aaV--3aV-f.2aM

3* reste. . . 000

Après avoir ordonné les polynômes par rapport aux exposants décroissants (}6 .la lettre a, et en supposant que le quotient soit aussi ordonné de la même manière, on est certain que le l** terme 14a^ du dividende est le produit du 1" terme 2a* du diviseur par le 1^*^ terme du quotient ; de sorte qu'en divisant 14a' par 2a* on connaîtra le 1""' terme du quotient. Ce terme doit être positif , connue résultant de la division de deux termes positiiEs (26) : il est ^al à 7a\

Alors on multiplie le diviseur par 7a\ et on soustrait le produit du dividende. A cet effet, on écrit les termes de ce produit, en changeant leurs signes , au-dessous du dividende , puis on fait les réductions. On obtient ainsi le V^ reste.

Dans ce reste , le 1" terme est — 6a* b , et en le divisant par 2a* on obtient — 3a*b pour le 2® terme du quotient. On multiplie encore le diviseur par ce terme, on pose encore les produits partiels, en changeant leurs signes, au-dessous du V reste, et après la réduction , on a le 2® reste.

Enfin , le 1®' terme de ce reste est — 2a'i*, et en le divisant par 2a% on trouve que le 3® terme du quotient est — ab\ On forme le 4"^ reste de la même manière que les précédents ; mais ici ce reste | étant zéro , on en conclut que lopération est terminée , et que le quotient cherché est 7a' — 3a'i — ab*.

Continuation. ~ Division dans les cas le; plus compliqués.

46. Quand on ordonne , par rapport à une lettre , les poly'noÂés qci'on veut diviser , il peut arriver que plusieurs termes

LEço?is d'algèbre. 33

coDtieiiiMiit cette lettre an même degré. Alors on doit aToir soin dordonner ces tennes entre enx par rappc»*! à une autre lettre. Par excm|de, s'ils*agit des tennes abxH^*x^ — b*x* qui contiennent tons trois .r\ on les ordonnera par rapport à a, et on les disposera horizontalement de l'une de ces deux manières ,

on bien Terticalement, de Tune de ces deux-d f

+abx'

+ab

Quelle qac soit celle qu'on adopte , on y reconnaît avec la même facilite que a^x* est le 1'' terme , que -Hzfrx* est le 2% et que — 6'jr"cstle3*.

Alors on pourra suivre tout à fait, pour la division , la marclic qui a été tracée dans Farticle précédent ; car il est clair que dans chaque division partielle le l*' terme du dividende de>Ta toujours être le produit du 1^ terme du diviseur par le l*' de ceux qui sont à trouver au quotient. On obtiendra ainsi tous les termes du quotient, ordonnés entre eux de la même manière que le dividende et le diviseur.

47. On peut encore se représenter dans la pensée tous les termes de chaque polynôme, qui contiennent une même puissance de la lettre par laquelle on a ordonné d'abord , comme ne formant qu'un seul terme ; et alors les divisions partielles pourront être elles-mêmes des divisions complexes qu'il faudra elToctner à part.

Pour nous convaincre de l'exactitude de ce procédé , prenons deux p(dynomes ordonnés par rapport à x , tels que

Aj:^-HBj:'+Cj:+D, Mj:"+Nj:4-P,

et supposons que les lettres A , B,... P, représentent des quantités complexes qui ne contiennent point x. Il est clair que , daus le produit des deux polynômes , la partie qui contient x au plus haut [depré est égale à Ajt^xMj:* ; donc, réciproquement, en divisant cette partie par Kx^ on retrouvera la partie Mx% qui contient les termes de l'autre facteur dans lesquels x a le plus haut exposant.

34 LEÇONS D'ALGifctRE.

On voit que le raisonnement est exactement le même que si les verses puissances de x n'étaient multipliées qne par des monoi L'exemple suivant lèvera toutes les difficultés.

N, B. Les termes affectés de la même paissance de x sont ordonnés e lonne ; et , pour abréger, on n^écrit pas les termes qui doivent détrui I" colonne de chaque dividende partiel. Par la même raison, on sous-en dans chaque reste les colonnes du dividende qui devraient s'y placer altération.

—'ia*b'*

J-aa'i<

— ab'

^ab'

^b 1x3— a'^b +aV — a*b^ + a*b* — ab'

+ à'bHx'+a^b^x.

— a'A*jr+a*5«

-^ab

x^-^a^ù -ab'

i^ division partielle.

a^^-a^b+a^b'-^ab^ — a*+ a^b

— a b^+ab^

a* — ab

a* division pat' tielle.

+ a^b^aV}*

a*—ab

*b^ab»

3* division partielle.

--a^'b^-rab^

a*^ab

48. Gomme dernier cas de la division , je mentionnerai celi le diviseur ne contient point une lettre x , p^ rapport à laqi on a ordonné le dividende. Soient A j^'-hEx+C ce dividende, et diviseur qui ne contient point x. Pour que le quotient mull par M reproduise le dividende , il faudra que cq quotient

LEÇONS d'algAbrk. 35

tienne les mêmes pnissances de x qac le dividende, et qu'en multipliant par M les parties de ce quotient qui renferment ces puissances, on retrouve Aj:'+Bj:+C. Donc, pour faire la division proposée , on doit diviser séparément par le diviseur les parties du dividende affeclées des diverses puissances de x,

4-9. Quelquefois on peut décomposer le dividende en facteurs de manière que le diviseur y soit en évidence ; il suffit alors de le supprimer pour avoir le quotient. Par exemple, soit à diviser

jc* — \aa?'\-\(Cx* — kVx* par x^ — 2ax-\'2bx.

On observera que les trois premiers termes du dividende sont le carré de x* — 2ax (41) , et que de ce carré on retranche ^b*x* qui est le carré de 2bx. Le dividende est donc la différence des carrés des deux quantités x* — 2ax et 2bx : par conséquent il est égal au produit de la somme de ces deux quantités , multipliée par leur différence (41) ; et, en se bornant à indiquer la multiplication , il peut s'écrire ainsi :

{x"— 2ax + 2bx) ( j:'— 2ax — 26x) .

Le premier facteur est le diviseur proposé ; donc l'autre facteur est le quotient. Il n'y a qu'une très-grande habitude du calcul qui puisse suggérer de pareilles décompositions.

Gontiaiution. — A quels symptômes on reconoatt U possibilité ou rimpossibilité

de U division.

50. Dans le n? 45, pour découvrir le procédé de la division, on a supposé que le dividende était un produit du diviseur par un polynôme inconnu. Je vais montrer qu'on peut reconnaître, par œ procédé même, si cette condition a lieu ou non : c'est-à-dire, en d'autres termes, qu'on apprendra si la division est possible ou si die ne l'est pas.

Supposons, pour fixer les idées , qu'on ait ordonné par rapport aux puissances descendantes de la lettre x. Il est clair que dans le 1* terme de chacun des restes successifs, l'exposant de :r est moindre que dans le 1«^ terme du reste précédent; par conséquent on doit nécessairement arriver à un reste nul, ou à un reste dont le 1^ terme contienne x à un exposant moindre que le i*' terme du diviseur.

Dans le premier cas , la division est possible. En effet , c-est en retranchant du dividende les produits du diviseur par les différents termes do la quantité placée au quotient qu*on est arrivé au reste zéro : or, c'est la somme de ces produits partiels qui compose le produit du diviseur par la quantité écrite au quotient ; donc le diyidende est égal à ce produit.

Dans le second cas , il est évident que le 1" terme du reste ne pourra pas se diviser par le l^** terme du diviseur. Or , quand on suppose que le dividende est un produit du diviseur , on a vu dans les raisonnements du n° 45 que cette division doit donner un terme du quotient ; donc , puisque cette division est impossible , celle des polynômes proposés Test également. Ainsi , la division ci -dessous est impossible , et la raison en est que le 1*' terme du reste 3a:— 1 ne peut plus se diviser par le 1" terme x* du diviseur.

Quelquefois l'impossibilité de la division se manifestera sanâ pousser l'opération aussi loin , attendu qu'il peut y avoir dans le 1^^ terme du diviseur différentes lettres qui empêchent les divisions partielles. Il convient même , avant de commencer l'opération, de porter son attention sur chacune des lettres communes aux deux polynômes proposés ; et si , pour Tune d'elles , il arrive que les termes qui, dans le dividende et le diviseur, la contiennent respectivement au plus haut exposant ou bien au plus faible, ne soient pas divisibles Ton par l'autre , on sera certain que la division proposée est impossible. Cette observation doit s'appliquer aussi aux divisions partielles auxquelles le calcul peut conduire. I Dans le dernier exemple, on peut, si on veut, compléter le ' quotient en lui ajoutant une expression fractionnaire dans laquelle ' sera indiquée la division du dernier reste par le diviseur , et alors ' on aura

LEÇOKS u'alcébkk. 37

Le second membre do celte égalité est souTeal employé à )a place du premier; et ce qni rend cette traiisformation remarquable, c'est que, dans la partie fractiounaire , le aaméraleur ne contient plus j: à UD aussi haut degré que le dénominateur. En cela , elle a quelque analogie avec l'cxtraclion des entiers en aritlimétiqae.

SI. Il y a, pour reconnallre l'impossibilité de la division , un antre sy mptàme , qui se fonde sur ce que le terme dn dividende dans lequel une lettre a le moindre exposant doit provenir, sans iMactioa , de la multiplication des termes du diviseur et du quotient dans lesquels celte lettre a le moindre exposant. De là il suit qu'après avoir ordonné par rapport aux exposants décroissants d'one lettre , si on divise le dernier terme do dividende par le dei^ nier t^-me du diviseur, on doit obtenir le dernier du qnotient, c'est-à-dire celui où cette lettre a le plus Taible exposant. Par conséquent , lorsque les opérations successives conduisent à placer au ijDDtient cette lettre avec un exposant plus faible , on sera certain qnc la division est impossible : car 1^ opérations subséquentes ne donnerODt que des exposants moindres.

Dans l'exemple suivant , si la division était possible , le dernier terme du quotient devrait être +x* -. or le calcul conduit à mettre au quotient le terme — a:*, sans que la division.sc termine; on est donc assuré qu'elle ne doit pas se terminer , et dés lors il est inutile de la CDntinuer, à moins qu'on ne veuille efîectner la transformation dont j'ai parlé à la fin du numéro précédent.

x'+ x' — ax'-^aa* [ x*+j:^+fl

■i- a:'-\- 3? + aj*

52. Quand on ordonne par rapport aux puissances ascendantes d'une lettre , l'impossibilité de la division se mauifcste d'une manière analogue. Alors le dernier terme du dividende divise par le dernier terme du diviseur doit donner le terme du quotient où telte lettre a le plus haut exposant ; donc , si le calcul amène an quotient cette lettre avec un exposant plus fort , la division sera impossible.

38 I/EÇOHS D'ÂLGimB,

53. Je citerai ici deax exemples de division qui condoiseot à des résiillats remarquables, dont nous ferons asa^ plus tard.

Le premier exemple sera la dïTision de jr"— a" par x~a SI on divise les binomesx' — o', j;'— a', x*-^a*, par x—a, oq troare

= *'+ax+a',

= j^+aa^+a'x+a'.

On apercoitune loi fort simple dans ces quotients : l'Ions les termes sont additifs ; 2° le premier terme et le dernier sont formés en dtant Dne anîlé aux exposants de :>: et de a dans le diridende ; 3° dans l'interfalle , les exposants de x vont en diminuant d'une noitâ , et ceux de a en augmentant d'une unité , de telle sorte qoe la somme des exposants de j; et de a , dans chaque terme , est constamment la même.

En suivant cette loi , si on désigne par m un nombre entier positif quelconque , on devrait conclore

Les points indiquent ici une lacune qui doit Mre remplie par des termes qu'on sous-entend , et qui sont soumis à la même loi que les précédents. Ce quotient n'est établi que sur une simple analo^'ii; : a la vérilc, on pourrait y parvenir en divisant immédiatement j:"— tf" par j.— a , et en faisant attention à la manière dont <:haiiue terme du quotient se trouve formé i mais il sera plus simple de le vérifier en le multipliant par le diviseur a:— a. Il vient alors

—ax"—' — a'x^—

Or, 11 est évident que dans la première ligne chaque terme , à partir du second , doit avoir au-dessous de lui un terme égal et de signe œntraire par lequel il est détruit, de sorte qu'après la réduction on retrouve le dividende x" — a".

Le deuxième exemple sera la division da polynôme x'^+px^-* •f jj?*""* . . .+tx+u par X — rt.

jr*-+pj:*— ' -fjj::*-*. . . .^Hx+u

a:— tf

En divisant j:"» par x , on a jc*-" pour le 1*' terme du quotient. Dans le premier reste, la partie en jt*»-' est {a-\-p)x''-'' : on la divise par x, et on obtient {a+p)x'^^ au quotient. Dans le reste suivant, la partie en x»"-^ est (a'-fpa-h^)x'"— • : on la divise par j: , et on trouve {a^+piH^)x"'-^ .

En continuant de la môme manière , et en considérant toujours comme un seul terme tous ceux qui renferment la même puissance ie X, on aperçoit clairement que chaque terme du quotient se forme du précédent en le multipliant par a , en ajoutant au produit le terme qui a la même puissance de x dans le dividende , et en divisant ensuite par x.

Il suit de là que , dans le quotient , la partie indépendante de x sera «"•-« +par"-^ +^a™-3 . , .4.^, si on multiplie le diviseur par cette quantité , la partie en x détruira celle qui doit se trouver dans le dénier dividende partiel, et il viendra , pour reste ,

La division s'arrête ici , et Von doit remarquer que ce reste n'est autre que le dividende dans lequel on remplacerait x par a.

Lorsque ce reste est nul , la division se fait exactement. Ainsi , on peut déjà regarder comme démontrée la proposition suivante , dont l'importance sera reconnue plus tard : Si a est une quantité qui y mise à la place de x, rende le polynôme x'"4-px"""*4-etc., égal à zéro , ce polynôme sera divisible par x — ^a.

FraclioiM ilgébriquet.