u,, + u„ + ,+elc.,

tous les termes, à partir d'un certain rang, sont positifs; et si de tris-grandes valeurs de njont converger le rapport

Mn + l

fers une limite R : la série sera convergente lorsqu'on aura R<^i, et divergente lorsqu'on aura R|>1.

LBÇ0N8 d'aLGÈB&I. Sâ3

Si au delà d'un certain rang tous les termes étaient négatifs , le théorème s'appliquerait à la série — U.

Supposons d'abord R<1, et choisissons à volonté un nombre R' intermédiaire entre 1 et R. Puisque les très-grandes valeurs de n font converger r vers R, il s'ensuit qu'à partir d'un certain terme Un, qu'on prendra aussi éloigné qu'on voudra, les rapports

Un^l Un + a Un -I- 3

Un Un -H I Un -f- a

pourront différer aussi peu qu'on voudra de la limite R ; par conséquent alors ils seront <CR'. Donc on aura

u„+,<R'a„, u,+,<R'u,+ ,, u„4.3<R'u«-ha, etcî

et à plus forte raison

Uii+i<R'u«, u„+,<R'*ttn, u«+a<R'^u«, etc. :

ainsi , les termes u„ + , , Un + a , u„ + 3 , etc. sont respectivement plus petits que ceux de la progression géométrique R'u„-|-R''u„+etc. Or, cette progression est convergente puisque la raison R' est <1 (n'^SiT); donc, à plus forte raison, la série tt„-|., + tt„4-a + etc. sera convergente , et par conséquent la série U l'est aussi.

En second lieu, supposons R>1, et choisissons encore à volonté R' entre 1 cl R. On fera voir, comme précédemment , qu'on peut prendre le terme u„ assez éloigné pour que les termes M„4-,, u„ + a, etc., soient respectivement plus grands que leurs correspondants de la suite géométrique R'u„ + R'*u« + etc. Or, R' étant >1, on peut arriver dans cette suite à des termes aussi grands qu'on voudra ; donc , pour les très-grandes valeurs de n , les termes de la série U ne seront pas aussi peu différents de zéro qu'on voudra. Dès que cette condition vient à manquer, la convergence de la série est impossible.

Appliquons le théorème aux séries suivantes, dans lesquelles on suppose x positif :

U' =H 1 1 .... H h etc.,

•y»* -yt* >^4 .»<•' 'jr*'*

U"=a:+-+— + — + T-..-+ — + etc.,

1 \tÀ 1 . ^a.» t.... »

Data la séria II' ileu\ lormescuuséoUil's c|u(?)wri(|Ucssiint

Or, si uiifailcroUre'iiDdériniinentjla limitndc-est 11=0; do quel que H»t a: , la série U' est convcr^nte- Daiis Ift série II", deux (crmes consêcutil's quelconques ^uIlt

Or, il est facile de voir qu'où a

// + 1 V, n + ij

^LlD]

donc, si on fait croître n iodclinitncnt , la limite de f est R = j:; donc, suivant qu'on aura j:<1 ou x>l, lasérie II"sera couvergente ou divergente.

Eoûn , coDsidérons la série U'", dans laquelle m est on uombiç

mué. Le rapport r sera

et Von voit qu'à partir d'une valeur do >i sulTîsamm(?nt grande, fsera toujours positif; de sorte que tous les termes de la série U"', à partir d'un certain rang , seront de mûmc signe , connue l'exige l'énoncé du théorème. On voit aussi que la limite de est R=j;i donc, X étant positif, suivant qu'on aura x<l ou >1, la série U'" sera œnvergeote ou divergente.