Exemple IV. Soit réqpiation

ibx X — h hx — (C X

Oh chasse d'abord les dénominatears att moyen de la règle dd n"" (72f) , ce qui revient à multiplier les dent membres de réqùafion r par la quantité \d{ct^^V) : on a ainsi

^hx{a^^V)'-kçi^[a'-h)[x-^b)^ka\hx'^d)^ax{a*—b\

Ensuite, pour mettre en éyidenée lés termes affectés de j: , on effec- tue les multiplications, et il Tient

^a^bx—^b^x-^àx-^Kà^bx^^^Kéb—KiCV

En transposant , réduisant et ordonnant, on trouve

"-^dx + ^dbx--aVx—^Vx = — 4tf ♦ - \db + 4« V.

D'af^rès la rmntrqoe du n"" 7l, oift mt^ pu donn^ lé fligliè4*iitt premier terme ^dx^ en ayant «ein dé changer tous les Apm de rdqftfâtîon. Dé cette manière^ k dernière éqnation eût été

%dx—t(ébx^*aVx^iib^x=^\d^%db—kdb^.

On peut récrire ainsi :

et par suite

\ct{d^ab^b')

Irè. ExEBiPtÉ V. Soît P*tMtion

[5] ^Lv, + 1 =

Comme l'inconnue x est engagée dans les dénominateur, On no voit pas comment tirer de cette équation.la valeur de j:, si on ne les fait pas disparaître. Miris en les chassant, il vient

2 +2x + 1 — jc' =? x^x^'^ puis , en transposant et réduisant ,

y LEÇONS d'4L0^RE. 57

J Remarque. Les règles pour chasser les dénominateurs sont fondées sur le principe du n° 69 , lequel peut cesser d*étre vrai quand rinconnuc se trouve dans la quantité par laquelle on multiplie ou on divise l'équation. Or, révanouissemenl des dénominateurs revient à multiplier toute Téquation par un produit divisible par chaque dénominateur; par conséquent, lorsquellnconnue entre dans les dénominateurs , et c'est ce qui arrivQ(|uApation [5] , il y â lieu d'examiner si toute valeur de x <M!Vfilfait à Téquation, avant la disparition de ces dénominateunN^Jatisfait encore après, et i^ice t^rsd.

Afin de n'effectuer que des changements qui n'altèrent point Tincomiue, tran^|[K>rtons le 2" membre dans le l^*", et réduisons tout ao même dénominateur : il vient

1— jt'

Si on égale le numérateur à zéro, on a a:= — 3 ; c'est la valeur trouvée plus haut , et elle convient véritablement à réqdation cidessas ^ car en la substituant à la place de x le 1""* membre devient égal à zéro. 11 est évident d'ailleurs qu'aucune autre valeur ne le rendrait égal à zéro ; ainsi , dans ce cas, on peut ne tenir aucun compte du dénominateur.

n n'en est pas toujours de même : car , dans certains cas , une valeur qui rend nul le numérateur d'une fraction peut aussi rendre nul son dénominateur , et ^ors la fraction peut n'être pas nulle. Je revieflRrai plus tard, avec quelques développements , sur cette observation, et en même temps je parlerai des i^aleurs ùifinies dont j'ai fait abstraction jusqu'ici. P^oj^ez le Chapitre V.

79. Laissant pour le moment ces difficultés de côté, je résumerai dans la règle suivante toutes les explications qui viennent d'être données au sujet des équations du 1*''' degré.

1® Chassez les dénominateurs^ s'il y en a ^ et effectuez les opérations nécessaires pour, que téquation ne contienne plus que des termes multipliés par Vinconnue ^ et des termes tout connus ;

2** Transposez dans le l*"* membre les termes affectés de Vinconnue, et dans le 2^ les termes tout connus ;

dP Donnez au l**" membre la forme dun produit dont Vim

60 LBGOivs d'algèbre.

Toutefois, on doit comprendre qu'une pareille vérification ne prouve rien pour le cas où Ton aurait d'autres équations à résoudre; par conséquent une dcraonstrafion, fondée sur le procédé même qui sert à trouver les valeut*s Aq9 inconnues , était indispensable pour prouver que ces valeurs doivent toujours satisfaire au^ équations.

82. Deuxième MÉTHODE, dans laquelle t élimination e$i /ake par suBSTrrùTioN. Reprenons les deux équations

[6] 3^— 7jr = 4,

et considérons toujours xetj- comme, représentant deux nombres qui satisfont à ces équations. De la première , on tire

On peut donc, dans la seconde équation, remplacer^ par cette valeur ; et cette équation , ne renfermant plus alors que la seule inconnue a: sans cesser d'être du V^ degré, servira à déterminer cette inconnue. La substitution donne

et de cette équation on déduit successivement

• 14x+8+15jr=66, 29j: = 58,

Cette valeur étant mise dans celle Aey, qui a été tirée de la première équation , on trouve encore

On a donc, pour jc ciy^ les mém* valeurs que tout à l'heure. Mais il faut s'assurer que ce nouveau procédé doit toujours donner des valeurs qui conviennent aux équations proposées.

Remarquons d'abord que la valeur j^=G ayant été trouvée en faisant jr—'I dans l'équation [S] , il s'ensuit que les valeurs jc=2 , ^•=6 , doivent satisfaire à cette équaiion. Or, en multipliant par 3 et remettant 7a: dans le prOBiier tnemluùe , cette équation devient

LEÇONS D ALGKBRE. 59 '

inconnue. Par les procédés établis dans le paragraphe précédent , on aura

En mettant cette valeur de x dans une des deux expressions de ^ , qui sont écrites plus haut , on connaîtra la valeur de cette inconnue. Il est d'ailleurs évident qu'en faisant cette substitution dans rone ou dans l'autre , on doit trouver le même résultat : car h valeur de x , ayant été déduite de l'équation [5] , doit rendre |idcsitiques les deux membres de cette équation, lesquels sont pré- \\ dsément les deux expressions de y dont il s'agit. La substitution étant faite dans la première, il yient

Ainsi les valeurs des deux inconnues sont

Par la manière dont ces valeurs ont été trouvées , on est certain qu'elles conviennent aux deux équations données. En effet, elles conviennent évidemment aux équations [3] et [4] ; et comme cellesd, en chassant les dénominateurs et en transposant dans le premier membre les termes en x, ramènent aux proposées [1] et [2], il s'ensuit que les valeurs de x et de ^ doivent aussi satisfoire à ces .équations.

Cette dernière remarque était nécessaire : car, pour arriver aux Taleurs j:=2,^=6, on a supposé qu'il y avait des valeurs de x et de ^ qui vérifiaient les deux équations données , et rien ne prouvait que cette supposition fût vraie. Il restait donc encore à examiner si les valeurs trouvées, pour :r et^, satisfaisaient réellement aux deux équations.

Dans cette vue , on aurait pu substituer ces valeurs immédiatement dans les équations, afin de voir si elles les rendent identiques. C'est en effet ce qui a lieu : car, par cette substitution, la première devient

3X6 — 7X2=4, ou 18—14 = 4, ou 4 = 4j

et la seconde »