On donne le nom de fractions algébriques à des exprès
sions telles que —, - — j , qui indiquent le quotient d'une division , soit qu'on puisse reffectuer ou qu'on ne le puisse pas.
Si le& numérateurs et les dénominateurs étaient des nombres entiers, il est évident que ces fractions devraient entrer dans le calcul par les mêmes règles que les fractions de l'arithmétique. Mais comme ils peuvent représenter des quantités quelconques, quelques explications nouvelles sont nécessaires.
55. Désignons par a eib deux quantités quelconques , et par q leur quotient , on aura
y =^, d'où az=zbq.
Si on multiplie a et bq par une quantité quelconque m , il vient
am=^bqm ou am^=.qy<J)m ^ donc -, — = ^. Mais q représente le quotient de a par b ; donc
am a
bni b '
De là on conclut, comme en arithmétique, qu'une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ou quand on divise ses deux termes par une même quantité, s^ Do ce principe résultent aussi , comme en arithmétique , la simplification des fractions et leur réduction au même dénomi* nateur.
La simplification d'une fraction s'opère en supprimant les facteurs communs à ses deux termes. Ainsi
i2a'bc' 2c a* ^W a—^b iSa^bc'" 3â' 2a+4ft "" 2~'
La réduction des fractions au môme dénominateur peut se faire en multipliant les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres. Mais il convient de rappeler que s'il y a des facteurs qui appartiennent à plusieurs dénominateurs , on obtiendra un dénominateur commun plus simple en prenant chacun des facteurs qui entrent dans les dénominateurs des fractions proposées , et donnant à chacun la plus haute puissance dont
il soit affecté dans ces dénominateurs. Par exemple, soient les fraclions
Les trms dénominateurs peuvent s'écrire ainsi :
2'X5X^V, 3'x2XaV, 3'x5Xa'ft\
Alors , on prendra chacun des facteurs avec son plus haut exposant, et le dénominateur commun sera 2^x3*x5xa'^'(?', ou 360a' 6' c^ (*). Pour réduire les fractions à ce dénominateur , on le divise d'abord par chaque dénominateur successivement , ce qui donne les trois quotients ^a*c* , 202^' , 8c3 ; ensuite on multiplie les trois numérateurs respectivement par ces trois quotients ; enCn on place sous les produits le dénominateur commun 360a'6V , et les trois fractions deviennent
27aV 1406' 88c'
360a*iV' 360a'6V' 360a'6V
Si avec les fractions on a des quantités de forme entière , on poiiTa donner à ces quantités le dénominateur commun , après les avoir multipliées préalablement par ce dénominateur.
56. Quand on veut réduire en une seule fraction plusieurs termes qui ont des dénominateurs différents, on commence par les réduire au môme dénominateur , et alors on aura des expressions
comme celles-ci
abc
dans laquelle les lettres désignent telles quantités qu'on voudra. Si on multiplie chaque fraction par m, l'expression entière sera multipliée par m , et on aura a^-^c. Or, en divisant ce produit par m^ on doit revenir à la première quantité ; donc
abc a+b — c m m m m '
(*) En arithmétique, pour trouver le plus petit nombre divisible par des nombres donnés, sans les décomposer en facteurs, on s'élève successivement aux multiples de l'un d'eux, jusc^uà ce qu'on en trouve un qui soit divisible par chacun des autres nombres. Pour abréger, ce sont les multiples du plus grand nombre qn il conyient d'essayer.
49 LEÇONS d'aloébri.
Ainsi , après avoir réduit les fractions an même dénominateur , on fait, sur les numérateurs , les additions et les soustractions qu'on devait faire sur tes fractions, puis on donne au résultat le dénominateur commun.
Considérons les multiplications et les divisions de fractions. Soient
On devra avoir /?&«sa, qdzsc; donc pbXqd=saXc ^ ou pq X bdssac. De là on tire /
ac
donc on multiplie des fractions entre elles en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
De cette règle on conclut celle de la division. £n effet , elle donne •
ad c adc a
bc d bcd b '
donc -j— est le quotient de - par ■-, : or, la quantité -j— est aussi
d d égale au produit t X - ; donc on divise une fraction par une
fraction en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
Les quantités entières seront comprises dans les fractions en leur donnant Tunité pour dénominateur.
57. Pour donner un exemple de calcul algébrique, je proposerai de simplifier cette expression
En réduisant chaque terme entier en fraction de même dénomina- teur que celle dont il est suivi , puis renversant la quantité frac^ =
tionnaire qui sera en diviseur, pour la mettre en multiplicateur, cette expression devient
2^*— fc* ab—V a+b 2a a-^b b
Après qu'on aura multiplié les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, il est fticile d'apercevoir que 6 et a + 6 seront des facteurs communs aux deux termes de la fraction résultante. On peut donc les supprimer, et on aura
2a Si on juge à propos d'effectuer la multiplication , il viendra
et même , s'il y avait quelque utilité à diviser par 2a tous les termes du numérateur, on pourrait écrire
û — aô h — .
Comme exercice , je proposerai encore au lecteur d'effectuer la transformation suivante :
(a b\ { a-^-b a — b\ \ a) Xa-^b a^b)
[a^ — ab'-b^)[a-\-b) 2ab\a'^b)
De l'exposant séro et des ezpo<ianti oégalift.
58. Quand on divise l'une par l'autre deux puissances de la même quantité , telles que a*» et a" , la règle des exposants (43) donne
Les raisonnements qui ont conduit à cette règle supposent l'exposant du dividende plus grand que celui du diviseur ; mais je vais montrer comment , au moyen de conventions nouvelles , la même règle peut s'étendre aux autres cas.'
Supposons d'abord qu'on applique cette règle aux cas où les deux exposants sont égaux : on trouvera a® pour résultat. Or , l'exposant d'une lettre indiquant le nombre de fois que cette lettre est prise comme facteur (10), et l'expression a° ne pouvant recevoir de cette déCnition aucune interprétation, on reste maître de lui donner tel sens qu'on veut. Mais comme elle vient d'une division dans laquelle le diviseur est égal au dividende , et qu'alors le quotient est toujours l'unité, on est convenu de regarder l'expression ^o comme équivalente à Tunité. Ainsi désormais, toute quantité qui aura V exposant zéro sera égale à 1 .
Supposons , en second lieu , que l'exposant de a dans le diviseur surpasse celui du dividende et qu'on ait ?i=m-\*p. En appliquant encore la règle des exposants , on aurait pour quotient a"'' ; et cette expression, dans laquelle l'exposant est négatif, ne peut ellemême avoir aucune signification si ce n'est en vertu de quelque convention nouvelle. Toutefois , on aura soin que cette convention permette de considérer la puissance négative a^p comme le quotient de a"^ par a'^+p. Or, si je remarque que ce quotient peut se repré-
senter par la fraction ^ , , qu'on peut le simplifier en divisant
les deux termes de cette fraction par a*», et qu alors il devient —,
on est naturellement conduit à regarder l'expression a-'P comme
équivalant à — ; c'est-à-dire que toute quantité affectée dun
exposant négatif équivaut au quotient de V unité dii^isée par cette même quantité^ après qu'on a changé le signe de son exposant.
Au moyen des nouvelles conventions qu'on vient de faire connaître, on aura toujours, m^in étant des nombres entiers positifs quelconques ,
Par suite , on aura aussi
= — X •— X — = /z'"-''fr"~'c/'-'.
59. On emploie quelquefois l'exposant zéro pour conserver la trace d'une lettre que le calcul fait disparaître ; et l'exposant né-
LECOMS d'algèbre. 45
galif , pour présenter une quantité fractionnaire sous Torme entière. (Test ainsi qu'on écrira
2a'b*x* ^ a^ b' a:' ^ ., abx a b or
3^^* ^1,, 1 1 « .,. , ,». -— - = 3aV X - X -^ = 3aVc-"^'.
60. Puisque les exposants négatifs sont admis dans les expressions algébriques , il faut chercher les règles suivant lesquelles ils doivent se combiner dans les calculs. Or, il est digne de remarque que ces règles sont toutes comprises dans mêmes énoncés que celles qui ont été trouvées pour les exposants positifs. Rien de plus simple à démontrer.
Par la nature des exposants négatifs , on a
1 tf*
Qm. pn ^w 4- «
Dans chacun de ces produits , l'exposant de a est la somme des exposants des facteurs. Ainsi , dans la multiplication des puissances d'une quantité , l'exposant de cette quantité est toujours la somme des exposants des facteurs. Par une conséquence nécessaire, on conclut que, dans la division, l'exposant du quotient s'obtiendra toujours en retranchant celui du diviseur de celui du dividende.
61. Tout ce qui a été dit dâhs la division des polynômes repose principalement sur cette proposition , que , si deux polynômes et leur produit sontf)^donnés par rapport à une même lettre , le pre* mier terme du produit est le produit des premiers termes des deux facteurs , et le dernier terme est le produit des derniers termes de ces facteurs. Or, cette proposition subsiste également quand il y a des exposants négatifs ; par conséquent la théorie de la division n'aura aucune modification à souffrir.
Quand on ordonne des polynômes par rapport aux exposants décroissants d'une lettre quelconque x , il faut bien faire attention à l'ordre qu'on est convenu d'établir entre les grandeurs selon leurs signes. D'après le n** 20 , les exposants négatifs devront venir
après o^, c'est-à-dire après les termes qui ne contienaent point x ; et , parmi ces exposants , ceux qui sont les plus forts en valeur absolue devront être rangés les derniers. Exemple :
2ax'— ahx-\' ab^-^ a*b*x-' — ■ a?b*x-* .
Cela posé , si la proposition dont il s'agit ne semble point assez évidente , on pourra la démontrer comme il suit. Soient A et B deux polynômes quelconques ordonnés comme ci-dessus, et désignons par k un nombre positif supérieur au plus grand exposant négatif qui se trouve dans A et B. Si on multiplie A et B par x^ sans troubler l'ordre des termes , on aura deux nouveaux polynômes A' et B' qui uq renfermeront plus que des exposants positifs , et qui seront encore ordonnés par rapport aux puissances descendantes de x. De plus , il est clair que si les premiers termes de A et B sont ax"^ et bx"" {m eX n pouvant être des nombres négatifs ) , ceux de A et B' seront ajc'»'^* et ^j:»"+"* ; donc , ai multipliant les nouveaux polynômes l'un par l'autre, le premier terme du produit sera
Semblablement, si les derniers termes de A et B ^ni/x? et gx^^ ceux des nouveaux polynômes seront fxP"^^ et gvrî"*"* ; et par suite le dernier terme de leur produit sera
Le produit des nouveaux polynômes est égal à Ax^xBo:* ou ABx=**, et il est évident qu'en le divisant par jc»* on reviendra au produit AB des polynômes primitifs. Mais par-là le produit ne cesse pas d'être ordonné , et ses deux termes extrêmes se réduisent à
abx"^-^^ et fgxP'^H :
or, c'est précisément ce qui était à démontrer.
LBÇONS d^loAbrjb. 47
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