A présent, considérons des monômes quelconques. Soit à

effectnar le {H^uit

Zeeb^oaafcd:^.

Les deux inononiies pei^vent être (§ctit$i ainsi , 3Xa*x6^X(?

et TXû'XcXrf*; et, par le prindpQ 4éj|à cité, Je produit est

égala

SXcfxb*XcX7X£fXcxd^.

En changeant Tordre des f^ucteors, il devient i

3x7xa'Xa^Xb^XcXcXd'. î

Or, au lieu de 3x7 on peut mettre 21 ; au lien des deux fact^rft successifs a* et a^, on peiat mettre leur produit, qui, d'après la r^ gle trouvée plus haut , est a^; au lieu des deux facteurs égaux ji c , on mettra leur produit c* -, et quapt 9ux facteurs b* et ^, on lep laissera au produit sans aucupe altération. Alors on aura

Wb'cX7a'cd':==: 2ia'bVd^.

On peut faire des raisonnements analogues sur tels monoma qu'on voudra ; donc , abstraction faite du signe , le produit M deux monômes s*obtîèndra en multipliant les coefficients entÊT eux y en donnant à chaque lettre commune aux deux monÊ^ mes un exposant igwi à la somme de ceux dont elle est affecté dans ces monômes^ et en primant les autres lettres sans changée leurs exposants.

En combinant cette règle avec celle des signes qui a été établi au n"" 25, on trouve sur-le^diamp

— 7a*bd'X iSa'b^c = — dl^Wcrf", — iab'çx — f tf-c= + {\aWc\

It

Multiplication des polynomat.

36. Si l'on a des polynômes tels que a^—alH*2 et 2^—^, et qa'on Teaille indiipiar leur produit, on devra employer des paren- Ihcses oa des crochets, et écrire

(«•— a6+2)(2a— 6), ou [a*— /ïfr4-2] [2^ï— *].

Quelquefois aussi, mais rarement, on emplo|e des barres comme cidessous : %

37. Pour effectuer de pareilles multiplications, je raisonnerai d'abord comme si les soustractions qui sont Indiquées dans les polynômes ne devaient jamais amener de quantités négatives; et je prouverai ensuite que la règle , à laquelle on arrive dans cette hypothèse, s'étend à tous les cas.

Supposons , en premier lieu , qu'un seul facteur soit complexe , comme dans l'expression

Si on avait simplement à multiplier a par m , le produit serait am. Quand c'est a-^ qu'on doit multiplier par m, il est évident qu'on aura le produit en prenant séparément m fois la quantité a^ m fois la quantité 6 , et en ajoutant les deux produits : or ces produits partiels sont exprimés par am et bm ; donc ia-\-b) x m = ani'^-bm. Mais quand c'est a-hb — c qui est le multiplicande, la quantité a+b étant diminuée de c, il s'eniiuit qu'en multipliant a^ par m , on doit avoir un produit trop grand de m fois c ; donc, de ce produit, qui est am+bm , il faut retrancher celui de c par /7s qui est c/71 ; donc enGn

{a + b — c)Xm=tfm4-6/?i— Cl».

En quelque nombre que soient les termes du polynôme, on voit que dans le produit chacun d'eux se trouvera multiplié par m , et (xmservera le signe qu'il avait dans le pdynome.

Supposons le multiplicande et le multiplicateur tous deux complexes. Par exemple, soit

Imaginons qu'on ait effectué les opérations indiquées dans le polynôme û+6— c, et qu'il ait pour valeur T. Le produit à effectuer deviendra Tx(wî— »+/?). Alors , l'un des facteurs étant monôme, on aura, par ce qui vient d'être dit,

siTm— T/î+Tp.

Puisque T représente la valeur du polynôme a+b — c, Tm est égal au produit de a-hb^c par m^ et, d'après ce qui pré^^e, cq produit e&iam*\'bm — cm.

De même Tn est égal au produit de tf+6— c par /i, lequel est an+bn — en.

Et pareillement , Tp est égal au produit de a+b—c par /» , ou à ap+bp — cp.

Or, de Tm on doit retrancher Tn , ensuite on doit ajouter Tp ; donc il faudra, à la suite des termes du premier produit, écrire tous ceux du second avec des signes contraires (32), et tous ceux du troisième avec leurs signes (31). En conséquence , on aura

(a+6— c) X {m — n+p) == -i^am+bm — cm i — an — bn+cn

+ap+bp — cp*

De là on tire cette règle : Pour effectuer la multiplication des polynômes j on multiplie successivement tous les termes du multi^ plicande par chaque terme du multiplicateur^ en ayant soin de conserver tous les signes du multiplicande quand le terme du multiplicateur a le signe ^^ et de les changer tous quand ce terme a le signe — .

Si, dans les deux polynômes, on regarde tous les termes, pris avec leurs signes , comme des monômes isolés , si alors on multiplie successivement les termes du multiplicande par chaque terme du multiplicateur, et si ensuite on ajoute tous les produits , il est évident qu'on aura le même résultat que par la règle précédente.

38. Maintenant il faut démontrer que cette règle convient àtous les cas ; mais auparavant je ferai deux remarques.

La première, c'est que de quelque manière qu'on intervertisse Tordre des termes dans deux polynômes, le résultat qu'on trouve en leur appliquant cette règle ne changera pas de valeur. En effet, d'après cette règle môme, il est évident qu'il contiendra toujours les mêmes termes : seulement ils y seront dans un ordre différent, ce qui n'altère en rien sa valeur.

La seconde remarque, c'est qu'en changeant tous les signes de Fnn des polynômes , les termes du résultat changeront de signes, et par suite la valeur représentée par ce résultat en changera également. A quoi j'ajouterai , ommie conséquence immédiate , que si on changeait aussi les signes de l'autre polynôme , les termes du résultat ne seraient point altérés : car, après le premier changement, ils devraient en subir un second qui rétablirait le résultat tel qu'il était d'abord.

Gela posé, je nommerai Y l'ensemble des termes qu'on obtient en appMquant la règle à deux polynômes quelconques, et je vais prouver que le produit de ces polynômes est toujours égsd à Y. D'abord supposons que ces polynômes aient des valeurs positives, mais qu'en effectuant les additions et les soustractions qui y sont indiquées on doive passer par des quantités négatives avant d'arriver à la dernière opération. Comme on peut changer l'ordre des termes d'un polynôme sans changer sa v^eur, j'écrirai dans chaque facteur tous les termes positifs aux premiers rangs , et à leur suite tous les termes négatifs : alors la difficulté dont il s'agit disparaîtra , et la règle fera trouver le produit cherché. Or, d'après notre première remarque , ce produit est égal à Y.

Quand l'un des deux polynômes a une valeiu* négative , c'est que la somme de ses termes négatifis l'emporte sur celle de ses termes positifs. En changeant les signes de tous ses termes, la valeiu* de ce poylnome deviendra positive, sans autre altération : alors on pourra appliquer la règle , et , d'après la seconde remarque , on aura un produit de signe contraire à Y. Mais, puisqu'on a pris positivement un facteur qui devait élre négatif, ce produit doit être de signe contraire au produit cherché (25) ; donc Y est le produit cberché.

Enfin , quand les deux polynômes ont des valeurs négatives, on changera les signes de tous leurs termes , ce qui donnera deux

Û6 LEÇONS d'algèbre.

polynômes dont les valeurs seront positives , et dont on pourra trouver le produit par la règle du n'* précédent. D'après la seconde remarque, ce produit aura les mêmes termes que Y; mais les Valeurs des deux facteurs ayant changé de signe, leur produit n'a pas dû en changer; donc le produit cherché est encore égal à V. 39. Pour plus de facilité, pn ordonne les polynômes qu'on doit multiplier. Up exemple montrera comment on dispose Vopération.

Multiplicande 3â'-- 5a'b — ^^zè' Multiplicateur — 2a'— 3^& +6*