Théorème III. Lorsqu'une série

U = Uo+u,+u,+ etc. .

est entremêlée de terfnes positifs et négatifs, et qui en les prenant tous positii^emenf. la noui^elle série est convergente^ on peut affirmer que la série U Vest aussi.

Soit R l'ensemble des termes positifs contenus dans la série U à partir du terme cwlconque m„, et soit — R' celle des termes négatifs, de sorte qlBIait R — R'=Mii+ttii4.i-hetc.

Puisqu'on doit avoir une série convergente en prenant positivement tous les termes de U , il s'ensuit qu'on peut choisir n assez grand pour que R+R' soit une quantité aussi petite qu'on voudra ; donc, à plus forte raison, il en sera ainsi de R— R'; donc la série TJ est convergente.

Pour donner des exemples , reportons-nous aux séries U',U",U"', da n^* 548. On y supposait x positif afin que tous les termes, à partir d'an certain rang, fassent positifs; et alors on a reconnu

SM LKÇÔBS IIALCbBB.B.

entre quelle» limites il fallait roufermer x pour que ces séries Tussent convergoulcs. Dodc, d'après le théorème qui vient d'être déinonlré, elles ne cesseront pas J'ôtre convergentes si on donne A j des valeurs renfermées entre les mfimcs limites prises uégati- Temeut. Ainsi la série IJ' »era convergente pour toutes le* valeur» de ^, tant posilives que négatives; la sCTie IJ" le sera pour toutes les valeurs entre +1 et —1 ; et enlin la série U'" le sera aussi pour lo6 valeurs entre +1 et —1.

iVo/ic. Il ne faudrait pas renverser le théorème III, et conclnre que »i une série entremêlée de signes + et — est convergente, il ea sera de même si on prend tous ses termes posi livement. La série V du n° suivant en sera une preuve. ,

551 . Théorème IV. Uiit niirh e,« convergente lorsque ses terme», à partir d'un certain rang, ont des signes alternatifs, et quiU vont en dintinuaitt de telle sorte que Mro soit la limite de leur dicroissement.

Désignons par ± a l'un quelconque des termes décroiasants dont 1 les signes sont allernalifs , et les suivants par ■^bi.c'^ etc. Si ou I ^end la somme des termes qui précèdent a pour valeur approchée ' de la série entière, l'erreur sera &.a^ l)± czçd± etc.; et cette erreur, que je nommerai p , pourra s'écrire sous ces deux formes: p= + [(a— i.) + (c— rf) + etc.], P= ±[a—[b—c)~[d—e)—e\.c.].

Puisque les termes <:, /',ctc. vont en décroissant, toutes les quantités entre parenthèses sont positives: donc par la première forme, (m voit que p est de même signe que ±a,' et par la seconde, que la valeur numérique de p est <ia. Or, en prenant le terme a asseï éloigné , il sera aussi petit qu'on voudra ; donc , à plus forte raisoD, il en sera ainsi de p ; donc la série donnée est convergente.

Par exemple, si on considère la série V=l-^fc(-; — l + etc., on reconnaît sur-le-champ qu'elle remplit les coiWnons du théorème. Donc elleest convergente; et en l'arrêtant à un terme quelconque, à ; par exemple, l'erreur sera en moins et < ;.

Les théorèmes I et 11 n'apprendraient rien à l'égard de cette série, car ils exigent que les termes, à parlir d'un certain rang, soient tous de même signe. Le théorème III n'apprendrait rien non plus, car il exige qu'en prenant tous les termes positivement la nouvelle série soit convergente, et l'on a démontré que U somme 1 + ,- + i -f- etc. est infinie.

LEÇONS d'algèbab. 527

552. Lorsqu'une série est convergente, et qae, pour avoir une valeur approchée de la série entière, on fait la somme d'un certain nombre de termes, il est important d'obtenir une limite de l'erreur. Quand la série tombe dans le cas du théorème IV, on vient de voir que l'erreur est toujours moindre que le premier terme de ceux qu'on néglige. Mais la seule règle générale qu'on puisse indiquer pour obtenir cette limite , c'est de comparer, ainsi qu'on l'a fait dans les théorèmes I et II, la série avec une progression géométrique décroissante; et, quand on aura reconnu qu'en s'arrélantà>uncer* tain terme , les termes suivants de la série diminuent plus rapidement que les termes correspondants de la progression géométrique, on sera certain que Terreur est inférieure à la somme des termes de la progression.

Pour exemple , prenons la série

dans laquelle le terme en x" + ' se forme en multipliant le précédât par X et en le divisant par n+l. Soit n un nombre tel qu'on ait *r <7t+l : on sera sûr que les termes de la suite

H -. — T + etc.

décroîtront plus rapidement que ceux d'une progression géométrique dont le 1*' terme serait le même que dans cette suite, et dont

la raison serait -. Donc, si on prend dans la série U' le terme

en ar»^-' pour le dernier, l'erreur p sera moindre que la somme de cette progression, et l'on aura

Sur les développements en séries. -— Méthode des coe£Bcients indéterminés. — Retour des suites.

553. Les séries se présentent d'elles-mêmes dans les opérations de l'algèbre. Par exemple, supposons qu'on fasse une division de polynômes dans laquelle le dividende ne soit pas un produit exact du diviseur, ou bien qu'on ait à extraire la racine d'un polynôme qui ne soit pas une puissance exacte de même ordre que la racine \ . dans ces deux cas , les opérations successives se prolongeront indé- Oniment et l'on engendrera une série.

LKÇOIIS D'Au;tlllll.

Lni'Aque des optTalioDt> odI puurubjet de Irnn^roniifr uue cspres- BioD eu une autre qui lui soil égale, si, au lieu d'un nombre limité determeii, un trouve une série, on regarde ordinairement celle Bcrie comme équivalente à la première expression. Mais à ce sujrt quelques observations importantes doivent être Taites; et, pour être mieux compris , je choisirai un exemple fort simple.

Soit la fraction --— -, si on effectue , par les règles connues , la division de 1 par 1 — or, le calcul sera comme ci-dessous :

etc.

Par la nnliiro nx'iiic de l'opùraliou , on reronnnil que le quotient

w. s'arri^lora pas et qii'on aura une série régulièrL' dont chaque

terme est le produit du précédent par j:. Si on la termine à une

k certaine puissance de ,r, à a-', par exemple, te reste correspon-

' dant sera x^, et it faudra îijouter au quotient , pour le compléter,

la fraction - — - , Ainsi, on a exactement

Mais une erreur assez commaue , c'est de croire qu'en regardant la suite des termes du quoUent comme prolongée à l'infini , elle devra toujours représenter, quel que soit x, la valeur exacte du quotient ; de sorte qu'on aurait

[1] =i+x+x'+eic.

Celte égalité est incontestablequand on altribueàxdcsvaleur8<ir car alors le 2' membre est la somme des termes d'une progression géométrique décroissante, et, d'après la règle connue (304), celle somme est en effet égale au quotient de 1 par 1 — x.

Mais, qnand on attribue à .r des valeurs ^-l, l'égali lé cesse d'éfrc vraie. Ainsi , qu'on fasse j- = 2, elle devient - — —=1+l-f-l+elc,; et il y a absurdité évidente ; car le i" membre est égal à — 1 , ei ]e 3' est égal à l'infini.

Il est facile d'expliquer comment il se fait que Fégalité [1] soit vraie ou fausse , selon que x est moindre ou plus grand que 1 . Ou a déjà observé qu'en arrêtant le quotient à une certaine puissance de j:, il faut ajouter une fraction au quotient pour le compléter. Désignons par a-" le terme auquel on s'arrête , le reste sera a^+\ et l'on aura , sans aucune erreur,

Si on veut prolonger indéfiniment la suite des termes du quotient, il faut faire /i == oo , et cette hypothèse doit être faite aussi bien dans la partie fractionnaire que dans la partie entière. Or, la partie fractionnaire devient alors zéro si x<C\^ et — oo sia:>l : donc ou peut la supprimer dans le premier cas , mais non dans le second.

En général une fonction ne peut être remplacée par une série que dans les cas où cette série lui est parfaitement équivalente; et^ pour que cela soit , il faut , comme condition essentielle , qu'en arrêtant la série à un terme quelconque , le reste de la série devienne zéro lorsque le nombre des termes qui précèdent ce reste est infini. Or, celte condition est toujours remplie par les séries convergentes; et pour cette raison elles sont les seules qu'on doive admettre dans le calcul.

554. 11 existe, pour développer les fonctions en séries, une méthode dite des coefficients indéterminés , que je vais exposer en peu de mots. Afin de mieux fixer les idées, supposons, ce qui est le cas le plus ordinaire , qu'il s'agisse d'une fonction F(x) dont les valeurs sont réelles et varient d'une manière continue , pour des valeurs très-petites de x à partir de j: = 0 : on demande de développer cette fonction en série ordonnée suivant les puissances ascendantes, positives et entières de x. On fera

[2] F(x) = A+Ba7+Cx'+Djf3+etc.,

et A, B, C,... seront des coefficients indéterminés qui ne doivent point contenir x , et dont il faut trouver les valeurs.

A cet effet , on choisira une propriété de la fonction ¥[x) qui soit d'une vérification facile , et en cherchant à opérer cette vérification avec la série , on arrivera à une égalité telle que

[3] P+Qx+R^'+Sjc^+etc. = 0,

dans laquelle P, Q , R , . . . . sont des expressions indépendantes de ^,

-&S0 tïÔipHS DiU^BIBI-

mais composées avec les coeffideols A, B,C,....Or, cette égalité devant subsister sans qu'oa assigne ii -r de valeur parlicplîère, il faudra que les mulliplicalcars des différentes puissances de x dcvivancnt nuls ; donc on devra avoir

[4] P=0, Q = 0, R=0, etc.,

et OD se servira de ces équations pour trouver les coefficient! A, B, C,.... Si elles en laissent quelques-uns d'inconnus, il faudra remonter à l'équation [2] cl les déterminer d'après les propriéléi particulières de la fonction que l'on considère.

Dans le chapitre suivant je donnerai des applications de cette méthode ; mais je dois présenter ici quelques observations qui me semblent indispensables.

535' Preroièrcmcnt, dans l'égalité [2] il faut que le second membre représontelavaleurdupremicr.Sicela n'est paspossible en attribuant à jo une valeur quelconque , on veut au moins que l'égalité ait lieu pour les petites valeurs de jr , et cela exige que la série soit cooTergente pour ces petites valeurs, Or, il est Irés-rare qu'on puisse démontrer à priori la possibililé d'exprimer une fonction par one série de celte espèce, même lorsqu'on la restreint aux petites valeurs de X. Ainsi , à parler rigoureusement , l'égalité [3] doit être regardée comme purement hjpolhélique,etàlafin du calcul, après avoir trouvé A, B, C,...., il sera nécessaire de vérifier si, pour les petites valeurs de x , elle est véritablement convwgente et égale k la fonction que l'on considère.

Les auteurs n'ont peut-être pas assez insisté bur la nécessité de celte vériiication. Communément on croit que les calculs par lesquels on cherche des inconnues ne doivent jamais manquer de mettre à découvert les fausses suppositions qu'on y aurait inlroduites -, et, s'il en était ainsi , la vérification serait superilue. Mais on pourrait citer des exemples où des erreurs de supposition resteraient inaperçues par cette voie- Les bornes de cet ouvrage ne me permettent pas de m'élendre davantage sur ce sujet.

S56. J'ai dit que l'équation [3J devait avoir lieu sans attribaer â :f de valeur particulière. Pour bien entendre ceci, il faut observer que si on borne, comme nous l'avons fait, l'égalité [SjamL petites valeurs de jr, il en doit être de mt^nie de l'équation [3]; c'est-à-dire que la série P-|-Qj:4-etc. doit être convergente et égale â zéro, pour toutes les valeurs de jr à partir de ^=0 jasqn'i

LKÇQ^S D'A|«aËB£B. 531

une certaine limite, qui peut être très-petile. Or, cela suffit pour conclure qu'on doit avoir les équations [4].

En effet , si on prend a: = 0, la série P + Qj: + etc. doit se réduire à P,et par conséquent Téquation [3] donne P=0. Supprimons dans cette équation le terme P qui est zéro, et divisons-la par x, on obtient celle-ci Q+Rj:4-etc. = 0, laquelle doit encore subsister pour les valeurs très-petites de x. Donc on pourra en conclure semblablement Q = 0 ; et ainsi de suite.

557. Une même fonction F( j:) ne peut avoir qu'un seul développement en série convergente de la forme A+Ba: + etc. : car si on en trouvait deux, ils devraient être égaux entre eux , et dès lors on devrait avoir une équation de la forme

[5] A+ Bx 4- C j:^+ etc. = A'+ Vx + Gx* + etc.

En transposant tout dans un seul membre, elle devient (A — A') + (B — B')x + etc. = 0 j et , par le numéro précédent , on en conclut A — A'=0, B — B'=0,.... ou A=:A', B=B',.... On peut encore dire, en d'autres termes, que deux séries convergentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable x , ne sauraient être égales sans être identiques.

558. L'emploi des coefficients indéterminés s'offre de lqi-mêp)e dans le problème du retour des suites. Alors on suppose qu'upe quantité j^, dépendant d'une variable x , est exprimé^ par ^no série en x , et l'on veut en déduire la valeur de x exprimée par une série en^. Soient

^ = A+ Bj: + Cj:*+ etc., x= a + hy^^cy''^ etc.,

A,B, C,.... ét^pt de9 (juaptités données, eta, fr, o,.... des indétern^inées. D^ns la pr^ipi^pe égalité on remplacera x par la série ^-1-^^4-etc, ; ou bien dans la seconde, y par la série A+BjtM-etc. : on arrivera ainsi à une égalité telleqpe [3] ou [5] , d'où l'on déduira différentes équations qui serviront à déterminer a, ^, c,....

Je terminerai ici les généralités relatives aux séries. J'en ai ^it assez pour montrer combien de précautions doivent être prises pour les employer avec sâreté. Aussi a-t-on soin, surtout dans les éléments, de né traiter par cette voie que lés questions dont la solu tion serait impossible ou trop difficile par d'autres procédés.