Soient les séries indéfinies
ç(a) = l+a- +a(a+k) — +a(a+A)(«+2it) r-ç- + etc.,
#) =i+b^+b(b + k)^ + b(b+k)(b-t 2k) -^ +*tc.,
J'emploie ici ?(a) comme notation abrégée pour désigtter là pi^emière série ; et eu ihéme temps j'établis la convention que , si dans cette série on rempUbe a pai* tiAè quantité qi|Hisauq[dè it -, là âOUtëUè série sera représentée par ^(m). Cela posé, je vais démontrer qu'on ' doit toujours avoir
Pour y parvenir, je formerai d'abord le développement du produit ^(a)x ?(&). fin eSectuânt avec ortfre là. nAiltij^icatiôb , oh trouvera
t + A{afk) -—+a(a+k)(a+2k) 1 4-236 *•* +3a5(a+*)
+ 3)ib{b+k) + b{b+k)(b+2k)
+ etc.
Si on compare ce ptodait àtéb f{a+b) ea Vfeft WÉl*l*-tlllttJ> ^œ
540 LEÇONS D'ALGéfiftE.
les deux premiers termes sont les mêmes. Le troisième est aussi le même : car on a éyidemment
a{a+k)'h^b+b{b+k) = a{a+k)'{*ab+ab + b{b +k) = a{a^b+k)'\'b{a+b^k) = {a*hb)(a+b+k).
En continuant , on pourrait prouver que l'égalité a lien dans les termes suivants ; mais, pour (dus de généralité , je vais démontrer qu'en supposant l'égalité établie jusqu'à une puissance quelconque zp~> inclusivement, elle doit encore subsister entre les termes affectés de zp. Avec de l'attention il est facile de voir que dans le produit ^(a) x «p(6) les termes en zp-» et zp sont
a{a+k){a+2k){a'hU) [a+(j»— 2)â:]
+ <--— ba{a+k){a+2k) [a+{p^3)k]
-^^-A ^^ a{a+k)b{b-hk) [bMp-
+?Zlab{b+k){b^2k) [bMp-
ZP
+^ ba(a'hk){a+2k) [«+(/>— 2)^
+^ ab{b+k){b+2k) [b+{p—2)k]
+ 6(6+*)(6+2A)(6+3A)m [b+ip'-Dk]
ZP
LEÇONS d'ALG^BRI. 511
Maintenant remarquons que, dans la partie en 2^, les multiplii^itears où entre p se prêtent aux décompositions suivantes :
ï T" ~"nr"T""*'"T"'
etc.
Alors on verra qu^toate la quantité affectée de zp peut se séparer en deux parties, dont l'une contient le facteur a dans tous ses termes, tandis que l'autre contient le facteur b. Ces parties sont
(a-i-Ar)(rtH-2*)(a + 3*) [«+(/>— i)*] \
+^^ Ha-\-k){a+2k) [a+{p^2)k] '
^eZÎ /;Z?ft(ft4.;t)(a+Ar) [a+(/i— 3)*]
azP
+ ^^(«H-*)6(ft+^) [fr+C/^— 3)*]
^b(b^'k){b+2k) :.[fr+(i»— 2)*]
bzP
^P—la{b+k){b^2k) [6 + (p— 2)*]
•4-(6+*)(6+2it)(^^ + 3A:) [^+(/>— 1)*]
Dans la première partie, la quantité placée à gauche de l'accolade est ce que devient le coefficient de j^ — TZIîy lorsqu'on y
Si on change b en ô+c, l'équation [i] devient f{a)Xf{bti:\l =y(a+è-)-c), niais, ea vertu de celle même équation, on il
518 ti60n« P>i««
change a ep n+i; et dans )a sacottde, elle es) ce qu'il devient \ors-
qu'on ychan^^ en 0+i. Or, par hypothèse, ce cocflîcieot est le
in<hne que ccluijiui alTecte ' — dans la série ^i(a + i),
c'cst-i-dire qu'on le suppose réductible k la forme
[a+b)ia-i-b+k)(<ii-b+2k),..[a + b+{p—2)i]; donc les deai( quantités placées arjinl lea accolades s'obtiendront en changeant dans cctti! dernière euprcssiuo a eu a + A , et fr en ù-i-i. Chacun de ces changements donne le même résultat ,
la + b+k)i>i^b + 2k){a+l> + 3k)....[a+l, + (.p~'l]t]; dope > en ayant égard à ce facteur commun , la somme des deas parties ri-dessus, qui contiennent zr^ sera
laquelle est identique avec le terme en ec delà série <?(»+*),
Ainsi, en adipettantqu'ily ail égalité entre les termes des s^u représentées par ^(â)Xv!^) et par -,'(a-h/'} jnsqn'ànne certaine pniisance de c , elle doit encore exister pour la puissance supérieure. Or cette égalité a été reconnue pour tes Irois premiers termes : donc elle a lieu pour quatre termes. Si elle a lieu pour quatre lemes, elle a donc lieu aussi pour cinq ; et ainsi iudëGniment.
567. La proposition qu'uq vjent de dèmonlrer revîept g 4'rP' en d'autres mots, que la série -iia) est une telle fonctiOD de a que, pour la multiplier par une fopction semblable de l>, \\ sn{pt d'ajcuter i à (I. Sous ce rapport , elle est parfailcment analogue à l'eïponentielle Z", dans laquelle Z serait une quantité indépendante de a ; et l'on va voir que celte analogie se maintient aussi dans le conséquences.
Reprenons l'équation démontrée [1] ïC«)X#J = ï(.
On peut y remplacer g, par n—h - alors elle (jevjwt ((a-rriJXtl*) =^{a) , et l'on en lire, pour la division de ^{a) par ^{ij,
geant c en c+^, et continuant de la méipç m^ni^re, pi) ^urfi tp(ijours, quel que soit le nombre des facteurs,
JHm» m supposant topt^ len quantitài a, 6, <?,.... ^1^ i tf^fT^ leur ppipbre ^al à m, c§Ue ^qP4tipp 4Piwmi
En remplaçant dansi celle-çl a par -^ , il Tient Iff"-)] = 7(^)7 donc , pour l'estraction des racines, on 9
La formule [3] n*est enpore d^n^ontr^ que pour un exposant entier positif. On l'étendr^l tous Içs exposants positifs fractionnaires en remarquant que les formules précédentes doimeot
J^[ç{a)]«= yf^{ma)s=J—\ Mais l^[yta)]'» et [^{a)f sont deux
exilassions équivalentes ; donc
- /tna\
Poor étep^re aussi la formnlfs gRf efpQSipts qégatjfs, on remarqaera qu'en désignant par m et r des nombres positifs quelconques, les formules démop^rées ^pnneilt
donc enfin
Ainsi, quel que soit l'exposant , on a toujours
OU bien, ce qui est la même chose, en remettant dans cette égalité les séries représentées par y(a) et ifiniq) ,
i'^-ma'-maima'k'k) i-r+ma{ma+k)(maf^f[) j— r + etc. 1 1,9 i»^.^
544 LEÇONS d'algèrrb.
568. Dans Fcquation [7] , a et k sont quelconques. Si on y fait a^=i et A: = — 1, elle devient
m m(m — 1) , mim — i){m — 2) ,
la formule du binôme est ainsi démontrée pour un exposant quelconque. On sait comment on peut déduire (a-^-xY de (14- 2)*".
569. Dans la même équation [7] faisons A;=0, â = l, z = l, m = a J7 : il viendra
La série numérique du premier membre est le nombre e , base des logarithmes népériens : ainsi y on peut écrire
ax aX* a^X^
e*« = H 1 1 h etc.
Si on pose e^^ = ^z , a sera le logariilmie népérien de ^z , et on retrouve la série exponentielle (560).
, xLa x'iLay x^La)^
570. Pour avoir la série logarithmique, on changera dans cette dernière formule aeni-\-x^ix en m. Il vient
(1+^:)'»= IH ^- ' + \ c. + etc. i
Mais, en développant la puissance (l+o:)'», on a i
{i+xr=i-hm --\-m{m — 1) -—. -f etc.
Egalons donc les deux séries, supprimons Tunîté de part et d'auire , et divisons par m , on aura
= \ +('»-l) ^ +('«-l)('«-2) j^ + etc.
Enfin, en faisant m=0 dans cette dernière éqaation, on retrouTe la formule connue
L{i+*)=--- + -__ + etc.
r.KÇONs d'âlgAbrb. 545
Ciénêration <Im sppîps irruprenlwt.
