X'-^-JU

jn

a-hb

Toîlà l'expression de la plus grande partie. Il faut en retrancher b fm avoir l'autre partie, et il yient

. __ tf-f-^ , a-^b — ûb a — b

^ |MDsi, pour calculer les deux quantités inconnues, on a les for-

WàBg

a-hb

rn-

Elles peuvent aussi s'écrire de cette manière

rtsous celle lbrm« elles font voir que, quand on connaît la tomme et la différence de deux quantités , la plus grande est f^le à la demi-somme plus la demi^dijference , et la plus pe» ^(e à la demi'Somme moins la demi-dijfférence. Supposons que la sutnine connue soit 36 et que la .différence toit 10 : on aura

la plus grande quantité = — - -+--— =18 + 5 = 23,

pltf

et la plus petite

Ces valeurs sont celles qui conviennent à l'énoncé particulier qui

I été proposé d'abord .

• 93. Problème II. Deux fontaines çersent uniformément leur tau dans le même bassin, et Ion connaît le temps que chacune, tpulant seule , met à remplir ce bassin. Combien de temps fau" irait-il pour le remplir, si elles coulaient ensemble?

72 LEÇONS d'algèbre. V

Je représente par a le nombre d'heures qu'il faut à la première fontaine, coulant seule, pour remplir le bassin; par h , celui qu'il faut à la seconde ; par x^ celui qu'il faut aux deux fontaines coulant ensemble.

Pour vériGer le temps x , s'il était donné , je chercherais la partie du bassin que remplit la première fontaine pendant ce temps ; celle que remplit la seconde pendant ce même temps; et les deux parties réunies devraient donner la capacité entière du bassin.

' Or, en prenant cette capacité pour unité , les parties de cette capacité, que fournissent les deux fontaines dans le temps x , sont les quatrièmes termes des proportions

donc , puisque ces parties réunies doivent donner le bassin entier, on aura l'équation

a b Si on chasse les dénominateurs , il vient

ab

bx'^ax=zab^ d'où x=i

Pour prendre un cas particulier, supposons que la première fontaine mette 1^^ à remplir le bassin, et que la seconde mette 2i>^. Il faudra, dans la valeur de x^ faire /ï=: i;. et 6=2J. Alors cette valeur devient

i;x2; Ixl 27 9

lï+2i J + l 30 10

94. Problème III. Un père ordonne par son testament que ^ Vaine de ses enfants prenne , sur le bien quHl laisse , une somme a ' plus la n"** partie du reste ; que le 2« prenne, après que faîne aura prélet^é sa part , une somme 2a plus la n^'^ partie du resle; que le 3* prenne , après le prélèvement de ces deux parts, la i somme 3a plus la n*°* partie du reste; et ainsi de suite. Or, il f arrii^e que tous les enfants se trouvent également partagés et que *' le bien du père est tout à fait épuisé» Quel est le bien du père ^ Id \ part de chaque enfant , ^t le nombre des enfants?

Si le bien da père était connu , on pourrait aisément former la part da 1«' enfant, et puisqu'ils sont également partagés, elle serait edie de tous les autres. Ensuite, en divisant le bien du père par œtte part, on aurait le nombre des enfants. C'est pourquoi je jn^ndrai pour inconnue le bien du père.

Si cettç inconnue était donnée , pour la vérifier, on formerait la part de chaque enfant , d'après la loi qu'indique l'énoncé ; et quand on arriTerait à celle du dernier enfant , le bien du père devrait être entièrement épuisé , et toutes les parts devraient être égales. Mais il est évident que la seule condition d'égalité entre la l'"" part et la 2' snflBra pour déterminer la valeur de l'inconnue , il restera donc encorej après l'avoir trouvée , à examiner si les autres conditions sont remplies.

Comme la solution du problème, considéré dans toute sa généralité , pourrait paraître trop diflBcile, je l'expliquerai d'abord sur des nombres particuliers. Par exemple , je supposerai que le premier eJifant prenne sur le bien du père une somme de iOOOfr,, plus le 5* de ce qui reste ; que le deuxième eîifant prenne , après que la première part aura été prélevée^ une somme de 2000 yr., plus le 5* du reste , ainsi de suite.

Soit a: le bien du père. Après avoir prélevé 1000 fr.,le reste est a: — 1000 ; par conséquent la part du le' enfant est

1000 + ou .... i'" part.

En étant cette part du bien total a: , il reste à partager entre les

autres enfants

4000+ jc 4jc— 4000