a^b'-'-ba^b^—iab

partiels

Produit. . . — 6<+ a^b^i9a'b'-^laV--iab\

La première ligne des produits partiels a été trouvée en multipliant tous les termes du multiplicande parle premier terme — 2à* du multiplicateur. Les signes du multiplicande ont été changés , parce que ce terme a le signe — .

La seconde ligne des produits partiels a été trouvée en multipliant les termes du multiplicande par le second terme— 3^zft du multiplicateur ; et on a dû changer encore tous les signes du multiplicande.

La troisième ligne des produits partiels renferme les produits de tous les termes du multiplicande par le troisième terme +b^ du multiplicateur; et comme ce terme a le signe +, on a conservé les signes du multiplicande.

Enfin, en opérant les réductions entre tous ces produits, on remplace +i0a'^b—9a^b par +a^b^ ^aW+iba^b^'+Sa^b* par +i9a^b*^ +la'b^—5a'b^ par — la^b^. Alors on a le produit cherché, tel qu'il est écrit plus haut.

40. Quand on veut ordonner des polynômes par rapport à une lettre, il peut arriver qu'il y ait plusieurs termes où cette lettre soit affectée du même exposant. Dans ce cas on ordonnera ces tçrmes entre eux par rapport à une autre lettre , comme on le voit \ dans le polynôme ax"" — x*+a'x — àx—a. Il contient deux termes en X* qu'on a ordonnés entre eux par rapport à ^z, et au^si »^ deux termes en x qu'on a ordonnés de la même manière.

Mais le pins soiiTent on réunira les termes qui contiennent une même puissance de x en un produit dont cette puissance sera un iacteor. Ainsi on remarquera que le produit (a — l)x'= ax^ — j:% que (tf'-i-û) a:=a^x — ax^ et en conséquence le polynôme ci-dessus s'écrira sous cette forme : (a — 1) x^-iia^ — a)x — a.

Pour oSrir Texemple d'une multiplication dans laquelle on emplme cette seconde manière d'ordonner, je prepdrai le suivant :

— {i:fi^a')x'—(a^—a')x*'\'\a^x (a*^i)x*'h {a*^a) x^—{a*'—a^^'\^)x*+a^x.

On considère dans chaque polynôme tous les tames qui contiennent une même puissance de x comme n'en formant qu'un seul, et on suit la règle générale du n<> 37. Mais alors, parmi les opérations partielles , il y a des multiplications de polynômes. Ainsi , pour multiplier le midtfplieande par {a-hi)x^^ qui est la première partie du multiplicateur, on aura à multiplier a — 1 , a^ — a et — a par a*hi . On trouve que ces produits sont a^ — 1 , a^ — a , — (a'+tf ) ; et ce sont eux qui, dans la premi^e ligne des produits partids, sont placés devant les puissances j:^, x^, j^. On forme de même la seconde ligne. Les commençants doivent surtout avoir grand soin de ne point commettre d'erreur dans les signes.

41. An moyen de la moiCipliëation , on démontre plusieurs propositions d'un usage très-fréquent. Effectuons les multiplications d-après :

a» — ab —ab-\^V

Q*+ab —ab-^V

£^^2ab+b%

Le premier produit est le carré de <v\h ; et comme les lettres A et 6 peuvent représenter telles quantités qu'on voudra , on conclut que le carré de la sqmmç ele deifx qi^ir^ités contient le

32 LEÇONS d'aLG^RE.

les restes ou dividendes partiels ordonnés comme le dividende primitif. La disposition des calculs est d'ailleurs la même qu'en arithmétique.

S'il restait quelques nuages dans l'esprit du lecteur, l'exemple suivant achèvera de les dissiper.

• Dividende, Diviseur.

— 1 4a*4-âîâ<5=l4^a'A*

Quo^ent.

I*' reste. • . — 6a^b-^ '}a'b* — 3a*i' — aafc*

a* reste ... — 2a*/»''-|»3a*6' — aai*