TaÉOHËHB II. Si dans une séné

U = n„+o,+u 4-iia+etc.,

tous les termes sont positifs à partir d'un certain rang; el si, pour les Iris-grandes valeurs de n, la. racine

converge vers une limite R ; la série sera convergente ou divergente, suivant qu'on aura K<;i om R>1.

Si les ternies au delà d'un rerlain rang étaient négatifs, le théorème s'appli^ierait à la série — U.

Soit d'abord R<1, et prenons encore iineqiia

j.KçoNS d'algAbri. 525

et 1. D'apri>s 1 eiionc<> , on peut choisir n assez grand pour que les expressions

|/««, k'wn+i, l'Un + l, etc.

soient aussi approchées de R qu'on voudra , et par conséquent toutes moindres que K' : de sorte qu'on aura

Un<lM% w„4.,<R'"+s M«+.<R'" + S etc.

Donc les termes de la suite Un+<«R + i +etc. seront moindres que ceux de la progression géométrique R'^H- R'"-+- * +etc. ; et comme cetle progression est convergente, à cause de R'<1, on conclut à fortiori que la suite //« + Wn ^ 1 4- etc. doit Fétre : par conséquent la série t. l'est aussi.

Soit R> 1 . Si on prend encore R' entre 1 cl R , alors R' sera une quanlitê moindre que R , et un raisonnement analogue au pn> cèdent prouvera que la série est divergente.

Scolie. Les deux théorèmes qu'on vient d'établir ne laissent d'incertitude , §ur la convergence ou la divergence de la série U, que dans les cas où l'on aurait R = 1 ; et alors la question ne sera pas toujours facile à décider. M. Gauchy, à qui j'ai emprunté les considérations générales contenues dans ce chapitre, a aussi donné plusieurs propositions à Faide desquelles on y réussit quelquefois. Voyez son Cours (V analyse imprimé en 1821 .