CHAPITRE III
ÉQUATIOJfS DU PfiEMIER D£GRi.
Quelque* définitions.
62. Revenons aux questions dont la solution exige les rcsioaroes de l'algèbre. Si on se reporte à ttlle qui a été traitée dans le n^ 16 , on remarquera qu'après avo^désigné par x la plus petite partie du nombre à pariMir, fÊk b Texcès de la moyenne sur kplos petite, et par c TexoMpla pMrgrande sur la moyenne, on t reconnu que k sonmie 3x+2fr-Hr devait être égale à ce nom- Iffe ; et , comme ce nombre était représenté par a , on a posé
régalité
De là , ensuite , on est parvenu facilement à la valeur de x.
Proposons - nous encore ce problème : Trouver un nombre dont le quintuple diminué de i3 soit égal à son triple augmenté de 11.
En représentant par x le nombre inconnu , son quintuple diminué de 13 sera exprimé par 5x— 13 , et son triple augmenté de 11 sera exprimé par 3j:+11. Or, d'après l'énoncé, il faut que ces deux quaqtités soient égales ; donc on doit avoir
Ajoutons 13 à chaque membre de cette égalité, puis retranchonsei| 3.r , on aura
ou bien , en effectuant les réductions ,
Alors en divisant par â on obtient
48 LEÇONS d'aloèbre.
c'est-à-dire que le nombre cherché est 12. En effet, si on ôte 13 da quintuple de 12 , il reste 47 ; et si on ajoute 11 au triple de 12, on trouve encore le même nombre^ 47.
La question précédente ne renfermait qu'une seule inconnue, et elle n'a conduit qu'à une seule égalité. D'autres questions pourraient contenir plus d'une inconnue et donner plus d'une égalité. Mais quel que soit le nombre des inconnues , la solution de la question devra toujours offrir deux parties bien distinctes. Dans la première , on exprimera au moyen des signes algébriques les relations entre les quantités connues et les quantités inconnues, ce qui mènera à égaler entre elles certaines expressions ; et , dans la seconde , on déduira de o^ égalités les valeurs des inconnues. La première partie ne peut As soumise à aucune règle précise ; mais la deuxième est assujettie Mks JH^ générales qui font l'objet principal de l'algèbre, et d||pp vaXommencer l'exposition après avoir expliqué quelques nouvelles c[m)minations dont l'usage est continuel.
63. Lorsque deux expressions algébriques ne sont pas actuellement égales , mais qu'elles renferment une ou plusieurs quantités inconnues qu'il faut déterminer de manière qu'elles deviennent égales , on les joint par le signe = , comme si elles étaient actuellement égales , et Ton donne à l'ensemble des deux expressions , ainsi réunies , le nom dH équation.
Par exemple , désignez par x une quantité inconnue , et posez
ce sera là une équation. La quantité 2ji:+3 étant la même chose que jc+7+:c— 4, on reconnaît sur-le-champ qu'elle ne peut devenir égale à x-\-l qu'en donnant à x la valeur 4.
Lorsqu'on peut démontrer que deux expressions ont des valeurs égales et qu'on joint ces deux expressions par le signe = , elles constituent une égalité.
Ainsi, en posant
(07-M)(a7— 2) =jr*— j:— 2,
on aurait une égalité : car en effectuant le produit {x+i ) (o7— 2 ) on trouve x* — x— 2.
Si on désigne par a^b^c^d^ quatre quantités connues en proportion géométrique , et qu'on écrive ax«?=frxc, ce sera encore là
LftçoNS d'algAbiuc. 40
me égalité : car il est démontré que dans toute proportion §^métrique le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.
Si les deux quantités séparées par le «igné *s sont égales et exprimées tout à fait de la même maniàre, elles fcMment une idetilité.
Par exemple, on a des identités quand on écrit
Qu'il s'agisse d'uni» équation, d'une égalité, ou d'une identité, il est inutile d*avertir que les noms de premier membre et de second membre désignent toujours les deux quantités séparées par le signe =.
64. D'après les définitions précédentes, quand on parle Adéquations^ on doit toujours entendre qu'il y a des inconnues à trouver , et que les valeurs de ces inconnues doivent être telles, qu'en les sobstiloant à la place des lettres qui les représentent , les équations doivent se changer en de véritables égalités. Le mot égalité rappelle des quantités qui sont actueUepient é^les, mais dont l'égalité doit être démontrée, si elle ne l'a déjà été. Enfin Yidentiié est une ^lité évidente d'elle-même.
Dans l'usage, on s'écarte souvent de l'acception rigoureuse des termes , et on confond l'équation avec l'égalité. Cela tient à ce que , dans les raisonnements , on a besoin presque toujours de supposer que les inconnues soient remplacées par leurs valeurs; et, comme ces valeurs doivent rendre effectivement les deu:;;: membres de chaque équation égaux entre eux, on conçoit que, sous ce ,point de vue, les équations deviennent des égalités.
Souvent aussi, lorsqu'on veut désigner une égalité telle que 3x4=2x6, ou (^z+l)(^— 1)=^*— 1, on se sert du mot identité : c'est que, par la pensée, on regarde ïés opérations indiquées comme déjà effectuées, et qu'alors en effet on aurait de ifraies identités, 12=12, oua'— l=a"— 1.
65. Déterminer les valeurs des inconniies qui sont engagées dans des équations , c'est chercher toutes les valeurs qui , étant mises dans ces équations à la place des inconnues , peuvent rendre les deux membres égaux entre eux. Cela s'appdie résoudre les équations.
Il suit de là qu'on peut vérifier les valeurs des inconnues , en les substituant dans les équation^ , et eu effectuant tous les calculs
50 LCÇONS d'algèbre.
indiqués dans les deux membres de chacune d'elles : les équations ' devront devenir identiques , c'est-à-dire se réduire à des identi- tés. On dit alors que les équations sont çérifiées^ ou bien encore ^ qu'elles sont satisfaites.
66. Les équations qu'on peut avoir à résoudre ne sont pas toutcfs également simples. Dans un très-grand nombre de cas, on les ramène à ne contenir que des termes joints entre eux par les signes + et — , dans lesquels les inconnues sont élevées à des puissances positives, et multipliées soit entre elles soit par des quantités données. Alors, ce qu'on nomme le degré d'une équation, c'est la somme des exposants des inconnues, prise dans le terme où cette somme est la plus forte.
Ainsi , par exemple , considérons les équations
[1] 2x — a^ib—x , [2] ax — by =cx — d^
dans lesquelles les inconnues sont x et y. Les équations [1] et [2 j sont du premier degré , l'équation [3] est du second , et l'éqoa^ tion [4] est du cinquième.
Quelques principes généraux relatifs aux équations. — Transposition des termes. —
Eyanouissement des dénominateurs.
67. On peut ajouter ou retrancher une même quantité deux membres d'une équation , sans que les pâleurs des inconnuer soient altérées. Il est évident en effet que les mêmes valeurs , qui satisfont à l'équation dans son état primitif, doivent y satisfaire également dans le second état, et t^ice persd.
68. De là il suit qu'on peut effacer dans l'un des membres d^une équation , une quantité qui est ajoutée ou retranchée à ce membre , poun^u qu'on V écrive dans Vautre membre avec un signe contraire. Cela revient évidemment à ajouter à chaque memhce cette quantité , prise avec un signe contraire à celui dont elle est précédée dans le membre où elle se trouve.
Au moyen de cette règle , on pourra faire passer d'un membce dans l'autre tels termes qu'on voudra , en ayant soin de changer leurs signes. C'est ce qu'on appelle la transposition des termes. Ainsi, qu'on ait l'équation
17jc— 3=:45+ll^.
ta
LEÇONS d'A^IRK. 51
Si on][Ycat mettre dans le pRmier ^Kmibre les termes qui contiennent Jc^ et les autres dans le secoml, on effacera vf llx dans le second membre et on écrira — llx dans le premier ; et pareillement on efiEacera — 3 dans le premier , puis on écrira +3 dans le cond. Alors l'équation devient
17a: — liJi:=i:45 + 3.
69. On peut aussi, sans que les i^àleurs des inconnues soient altérées ^ multiplier ou diviser' les deux membres d'une équation par une même quantité, poi^rvu ^ue cette quantité ne renferme aucune inconnue. En effet, Ic^ méq^cs valeurs des inconnues doivent évidemment smEa^e à Téquation dans les deux états (*). ^
Toutefois la proposition pourrait cesser d'être vraie , si la quantité par laquelle on multtelie (lu on divise les dciUx membres coutenait les inconnues : car ,|si cela était, ccifaines valeurs des inconnues, qui satisfont à Téiliation dans un des deilx états, pourraient n'y pas satisfaire dans l'autre. Par exemple, qu'on ait Téquation 2j:=4 , et qu'on mtttiplie chaque membre par.o: — 1 , il viendra 2x{a: — l)=4(x — 1) : cette dernière équation adtnettra évidemment la valeur x=^i , qui ne satisfait pas a la première, f
70. De la proposition j'récédentè il résulte que, si une quantité donnée est facteur dans les ùcux membres, on pourra simplifier l'équation en divisant les deux membre par cette quantité. Par ex^nple,siona ^
27a"6x+ i%ab = 9a*6'— 450^0:,. on pourra diviser tous les termes par Qa" , et l'équation deviendra
71 . Une autre remarque ,' qui découle immédiatenient de la même proposition , c'est qu'on peut changer les sigiils de tous les termes d'une équation : car cela revient à multiplier les deux membres par — 1. n est d'ailleurs évident (32) que , par ce changement de signes ,? les valeurs des deux membres ne font que changer de signe, et que par conséquent, si elles sont égales avant, elles le sont encore après, et i^ice {^ersâ,
(*) 11 est entenda , sans qa il soit nécessaire de le dire , que la qaantilé par laquelle on multiplie oi^ dÂyise léquation ix'est ni nulle ni intinie,
cl , en effectuant les réductions ,
Enfin , en divisant les deux membres par 5 , on obtient
De là on conclut que l'inconnue x est égale à 6. Et en effet remarquez que, d'après les principes des n®^ 68 et 69 , les équations successives par lesquelles on est passé doivent admettre les mêmes valeurs de x que l'équation [1]. Or il est évident que la dernière, jc=6 , est satisfaite en mettant 6 à la place de or, et qu'elle ne peut pas l'être autrement ; par conséquent il en doit être de même de l'équation [1]. Ce raisonnement s'applique à tous les exemples qui vont suivre.
Pour vérifler si les calculs ont été faits avec exactitude, on substituera la valeur de x dans l'équation , et on examinera si elle la rend identique. C'est effectivement ce qui arrive , car on trouve
successivement
