X6+5X2 = 22, 1^ 12+10=22, OU

et en retranchant ces équations l'une de l'autre, membre à membre 9 on a

29j: = 58, d'où x^2.

Pour avoir ^ , on pourrait substituer cette yaleur dans l'une des deux équations proposées. Mais si on yeut trouver x psu* le mônoie procédé que x, on multipliera la première de ces éqpiations par 5 , coefficient de x dans la deuxième, et la deuxième par 7 , coefficient de jc dans la première. Par-là elles deviennent

puis en ajoutant celles-ci , membre à membre , oi;i a ■

29^=174, d'où 7=6. 3

On retrouve donc encore les mêmes valeurs , x=2 et ^=6 , que par les deux autres procédés. .

Cette troisième méthode est, comme on voit, assez simple; mais il importe, comme dans les deux précédentes, de faire voir . que lés valeurs de x et de j^, auxquelles elle conduit , ne peuvent \ pas manquer de satisfaire aux deux équations. Gomme ceci exigel des explications qu'il serait difficile de suivre sur des équatiom particulières , je représenterai les deux équations d'une manière générale par

Cela posé , si on les multiplie respectivement par des nombres quelconques m et n^ et qu'ensuite on les ajoute , on a wiA+nA' =/wB+/iB' ; et je vais montrer qu'on peut remplacer par cette équation l'une des deux proposées, la deuxième, par exemple: c'est-àdire que les deux équations [a] ont ab{K)lument les mêmes solution» que celles-ci

ib] ' [

wA + nA'=mB'hnB'.

En effet , si de la dernière on retranche le produit de la précédente par m , il vient nA' = nB' , ou, en divisant par n , A'=B^ ^ Donc, de même que le système des équations [b] est une coaW séquence du système [a], réciproquement le système [a] estoiM

LEÇONS d'algèbee. 63

conséquence du système [b]. Donc les valeurs de a: et de^^ qui con- Tiennent au dernier ne peuvent pas manquer de convenir aussi au prenuer. Or, si les multiplicateurs m et n sont choisis, conmie OQ le fait dans la 3* méthode, de manière que Féquation i7iA4'/iA'=/7iB+nB' ne contiennne plus j" , si de cette équation on tire la valeur de jt, et si on la substitue dans Téquation A=B pour en tirer la valeur de j^ , il est évident qu'on aura ainsi des valeurs de j? et de ^^ qui conviendront aux équations [b] : donc elles conyiendront aussi aux proposées [a].

Maintenant il faut encore justifier le procédé dans lequel on calcule la seconde inconnue de la môme manière que la première. Supposons, à cet eifet, qu'après avoir déduit des équations [a] , l'équation /nA+/iA'=/nB+/iB', on les multiplie de nouveau par d'autres nombres m' et n', et qu'on les ajoute encore. On aura une nouvelle équation m'A + 7i'A'=m'B+n'B' : et je dis qu'on peut aussi considérer les équations [a] comme des conséquences de celles-ci

r 771 A + «A' = mB + wB', *^^J ( m'A+»'A'=w'B+«'B'.

Pour le montrer, multiplions ces dernières respectivement par n' et n , puis retranchons-les Tune de l'autre : A' et B' disparaissent , et il vient

(mnf — nm!)A={mn' — /i/»')B, ou A=B.

Pareillement , en multipliant les équations [c] par mf et m , et en retranchant la première de la seconde , il vient

[mn'—nm!)M^{mn!-^nm')B\ ou A'=B'.

Ainsi, les deux systèmes [a] et [c] sont réciproquement une conséquence l'un de l'autre. Or, on peut choisir les multiplicateurs m, /ï, /n', n\ de telle sorte que la première équation [c] ne renferme plus^, et que la deuxième ne renferme plus x. Il est donc évident que les valeurs qu'on en tire immédiatement, pour x et j^, doivent convenir aux proposées. C'est ce qui restait à démontrer. 84. Remarques. J'ai supposé qu'on obtenait les équations [c] ^liar voie d'addition. Cette manière d'opérer comprend celle où Ton \^ploierait la soustraction : car si, par exemple, après avoir iltiplié les équations [à] par m et /t , on voulait rotranchcgr la 2*^

Çk LEÇONS p'aL6£BRE.

de la U% cela reviendrait évi dcmment à les ajouter après les avoifr a mullipliécs par m et — ji.

J'ai aussi supposé tacitement que mn' — nui' n'était pas zéro. Si a cela était, les équations dans lesquelles la quantité mn^ — nni' était i facteur des deux membres, se réduiraient identiquement à 0=^0, i et l'on n'en pourrait plus conclure A=B, A'=B'. U suit de là que, pour remplacer les équations [a] par les équations [c] , il faut choi- . sir m, n^ m\ n\ de manière qu'où n'ait pas m»' — «/;î'=0, ou,

ce qui est la même chose , = -7 : c'est-à-dire que les nombres m

et n ne doivent pas être proportionnels à m' et n'. Or, quand on fait ■ Télimination par RÉDUcTiON (83) , on prend pour m et n les ooeffi- i eienls de y dans les équations proposées , et pour m' et n' ceux de x' : si donc les coefficients de x sont proportionnels à ceux de j^, la méthode i^mblera en défaut. Cette diiGculté sera éclaircie ■ plus tard (131).

L'opération par laquelle on rend égaux les coefficients de l'inconnue qu'on fait disparaître est parfaitement analogue à la réduction des fractions au même dénominateur , et elle présente les mêmes simplifications. Par exemple, si les équations étaient

21jr4-20^ = 165, 77^— 30a: =295,

comme les coefficients de y se décomposent en 7X3 et 7X11, on les rendrait égaux en multipliant les équations respectivement par 11 et par 3. Semblablement , ceux de a: deviendraient égaux en multipliant les équations par 3 et par 2.

Les deux premières méthodes amènent le plus souvent des dénominateurs qu'il faut faire disparaître. Cet inconvénient n'a pas lieu dans la troisième j et même il est à observer qu'avec un peu d'habitude on pourra, quand les coefficients seront peu compliqués , ' effectuer d'un seul coup, comme si c'était une opération unique, et les multiplications qui réduisent à l'égalité les coefficients d'une inconnue, et l'addition ou la soustraction qui fait disparaître. cette inconnue.

Quoique méthode qu'on emploie, il est clair qu'après l'élimination d'une inconnue, l'équation résultante doit toujours donner la même valeur pour l'inconnue restante. Il suit de là que si , en faisant usage d'un procédé d'élimination, on ramène Téquation

LEÇONS D*4LGÉBRE. 65

résultante à la forme ax=:b, a et b étant des quantités cou naes , on sera sûr que tout autre procédé donnera ou la même éqaation , ou une équation gui ne différera de celle-là que par un facteur commun à ses deux membres : autrement, on n'aurait pas la même valeur pour x.

Résolatâon d'un nombre quelconque d'équations du it degré , contenant un farell

nombre d'inconnues. *