Soit la fraction
ea effectuant, selon la règle ordinaire , la division de a' par a^bx^ on trouve au quotient une suite de termes dont la loi se manifeste promptement. On peut encore écrire la fraction ainsi a!{a'\-bx)—'^ puis se servir de la formule du binôme. Mais la méthode des coefficients indéterminés conduira au même résultat, et sera plus commode lorsque la fraction sera plus compliquée.
Sans entrer dans les détails de la division, on reconnaît de suite que le quotient sera une série de la forme A+Bx+Cj^'+etc. ; c'est pourquoi Ton posera
= A+Bjr+Cj:*+Dj73+etc.,
a-jrbx
A, B, G, D,.... étant des coefficients à déterminer. !En multipliant de part et d'autre par df+^^, il viendra
x'+etc.
Or, le produit du quotient par le diviseur devant reproduire identiquement le dividende , on doit avoir
Aû = df', B^z-fAô = 0, Ca4-Bfc = 0, D<ï+C^=0, etc.,
d'où Ton tire
d b b b^ A=-, B=: A, C = B, D=^ C, etc.
Donc, en multipliant un coefficient quelconque par , on
obtient le coefficient suivant; ou, ce qui est la même chose,
bx chaque terme est le produit du précédent par . Ici la série
n'est qu'une simple progression géométrique. Maintenant considérons la fraction
al-^Vx
On posera semblablement
— fi— ^ = A+Bj:+Ca:'+Djf'-fetc. ;
U'k'bx-^'Cx
eo malliplianl du pari et d'autre par le dénominatear <t+b^+cx', il Tieodrti ^^^
+ A/A -i-Ui +Cl'\ ^H
+ Ac\ +Xic\ ^
ptm^ pourqueics deux meinbrCssoieut identiqae9,U faudra (jD'OBlM Afl ^ (/, Ba + Kf' = i', C<n- Bi- + Ac = 0 , I>a+CA-i-Rc = 0, etc.,
d'où l'on lir« les voleurs
« ' a ' i* rt
D = — -B C, eh:
Id on Toit que chaque coeflicient , à partir du 3", ost la somme des j
deux précédents multipliés respectivement p«r et , ou
qOé cbaqlit terme est la somme des deu\ précédents moltiplM
ex' bx par et .
Si l'on posait encore
' ^''^^^+f'^' -A+Bx+Cx+Dx'+etc., a+bx-^cx' + dx^ on verrait que chaque terme , à partir du 4°, se compose dès (rois
ilx'^ ex' bx précédents, midtipliosn'speclivemenl par , ,
£nGn, il diraient alors évident qu'en (^én«'al «ne TraclioadeU forme
it.'+b'x+e'x\...+h'x°'-'
a ■\-bx + ex' +kx"'
doit donner naissance à une suite dont chaque terme, à partir du (/«-I-1)'"", se composera des /« précédents multipliés respecli-
k h c b vement par x^, x°—'y... x , x.
On appelle récurrenu-s loutes les suites ainsi formées, et èclielle de relation l'eusembli: des quantités par lesquelles il faut multiplier plusieurs termes consécutifs pour avoir le terme suivant. On pourri dire aussi que la série est du X" ordre , du 2' ordre , etc. , selon le nombre des termes qui entrent dans l'échelle de relation.
Si l'expreKsion qu'on développe a un numérateur de degré plus
LEÇONS d'algêbrk. 547
élevé que le dénominateur, ou de degré égal , on voit , par la manière même dont nous déterminons les cocfGcients du développement, que la loi de la série sera toujours la même : seulement, elle sera retardée. Au reste , on pourra , si on veut, décomposer préalablement l'expression proposée en une partie entière plus une fraction ayant un numérateur de degré inférieur au dénominateur.
572. Dans ce qui précède j'ai porté l'attention uniquement sur les termes entiers du quotient, parce que je voulais faire remarquer la loi de leur composition. Mais si on voulait avoir le quotient exact, il ne faudrait pas manquer d'ajouter aux termes entiers la fraction provenant du reste de la division ; et, d'après les observations faites dans un cas analogue (553), celte fraction ne doit pas être supprimée, lors même qu'on prolongerait le quotient indéfiniment, à moioÉ qu'on ne prouve que dans ce cas elle doit devenir zéro. Or, il est facile de démontrer que c'est en effet ce qui arrivera si on n'attribue à X que des valeurs plus petites que l'unité et au-dessous d'une certaine limite. Mais je supprimerai ces détails , et laisserai au lecteur le soin d'y suppléer.
Retour des séries récurrentes aux fractions génératrices.
573. Une série récurrente étant donnée , on propose de retrouver la fraction génératrice.
Dans cet énoncé, on suppose la série récurrente ordonnée plir rapport à une indéterminée x. Soit
S = A+Bjc+Cx'+etc,
une telle série, ayant pour échelle de relation [px^>,qjo\ rx]. Puisque cette échelle contient trois termes, la fraction génératrice
^t de la forme
(£-\-Ux-^c'ôc*
a -H bx-\-cx^'\' da?*
Si oette fraction était donnée , on a yu que l'échelle de relation serait
— ~ a:^ — - 07% r — x\ Or, cette fractira peut s'écrire ainsi . a ' « «^ J
IH — x-i-- -c^-*- - x^ a a a
et alors on voit que les trois termes en x du dénominateur s'obtiendront sur-le-cbamp en prenant ceux de Téchelle de relation avec des signes contraires. Ainsi, on peut mettre la fraction génératrice sons la forme
1 — rx — qx^ — px^'*
et il n'y a plus qu'à déterminer a, ^, 7. A cet effet, on pose
;: Zl^Jll .=A4-Ba:+Cx'-hetc.;
1 — rx — qx — px
et comme en chassant le dénominateur Féquation doit devenir identique, On conclu}, en ne tenant compte que des trois premiers
termes,
a+pj?+7«r*=A+B |j:-hC
— Arj — Br — A^
Par conséquent on aura, pour la fraction génératrice,
ç AH-(B— Ar)jr+(C— Br~-Ay)jf'
1 — rx — qx — px
Par exemple , soit la série récurrente
S = l— 2x— :c"— 5jc3+4x*— etc.,
dont réchelle de relation est [^-^^ 4- 4a:', — 2jc]. Dans la formule ci-dessus on fera A=l, B = — 2, C = — 1, /?=!, ^ = 4, r=— 2; et on trouvera
- H-2a:--4jc*— jc''
574. Une série étant donnée, on ç^eut reconnaître si elle est ré" currenle, et , dans ce cas, retrouver la fraction génératrice.
C'est à Lagrange qu'est due la solution que je vais rapporter. Soit la série donnée
S = A+ Ba?+Ca:'+Dx'+etc.
Cherchons d'abord si elle est égale à une fraction de la forme
a -^ a r— 1 et posons S = j— . De là on tire
a + bx a+ox
1 a+bx a h al a a
LEÇONS d'âlgâbrh. 549
donc le quotient de 1 par la série S doit être exact et de la forme p-^qx. Alors la fraction génératrice serait exprimée ainsi *•
p-^qjc
Si la division ne s'arrête pas au deuxième terme, la série ne sera
pas récurrente , ou elle proviendra d'une fraction plus compliquée.
Posons S= ; ;, on aura
a-^ux'\-cx
1 a + bX'\- ca^ V J7*
c'«8t-à-dire qu'en divisant 1 par la série S, si on arrête le quotient aux termes de la forme p-^-qx^ la série S.x* qu'on obtient pour
reste, et qui est toujours divisible par a?*, sera telle qu'après en
avoir 6lè ce facteur on devra avoir -^ = -; — 77— .
De là on tire
c'est-à-dire que la nouvelle division doit se terminer au 2* terme ; et alors, pour trouver la fraction génératrice , on aura les deux équations
-=p^qx+-x, g-=/».+y,^,
d'où
S. .' S p,+ qy
p + qx + ^X*
et par conséquent la fraction génératrice sera
Supposons que le quotient de S par S, ne soit pas exactement
B.+<7 X : si la série est récurrente, elle sera d'un ordre supérieur '^ ^' . ^ a'+b-jc+c'x'
m second. Examinons si on peut avoir S = a^i,j^^cx'+dx*'
De là on tire
TStf ^^ ISfiHi B'ÀtCtott. ^^
c'cït-à'diro qu'après avoir poussé jusqu'aux deux premiers termes le quotient de 1 par la série S, ou trouvera pour reste une série dont tous les termes cootïendront ^■' -, et que, si on désigne ce reste
par S.J"., ou devra avoir .— = — ; — 77 1— .
' ' •' S a + b'x+ej:-
Celle ^alitu donne
s, " " u"-<rb'j:
donc, ej» désignant par S j-' la série qu'on obtient pour reste après avoir pousse la divisîou de la série S par la série S, jusqu'au^c termes p,-^q,x., on doit avoir ^ = -;; — -p^. Uc cette dernière égalité on lire
Ici les opérations s'arrêtent; et, pour remonter à la fraction gcnéralrice , on aura les équations
d'où
p-i-qx-i- ^ X'
Il ne reste plus que quelques substitutions à efTectuer pour fomier la fraction égale à S.
Sans aller plus loin , le lecteur aperçoit sans doute que les opéntions successives, pour trouver les quotients /j4-?x,/j,+y,x, etc., et pour remonter ensuite à la rracliou génératrice, ont une analt^ frappanteavec celles qu'on fait pour réduire une fractiou ordinaire en fraclion continue et revenir ensuite à la fraction ordinaire. Celle observation tiendra lieu dérègle générale. Si la série est récurrente, on en sera averti lorsqu'on arrivera k une division qui donnera nn quotient exact de la forme p+qx.
Exemple. Supposons qu'on veuille savoir M la série des nombres 1,2,3, etc. est récurrente. Ce n'est point cette série nomériqne qu'il faut considérer, mais bien celle-ci
S = 1 + 2.r-i-3-r'+*J.-'+ etc. ; et alors voici comnMit les opCratlons s'esécuteol :
— 1 — 2jr — 3 x"— 4:r'— etc.
LEÇONS d'âlgébrk. 551
Division de 1 par S.
1 +2j:+ 3j:*+4'J:'+ etc.
— Î2U7 — 3x'— 4 j:'— 5jr ♦— etc.
