Soient les équations

Par l'une des trois méthodes connues, on îpourra éliminer Tinamnue z entre la première équation et chacu ne des deux autres. Si on emploie Télimination par réduction , il Tient sur-le-champ

Les valeurs de x die y devront satis faire à ces deux équations,

et par conséquent on saura les détermii ler. «^

Si entre ces deux équations on élimii le ^, toujours par réduction,

QD trouve

356a?=3560, d'oui x=10.

En mettant cette valeur dans Téquatic m [4] , on aura

380—3^=374, d 'où y— 2.

Enfin , en portant les valeurs de j: et y dans l'équation [1] , on a

40— 64-2z=40, d'où z = 3.

Donc les valeurs des trois inconnues -i seront x^ 10, ^= 2, z=^Z. n est bien évident que ces valei jrs sont les seules qui puissent ktîsfaire aot trois équations propc ;)sées; mais est-il certain qu'elles y satisfassent? Pour s'en assurer, ? .1 faut observer que, par la madère dont îfes valedhijnt été trou ! vées, on est sûr qu'elles doivent irtisfaire aux équations [1], [4], ' [5]. Mais, d'après ce qui a été eiil «posé n"" 83 , Féquation [2] est ui jie conséquence des équations [1] vonUt [4] ; et Féquation [3] est une co jnséqaence de [1] et [5] : donc les

66 LECons d'algâbrb,

valeurs de Ar, ^, s, qui vérifient les équations [1], [4], [t peuvent pas manquer de vérifier aussi les équations [1] , [2] ,

86. Eh généralisant le procédé qui vient d'être employé trois équations , on peut établir la règle suivante :

Pour résoudre plusieurs équations du 1*' degré en nomhr aux inconnueSy éliminez une inconnue entre l'une de ces tions et chacune des autres .* ^fous aurez ainsi de nouvelles lions, qui renfermeront une inconnue de moins, qui serc nombre égal à celui des inconnues restantes, et qui seront i du l***" degré. Opérez sur ces équations comme sur les proj. c'est-à-dire, éliminez encore une inconnue entre l'une de cei ifelles équations et chacune des autres. En continuant toi de même ^ ç^ous pa'rviendrez à une équation du i^^ degré q renfermera plus q.u'une seule inconnue. Alors, de cette de équation i^ous tirerez' la valeur de cette inconnue ; puis^ remc aux équations précé. dentés, ifous déterminerez successiç-^eme ifaleurs des autres int *onnues.

87. Quand on aperc. evra des facteurs communs à tous les I d'une éqiiation, il ne faiit pas oublier de les supprimer : par rendra les calculs plus sin iples*. Soient, par exemple , les équ

^ iOx' -^Qr + 30z = 60 ,

8arH^12ir— 16s = 80, 27jr- -18^ + 452 = 234.

On voit que la i "-^ peut se d mser par 10, la 2*^ par 4 , et la 3' En conséquence , au lieu d tefi équations ci» dessus, on aura soudre les suivantes :

L'éliminalion de a?, entre Ja V de ces équations et lej vautres, donne ces deux-ci

OU bien , si oto simplifie la dei tiière en la divisant par 4 ,

^- !• 2 as2,

LEÇONS d'alg^.biib. 67

ilion de y entre celles-ci donne

3z = 6, d'où z = 2.

ituc celte valeur dans l'équation .r — z=2, et il vient y — 2=-:2, d*où y^=^\.

a mot les valeurs de y et de z dans Téquatio:! j:*— 2>-|-3z

'on a

a-— 8+6 = 6, d'où xi=8.

n cas doit être prévu ici parce qu'il embarrasse quelqoeommencants : c'est celui où toutes les inconnues n'entrent ciiacune des équations. La méthode ne cliange pas pour iloment il y aura quelques éliminations de moins à elTecinme exemple, prenons les quatre équations

7tt— 13z===87,

lOr— 3j: = H,

2j:-- llz=50.

ible qu'en éliminant l'inconnue u entre les deux premières, n résultante ne contiendra que les deux inconnues x et s; léquent, en la joignant à la dernière, on aura deux équa- [ feront connaître ces deux inconnues. Ces deux équations

98j: -+-392=138, 2jr— llz = 50. ^

miner x , nuiltiplions la dernière éqaatûll^ar 49 , et rets-la de la précédente, il Tient ^ '■

5782 = — 2312, d'où z =— 4.

ons cette valeur dans l'équation 2x — llz=ôO, on a

2j: 4-44 = 50, d'où ar = 3. ' >

emonlons aux équations proposées, et mettons la falenr ms la deuxième ctla troisième : elles dev^ebuent

lOx— 9 = llJ 1^ = 2:

i valeurs cherchées sont a = 5,/=2,''a:=ss3, »=*— 4.

89. Le lecteur pourra s'exercer encore à résoudre les trois é lions

cx-\'az=zb^ bz-hcy =^a.

11 devra trouver

b'-^c'--a* fl'+c'— Z>' aT+b'—c' ■^ "" 2bc "^ "" 2ac ^ "" 2ab

90. Quand on propose de résoudre des équations du 1*' deg: nombre égal aux inconnues, il suit de la règle établie n** 86 existe, pour les inconnues , un système de valeurs propres à ^ fier les équations , et qu'il n'en existe qu'un seul. Toutefois il ne pas donner une trop grande généralité à cette conclusion : cai est sujette à des exceptions dont je parlerai bientôt (n*** 109—1

Supposons que le nombre des équations surpasse celui de connues, et que , par exemple, on ait cinq équations entre troi connues x^ y^z. On pourra considérer à part trois de ces é lions, lesquelles détermineront, sauf exception, un système que de valeurs pour a:, y^ z; et après avoir trouvé ces valei faudra examiner si eUes vériGent aussi les deux autres équat Or, à moins que ces équations n'aient été choisies d'une ma particulière, cette vérification ne doit pas avoir lieu, et par séquent il n'existera pas de valeurs, pouir les inconnues, puissent convenir aux cinq équations à la fois.

Supposons au contraire qu'il y ait plus d'inconnues que d'< lions: par exAple , trois équations et cinq inconnues x, j^, z, On pourra doÉjjk des valeurs arbitraires à deux inconnues, u puis déterminjcv^u moyen des trois équations, des valeurs co pondantes pour «r, ^, z. En changeant les valeurs de u et < aurait un autre système de valeurs ; et on en trouverait ainsi infinité. Mais il sera mieux de n'attribuer aucune valeur par lière à u ni à f', et de résoudre les trois équations comme si i étaient des quantités données. De cette manière on obtiendra , :r, ^, z, des formules dans lesquelles entreront u et p, et qi ront connaître les yaleurs de x^y^ z, correspondant à tellei leurs qu'on voudra de u et de v.

LKï'ONS d'à LU ËB RE. 69

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