CHAPITRE XXIV
tirnii.lFduBiioii
559. Sion Tait, commeaun''211, les premières puissance9deii+.r
amoyendela inul[iplïc3lioD,OD reconnaît facilement que ponrmi
sxposant entier positif quelconque les deux premiers termes da dé-
Feloppemenl do (a+J.)" sont a'^+nuf-U; et que les autres sont
liife la forme Afl"-'A'+Ba°'-*^'+otc., de sorleqa'on peut poser
tl] (a+*')"=rt"'+nia"'-'.i-+Aa"--'j.''+Ba'"-^^''+elc. ,
A, £,.-■■ désignant des coeflicitinls qui ne contiennent ni a ni x.
^ I<orsque l'exposant est un nombre positif fractionnaire , on a J
Or, si on applique ici le procédé expliqué n" -224 pour l'extraction des racines , on trouve sans difficulté les deux premiers termes àe cette racine, etl'onaun développement delà ftHine
(a+J:)" = «" + — «'■ 'x+A.a" 'jr'+Ba" jr'+etc.
Ainsi cette forme est la même que pour un exposant ^tier.
Quand l'exposant estuunombre négatif quelconque, entier on fractionnaire , on a, en s'appuyant sur ce qui vient déjà d'être trouvé,
Or, si on effectue la division suivant les règles ordinaires , il vient un quotient indéfini tel que
[a+x)-'' = a-''—ma—'~'j:+Aa—'-*x'+elc.i donc, quel que soit l'exposant, on doit toujours avoir un développement de la forme indiquée par l'équation [1]. Les deni premiers termes sont déterminés, et il ne reste plus qu'à trouver les coefficients A , fi, etc.
LEÇONS d'algâbre. 533
Pour plus de généralité je considérerai deux termes consécutifs de rang quelconque , et j'écrirai
Changeons partout x en x +y : comme les coefficients inconnus ne contiennent ni ^ ni jc , il viendra
.... 'fMa'«-«( j:+^)''4- N^"*-"- • (Jc +j^)» + « 4- etc. En changeant a en a-\-y, on eût trouvé
. . . . + M(a +^)"*-" J?" + N(a +j^)«-«-»a:» -♦- » + etc.
Dans les deux égalités précédentes, les premiers membres sont égaux : donc les seconds doivent l'être ; et cela, quels que soient x et^. Donc, si on les ordonne par rapport aux puissances de y^ ils devront être identiques. A la vérité ils renferment des puissances de binômes, maison connaît les deux premiers termes de chacune d'elles, de sorte qu'on pourra former la partie qui , dans chaque second membre, renferme^ au 1«' degré; et cette partie nous suffira. En la désignant par Xr dans l'un , et par Y^ dans l'autre , il est facile de trouver Y = wa"-» . . .. + M«a'»~'»j:*~« + N(/i+l)a'"-»~'a:'*, . . Y'=ma'»-».... + M(/w — w)a'"-*'»--'j7'4-N(/w—/i—l)û"*-»~^J^ +*....
Ces deux quantités devant être égales quel que soit x , il faut que les coefficients des puissances semblables de x soient égaux; donc, en ne considérant que ceux qui affectent a"— "-'j:", on aura
N(/î+l) = M(/»--7i), d'où N=^^^^^
On voit par là selon quelle loi un coefficient quelconque se forme du précédent. Elle est la même qu'on a trouvée pour le cas d'un exposant entier positif (215) ; et comme nous avons reconnu que les deux premiers termes du développement sont composés de la même manière quel que soit l'exposant m , il en sera encore ainsi de tous les autres termes.
Donc , pour toutes les valeurs de m, on aura toujours la formule
fnim — 1) ,
(a-4-a:)« = û»»-f-m^'«-»j:H ^-— - — a"-».r*-|- etc.
Lorsque m sera entier et positif, elle s'arrêtera à x^ ; dans tous les autres cas elle se prolongera indéfiniment.
se
UtçON» D'itLCÉBM.
Mr'ix (tpoDnilitlIn.
5(10. lAtrsqu'on Tnil jr = 0. la fonctiomi' se réduit à l'unil C'esl pourquoi j« [irendraî l'unilc jKiur premier terme dn dévelc pcroeot do a', et Je poserai
a' = i+\x+iix'+C.r^ + T)xi + eic.
A, B, C, D,.... étant tIcS oieTRcients IndélermitiÔS qa'oa suppose indépetulanls de x. t^our trouver ces cocfficieut» , Jo me serrirai de j la propriété a'Xit'' = 'i"^'~-
En changeant dans la série x en Xi *^' ensoile a: en J:+y, on a
flr=l+-V+^r■+CJ''+^r'+elc.,
,(•+/ = l+A(x+7) + Blx+:K)' + C(:r+x)HD(j:+j'l»+etc.i
donc , pour vérifier la propriété rf-'X "^ = «' ■•■ J", on dut avoir
l+A(i-+^) + U(.r+/)'+C(j:+^)3+D(^+^)'+etc =
(l+Ax+Ui'+G^'+Dx'+etc.)Ci+Ar+Bj'"+Cy+etc.).
A on etTtvIuc tes opérations indiquées, et si on considère va piPtt^
eoller la partie qui contient la première puissance de j- dans diaqM
uenibre^ ces deux parties devant <Mre égales, on aur«
A+2Bx+3Cjr'+lDx'4-etc. = A+A':r+ AB.r'+ACx^+etc, Mais celte égaillé doit elle-raéihc avoir lieuqncl que soit x; dont les puissances AttablâbleS de ir doivent dVoir les métnes toefflcietltl; dM)c 2B=A", 3C=AB, tD=AQ, etc., d'où
et, ensnbstituahtcesTalenrst la série deviendra
, , . AV fJx^ A*a:* ,.= l+A^+__ + ^ + g__ + etc
La quantité A reste encore a déterminer : on y parvienl très^iôplement «) faisant Aj;=1 ou j;= y. Pour cette rdeor ooa
Setoii rùsagè, je nommerai e là quantité représentée par cette série DUmèrique i et , en prenant les logarithmes des deux membres, ' il viendra
i|(%« = ibge, d'où A=|^, A loge
LEÇONS D'ALCftBRI. 535
Pour plus de simplicité , je supposerai que les logarithmes soient pris dans le système dont la base est e , et dans cette hypothèse jeles indiquerai par la seule initiale L. Alors on aura Le= 1, A= La , et par suite le développement de a' sa^
^ , ^ Jc\Lay xHLa)^ ,
Si Vexponentielle était e"^, il faudrait faire a^e^ha^i^ et l'on aurait simplement
e* = l + j:H — A h etc.
561. Je vais prouver ici que e est un nombre incommensurable. La valeur de e est celle-ci
Hest évident qu'elle surpasse 2, et il est facile de voir qu'elle est au-dessous de 3. En effet la somme 1+777+ etc. est moindre que celle des termes de la progression géotilétH^Uô î+^+|+etc., et cette dernière somme est égale al.
Maintenant admettons que ta vàleiir de e puisse être un nombre firâcUonnaire , et qu'on ait
^=2+-+—; r.... + --r ^ + r-T , i, + CtC.
Eb midtipliant les deui: taiemiMred de K^tté égalité par le ptodail 2.3.. ..(9 — i)q^ il viendrait
N désignant un nombre entier. Or, les fractions qui sont ajoutéisF à N composent une sonune moindre que la progression géomé-
trique ^ + (^) + (^) + etc., et cette dernière
est égale à la fraction - ; donc il s'ensuivrait qu'en ajoutant à N
une fraction moindre que celle-là, le résultat serait encore un nombre entier, ce qui est absurde ; donc e est irrationnel. Un petit nombre de termes de la série numérique su£Sra pour obtenir la valeur de e rapportée n° 333, 6=2,718 281 828....
somme
LBCfiM D ALCSUK.
a développer k^ :tr en I Ibrinc A + B.^+Car'+etc, altcndu qup, par Ihypolhèse •log X devieDt infini. Mais on cherchera le développemeat de I ïog {i+x); et comme :r = 0 donne log (1+Lr) = 0, on posera log (i+J-) = Ajr+ Bx'+Gx^+Ox* + etc.
igeons X en -r+j-, il viendra
logli+x+y)=A.{x+y)+B(x+y)'+Cix+3-)' + elc.
i \+x-i-y={i'{-x) U + j^y, donc log (1 + ^-1-/) =
I bg {t+.r) + log Tt 4----^y Or, sionchange.ï'en 77—, la première égalité donne •
^^ ^ U-x) i+x {l+x)' l«t par suite 11 Tient
On a ainsi nne seconde expression de log {l+x+y). Daus l'une et l'autre les multiplicatenrs des puissances semblables de y- doiveut être ^aux ; et de là on ix>nclul facilement
A+2tix+3Cj:'+iDx^+etc. = ~ .
En chassant le dénominateur l + .r et ûtant le lerme A qui est commun aux deux membres, on trouve
(2B+A)^+(3C+2B)x'+(4D + 3C)^' + etc. = 0; et comme x doit rester indéterminé, il faut qu'on ait 2B+A=0, 3C-f-2B = 0, 4D+3C = 0, ... De là on déduit B = — ;A, C= ;A, D = — JA,..,. ; et par conséquent
log (t+x)
La détermination du coefficient A est assez délicate. Divisons par X les deux membres de l'égalité ci-dessns , il vient
logd+x)
lie
Alors le second membre se réduit à A par Thypothèse x=0. Mais
le premier se présente sous la forme ? , et la difficulté est d'en
connaître la vraie valeur. Soit fait x = - : on aura
logH+x)
=.iog(i+^)=iog(i-f.-^y.
Si on développe la puissance , on trouve
\2 2nJ\3 3/1/ V* W
+ etc.
L'hypothèse jtsO répond à n = x : or, si on suppose n=:x, le second membre de la dernière égalité se réduit à la série numérique déjà remarquée n"" 560,
6 = 2 + - H 1 h etc. ;
donc A=loge; donc
[1] log (i+j:) = logc(j:— — + ^ — -- + etc.).
Jusqu'ici les logarithmes appartiennent à telle base qu'on voudra ; mais si on adopte e pour base on a log a = 1, et en n'employant alors que la seule initiale L pour désigner les logarithmes, on a
[2] h(i^x) = x—j^j'-j'heic.
563. Par ce qui précède, il est évident que A ou log e est le rapport de l'accroissement de log {i+x)kx lorsque x est trèspetit : cette quantité n'est donc autre chose que celle à laquelle on a donné le nom de module dans le n* 332. Lorsqu'on prend e pour la base , ce module devient égal à 1 ; par conséquent e est la base des logarithmes népériens (333J.
11 est d'ailleurs évident qu'on transportera les logarithmes népériens dans un système quelconque eu les multipliant par la module propre à ce système. On a vu plus haut que ce module était ^al à log 6. Mais si on appelle a la base du système dont il s'agit ,
on « i^viiIetoliieiBl «'"s ' = é ; donc en prenant les logarithmes népA* I riens ifM dCBi membres, il viendra logexLa=i. Donc, «n désignant U' module par M , on aura également
* M = log.' et M=î^.
564. Les sél-îes [1] et [2] ne sont convergentes que pour les valeurs de a- moindres que 1 , Mflis cUes setïrtlt h en ttoaver d'aotr« qai rtioviennent ans valeurs plus grandes. Il suflira de s'occupS' do te série [î]. Sf on change x en — x, elle donne ■
L(1- j-) = - J— 1 — i. - j - etc. ;
el si on retranche L{!— *) de L(H-jr), oh tnjave le logarilh da qnoIJent d* 14-A- par 1— x, savoir ;
Maintenant, posons - — — =1+ -, d'où x = - ; m
obs^vons qu'alors
onconclara
formule qui est assez commode pour s'éteTér de Ln à L(rl+s).
Après avoir calculé les logarithmes népériens, on les fera paœer dans le système vulgaire, dont la base est 10^ en les multipliant par le module de ce système. Poiit-avoir ce module, il suffit doncde tonnattre les tc^riththés d'dh même nohitA« dans chaque syslëme, et dé diviser le BSbOtad It^arfthme par le pl-ëmler. Le iknnbrè qBH convient de thoisit est te base lO cllé-ttaéttie , parce ttae^èon logi- Mlhbie datiB le Second sj'sfême fest l'tlbSté. Voit! dHbWftUt Dd thxite teidg. hép.delO.
On calcule d'abord L2 en faisant n=l, s=l, danSlafisHnnleci- ^^ns; puis on a L4 = 2L2; pitis la fbrmule dtttiite L5 thi y 1^- *n1ft = *,3 = l; pUiséhflhon*L10 = L5+L2.
C'est ainsi que s'ohttcntrcnt les deut Valeurs déjà W4)|ji(*té« n'"333et83*,W0d=2,Mâ98(l»92....,Mii:0,4S4 2^4fll....
LBÇOm o'ALëiMt. 5)9
DémoiutraUoa dot formules précédentes en conûdéirailt ^tHHMheât Id fSHét é)ies>inéines.
565. Si le lecteur se rappdle les oUertalkmë gébéhiles que j'ai présentées n*' 555 sur les déyelbi^meiits eil sériés ^ il reconnaîtra combien laissent à désirer, sous le rapport de la rigueur, les méthodes qui Viemlettt d'être «in)>to]r«é§. PbtU- cbfrt^er ce t)tt'ëlles ont d*iiiiparfait ^ jtB Tbis (n^nsidéHpr lé!» Ulriés en élIes-iuMes et ph)ti- ▼er qu'tiUes sont en efltet ég;tlles Ml± ^litité^ dôht oh ï^ A déduites. LUnaljrse ttUlmtotie ft m dbiûiéè psar Ofe^TAmviLLË dans te tome IX des AnnMei <fe Utiithéhïàtiqiiès pttblléés ^r M. Gergonne.
