X — OU
Sur cela le 2» enfant doit prendre 2000 fr., plus le 5' du reste. Or, après avoir pris 2000 fr., le reste est
4x— 4000 4ar— i4000 2000 OU —
par conséquent, en ajoutant à 2000 le 5' do ce reste , on part du 2* enfant; savoir :
2000 + ^ OU tt: ....2'part.
74 *"" LEVONS o'algébrk.
Sans s'occuper des autres eofaDlg, on peut dès à présent former Téquation du problème. En effet, Jl'énoncé indiquant qu'ils sont tous également partagés, il faut que les deux premières parts soient égales j et de là résulte Téquation
4000 4-^ 36000+ 4 jc [Ij —5— = 25—-
En chassant les dénominateurs, il vient
20000 + 5:r = 36000 + 4x , d'où 07 = 16000.
Si on remplace ûc par cette valeur dans^ l'expression de la !'• part, on aura la valeur de cette part
et, puisque toutes les parts doivent être égales, en divisant le bien du père par cette part, le quotient 4 sera le noml)re des enfants.
Donc le bien du père = 16000 fr. , la part de chaque enfant = 4000 fr. , et le nombre des enfants = 4.
Il se présente ici une observation importante. La. valeur de x a été déduite de l'équation [1] , qui exprime seulement l'égalité de la 2" part à la l'^* : il reste donc encore'* à examiner si les deux autres parts lui sont aussi égales. Or, en* défalquant de l'héritage entier les deux premières parts, qui font ensemble 8000 fr., il reste 8000 fr.; et, sur ces 8000 fr., le 3' enfant doit prendre 3000 fr., plus le 5* du reste : donc il aura
Ensuite, cette part étant ôtée de 8000 fr., il reste 4000 fr., sur quoi le 4" enfant doit prendre 4000 fr. et le 5* du reste. Il aura donc aussi 4000 fr., et l'héritage sera épuisé. Ainsi toutes les vérifications sont satisfaisantes.
Exposons maintenant la solution générale. En nommant toujours x le bien du père , on aura
jc — a 1" part sts a H î
L£ÇONS D'ALG&BRft. ; r 75
et ) après le prélèveiucut de cette part, ce qai reste da bieu est
X — a — — — ou .
Par suite, on aura
n Donc , en égalant la 1'* part à la â*, on aura l'équation
Après réyanouissement des dénominatenrs , die devient celle-ci an*-^njc — an î= 2an*+nx — x — an+a— *2â/i ,
d'où le bien du père x = an* — 2an + a ,
on autrement, x=a{n — 1)*.
Au nioyen de cette yaleor on peut calculer la l'* part, qui sera aussi celle de chaque enfant. On a donc
X — a an* — 2an-\-a — a
part d un entant = a H = a 4- ■
= a+ an — 2a =a{n — 1).
Enfin , en divisant le bien total par cette part, on trouve
le nombre des enfanîs =r/î — i.
Mais l'observation faite plus haut se reproduit ici Par la manière dont on a établi Tcquation du problème, on est bien sûr que la 2* part sera égale à la f' ; mais il reste à vérifier s'il en est de même de toutes les autres.
Du bien entier fl(/i— i)* ôtez la part du V' enfant , il reste
a (/i— ir— ^(n~l)=rt(/i— 1) (n— l-il)=âf(n— 1) (/i— 2); La part du 2* enfant sera donc
tf (71— 1) (71— 2)— 2^i aln—i ) (n— 2)-|-2^(7i— i )
Elle est égale à la première, ainsi qu'on devait s'y attendre.
76 ' JT LEÇONS D\iLGÊBRE.
Da bien entier 6tez les deux premières parts ^ il restera a(/i-l)'— 2a(n— i) = a(;i-.l)(/î— 1— 2)=a(n— l)(/i— 3).
Par suite, la part du d"* enfant sera
Za*{-
aiw^i").
Elle est égale aox précédentes, et par conséquent le reste du bien , en défalquant les trois premières parts, sera
^(n— 1)'— 3flr(n--l)=:a(ii— i)(«— l--3)=«(7i— i)(«— 4)vv
En continuant ainsi , on voit clairement que les calculs s'effectueront toujours de telle sorte que toutes les parts seront égales à a[n — 1). Par conséquent, il est clair aussi qu'après avoir formé k /z—- 1 parts, le bien sera totalement épuisé : car la somme de toutes ^ ces parts sera a{n — 1) X [n — 1) , ou /ï(/i— 1)% ce qui est la val^r . du bien à partager.
Il peut se faire qu'on éprouve de la difficulté à comprendre que les calculs doivent toujours amener des parts égales; mais en calculant encore quelques parts , les lois selon lesquelles s'effectuent les réductions ne pourront point échapper. .
Au reste , voici un raisonnement qui ne peut laisser aucun doute. ;, Admettons qu'après avoir calculé un certain nombre de parts, on j les ait toujours trouvées égales entre elles , et examinons si la part <| suivante leur sera encore égale. Soit k le nombre des parts déjà ! calculées, lesquelles sont toutes égales à a{n—i). Ce qui reste du 1 bien total, en défalquant toutes ces paris, est !
La part suivante sera • '
n ^(/i— 1) (n^i—k)-\*alk + i) (n— 1)
n rt(«— -IJC/z—l— ^+A+1)
= flt(»-.l)î
et Ton voit que cette part est égale anx précédentes.
LEÇONS D*ALGàBiUC. 77
Remarquez maiatenant qae k est mi nombre enti^ quelconque ; donc si on fait A = 1, on œnclura que la 2« part est égale à, la l'^^' ; si on fait A = 2 , on conclura que la 3' part est égale aux deux premières ; et ainsi de suite. Donc toutes les parts seront égales.
Kxenples de proklèmeâ à plutieurt inconnues.
95. Problème IV. Un entrepreneur a payé lOSyr. pour 17 jour^ nées de maçon et iO journées de manœuvre-, et plus tard ^ sans que le traifail ait changé de prix y il a payé S^fr, pouriOjour^ nées de maçon et il journées de manœui^re. Combien gagnait par jour le maçon, et combien le manœuvre ?
Appelons x le gain du maçon , et y celui du manœuvre. Poiïr 17 journées de maçon et 10 journées de manœuvre, rentreprenèur doit 17j: + IQx ; donc , d'après l'énoncé, on a 17j:+ iOy = 105.
Pour 10 journées de maçon et 17 journées de manœuvre , il ddt iOj?-4-17^; donc, d'après l'énoncé , on a 10x4-17^^=84.
Ainsi , les deux équations à résoudre sont
et pour cela on pourra employer celle des trois méthodes qu'on Yondra.
V Si on emploie Y élimination par comparaison, on aura
105— 17x 84— lOr
105 — 17x 84— lOx 10 "" 17 ' 1785 — 289x=840— lOOx, 100a7—289x= 840— 1785, — 189x=i— 945, 945 ^ ^=189=^-
En portant cette valeur dans la l'* valeur de y^ il vient
Ainsi , le maçon gagnait 5 fr., et te oi^pceuvre 2 fr.
78 LKÇON8 d'algèbre.
^ Si oh fait V élimination par substitution , on a , en tirant de la l'» équation la valeur de ^,
IOOj; T- 1785— 289 j:= 840 ,
et par suite on a encore , comme tout à Thèure ,
3<» Enfin servons-nous de Véliminatlon par réduction. Pour éliminer ^, on multipliera les équations respectivement par 17 et par 10, puis on retranchera la 2« de la 1", ce qui donne
289JC— 1 00:r = 1 785 — 840 ,
Pour éliminer x^ on multipliera la 1" équation par 10, là 2® par 17 j et, par la soustraction , on aura
On aurait pu encore trouver y en substituant la valeur jr=5 dans Tune des équations du problème, dans la 1""*, par exemple. On a ainsi 85 + 1 Oj^ = 105 , d'où ^ = 2 , comme ci-dessus.
96. Problème V. Une personne possède un capital qu^ elle fait valoir à un certain intérêt. Une autre personne, qui possède 10000 yr. déplus que la première^ et qui fait i^aloir son capital à 1 déplus pour 100, a un rei^enU, plus' grand de 800yr. Une troi-^ sieme , qui possède 15000yr. de plus que la première , et qui /ait valoir son bien àS^tle pliuptnir 100 , a un revenu plus grand
LEÇONS b*ALG*BAB. 79
de 1500^. On demande les biens des trois personnes , et à quel intérêt chacune fait valoir son bien ?
]VommoDS x le capital de la première personne, et ;^' l'intérêt pour 100 qu'elle en retire. D'après Vénoncé même, la seconde personne aurait un capital égal à j: + 10000, qu'elle ferait valoir à rintérét de ^ + 1 pour 100; et la troisième, un capital égal à x + i 5000 , qu'elle ferait valoir à l'intérêt de j^ 4- 2 pour 100.
Les revenus que ces trois personnes tirent de leurs capitaux se trouveraient par les proportions
Mais , d'après l'énoncé , la seconde personne reçoit 800 fr. de revenu de plus que la première, et la troisième 1500 fr. de plus; donc on a les deux équations
(^+10000) (r+1) ^ ^ . goo 100 100 '
Je chasse les dénominateurs, j'effectue les multiplications, je supprime le terme xy qui y est commun aux deux membres de chaque équation , et je fais passer tous les termes connus dans les seconds membres. Alors ces équations deviennent
Pour éliminer x , du double de la V équation je retranche la 2' :
il vient
5000^=5 20000, d'où ^=4.
Puis , pour avoir x , je substitue cette valeur dans la l"* équattoil , ce qui donne
^+40000 = 70000, d'où a: = 30000.
Oonc la première personne possède un capital d« S(NXW fir»,
qu'elle fait valoir à 4 pour 100 ; la deuxième , un capital de 40000 fr. , qu'elle fait valoir à 5 pour 100; et la troisième, uu capital de 45000 fr., qu'elle fait valoir à 6 pour 100.
97. Problème VI. On a acheté séparément les charges de trois voitures. La première^ qui contenait 30 mesures de seigle^ 20 d'orge et 10 de froment , a coûté 230yr. La seconde^ qui contenait 15 mesures de seigle ^ 6 dHorge et 12 de froment , a coûté 138yr. La troisième , qui contenait 10 mesures de seigle , 5 d'orge et 4 de froment , a coûté 75 fr. On demande combien coûte la mesure de seiglei^ celle d'orge et celle de froment?
En nommant/or, y^ z les trois inconnues, il est clair que les équations du problème seront
•^Ox + 20j^ 4-1 Os ='230 ,
•15a:+ Br + 12z = 138,
On peut simplifier la 1^' équation en divisant tous ses termes par 10, et la seconde en divisant tous ses termes par 3. En conséquence, au lieu des trois équations ci-dessus, on aura celles-ci
En éliminant, par réduction, z entre la 1" équation et les deux autres , il vient
2a:4'3jK=17.
En éliminant de la même manière y entre ces dernières, on a
3jc = 12, d'où jr=;4.
Si on met cette valeur dans l'équation 2 j: 4- 3j = 17, elle devient
8 4-3jr=17, d'où ^=3.
Enfin , en substituant les Valeurs connues de a? et y dans l'équation 3 j: 4- 2^ 4* s = 23 , on trouve
12+64-2=23, d'où 2 = 5.
Donc la mesure de seigle vaut 4 fr., celle d'orge 3 fr., et celle de froment 5 fr.
LEÇONS d'4LGËI»RE. 81
98. Problème VU. Un officier qui commande à trois compa-^ gnies de soldats^ Pune de Suisses, Vautre de Souabes, et la troisième de Saxons , veut donner un assaut aifec une partie de ses troupes. Il est chargé de partager 901 écus entre les soldats des trois compagnies $ mais ceux-ci consentent quil soit donné un écu à chaque soldat qui montera à Passant , et que le reste soit distribué également entre tous les autres. Or il se trouife que si les Suisses donnent Passant , chaque soldat des autres compagnies reçoit un demi-écu; que si les Souabes vont à F assaut ^ chacun des autres reçoit un tiers d'écu\et que si les Saxons donnent l'assaut y chacun des autres reçoit un quart d*écu. On demande de combien d^ hommes était chaque compagnie ? -
Soit X le nombre des Suisses , y celui des Souabes , z celui des Saxons.
Si les Suisses vont à l'assaut , chacun d'eux recevant un écu , le
nombre d'écus qui resterait à distribuer entpi^ 1^ autres serait
901 — X, et par conséquent ce que chacune ceux-ci recevrait
serait .
Si les Sooabes montent à l'assaut , ce qui reviendrait à chacun
des hommes restants serait ^.
Enfin, si les Saxons vont à l'assaut, chaque homme restant te-
cevrait >,
Or, d'après l'énoncé, ces trois quotients devraient être respectivement ^auxaux fractions î , ï 9 i ; donc les équations du problème sont
901— x 1 ,901— j^ i 901-.S i y-bz ""2' x + z ""3' x+y "^ 4^ ^
En chassant les dénominateurs et transposant, elles deviénneut
^x+ y+ z=1802, x+dy+ 2 = 2703, x+ j^4-4z=:3604>.
Par l'élimination de z on trouve
x^iy=:— 901, 7a: + 3^^=4-9604.
L'élioiinatioD de y entre ces deux équationa donne
VI X = 4505 , d'où X = — r— = 265. ' 17
Cette yaleur étant mise dans l'équation x — ^^ = — 901 , on a
265— Sir = — Wl, ^-OÙ T = -S" == ^^-
Enfin, en remplaçant, dàrisTéquâtion 2j:4-j^+î5 = 1802, a: et^ par leurs valeurs, op a
530+583+»= 1802, d'où z=:689.
Donc il 7 ayait âÇo bowva£s dans la compagnie suisse , 583 dai la compagnie souabe , et 689 dans la saxonne.
Knnncés rfe problèmes â rt'soudrff.
99. Gomme exercice , je place ici quelques problèmes à résoudre Jusqu'au XIX*, ils B'«xigent qu'une seqlc inconnue.
I Problème VIII. Un maître promet a son domestiqtie , en l
prenant à son service , 200 yr. par an et un habit. Il le réh ^oie au bout de iO mois^ lui donne. 160 /r. et lui laisse tàa bit. On demande le prix de l- habit, llcponse : kO fr.
Problème IX. Diophante , l'auteur du plus ancien lii^re d'aï gèbre qui nous reste , passa dans sa jeunesse le sixième d temps quil vécut , un douzième dans l'adolescence , ensuile \ se maria , et passa dans cette ujiion le septième de sa vie aug mente de 5 ans , avant d'avoir un fils auquel il survécut d h ans , et qui îî' atteignit que la moitié de l'âge où son pèt est parvenu. Quel âge avait 0tophante lorsquil mourut Réponse : 8/|. ans.
Pff^i5l4>ME X. Vn père a k9 ans et son /ils en a 11. Quan^ tâ^é'mi père ne sera-t^-il plus que le triple de celui de soi fils ? Réponse : Dans 8 ans.
Problème XI. Un père laisse quatre fils et 8600 fi\ Dan son testament il ordonne que la part de Vaîné soit doubl de celle du second moins 100^*., que le second ait trois f (À autant que le troisième moins 200 y/\, et que le troisième (à quatre fois autant que le quatrième moins ZOO fr, Quelh
LBÇON& D'ALOÈJtRi;. Si
sont les parts dei quatre fils ? Réponse : Le 1«''///j, 4900 fr. ; le 2% a500 fr. ; fc 3 , 900 fr. ; le 4% 300 fr.
Problème XII. Un père i^eut , par son testament , que ses trois fils partagent son bien de la manière suiv^ante : Uainé , 3000 fr, de moins que la moitié de tout f héritage ; le second, 'SikOO fr, de moins que le tiers de tout le bien; le troisième, 1800 y/\ de moins que le quan du bien. Quel était le bien du père et quelle est la^part de chaque héritier? Repense : Le père laisse 8G400 fr.; le 1«' fils reçoit 40i00 fr. } le 2\ 26400 fr-i le 3% 19800 fr.
' Problème XIII. Un courrier faisant Î5 lieues en 2 heures était parti de Paris depuis 9 heures lorsqu'on a eiwoyé après lui un autre courrier qui faisait 11 lieues en 3 heures. : On demande à quelle distance celui-ci a joint, le premier? 1 Réponse : 70 lieues î.
L Problçme XIV. Une montre marquant midi^ f aiguille des minutes se trouve sur celle des heures : à quelle heure se fera la prochaine rencontre ? Réponse : A 1^ 5' 7'', .
Problème XV. Un nombre est composé de trois chiffres ; la
somme des chiffres est 13 ; le chiffre des unités est triple de
celui des centaines ; et quand on ajoute 396 11 ce nombre , on
% obtient une somme qui est ce nombre renv^ersé : on demande
' quel est ce nombre ? Réponse : 2r>fe.
Problème XVI. Une personne ayant des jetons"^ dans les deux mains^ en prend un de la droite pour l'ajouter h ceux de la gauche , et par-là il s'en trouvée autant dans l'une que dans Vautre, Si elle en eût fait passer deux de la gauche dans là droite , cette dernière main en aurait contenu le double de ce qui serait j'este dans F autre. Combien y a^/ait- il d'abord de jetons dans chaque main ? Réponse : Il y avait 8 jetons dans la gauche, et 10 dans la droite.
Problème XVII. Un renard poursuivi par un lévrier a 60 • iauts d'avance. lien fait d pendant que le léi^rier Ji'cn fait qw' 6'f mais 3 sauts du lé\»rier en iraient 7 du renard. On demande combien le léi^rier doit faire de sauts pour atteindre k renard} Réponse: 72 sauts.
^4 Li£CO.NS D^.LGÉHRE'.
PROBLèME XVIU. On a *^^kilog, cV eau denier qui contient rient 16 heclog, de sel ; combien faut-il y ajouter d'eau douce pour que S^hilog, du noui^eau mélange ne contiennent plus) que 2 hectog. de sel? Réponse : 224 kWog. ^
ProblèxME XIX. Un 'réservoir j qui est plein d* eau ^ peut se vider par deux robinets de grandeurs inégales. On ouvre T un d'eux et on fait couler le quart de l'eau ; puis alors on ouvre l'autre et on les laisse* couler tous les deux» Le réseivoir achève de se vider ^ et emploie pour cela ^ d'heure de plus qu'il n a fallu au premier robinet pour vider le quart de Veau, Si on eût ouvert les deux robinets dès le commencement , le réservoir se serait vidé un quaH d'heure plus tôt. Combien faudrait-il au premier robinet^ s'il coulait constamment seul ^ pour vider le réservoir? Réponse : 4 heores.
Problème XX, Un mulet et un âne portent des charges de quelques quintaux. L'âne se plaint de la sienne et dit au mu-' let : Il ne me manque que de porter encore un quintal de ta charge pour que la mienne soit double de la tienne. Le mulet répond : Et moi^ si je pre/ids un quintal de ta charge^ la m mienne sera triple de la tienne. On demande combien de quintaux ils portent chacun ? Réponse : Le mulet porte2 quin-^ taux \ , et Tâne 2 quintaux \^ I
Problème XXL Deux personnes doivent ensemble 870 JJ/ Elles ont de l argent toutes deux^ mais pas assez chacune poui* acquitter seule cette dette commune. Le pj^emier débiteur dit donc au second : Si vous me dojinez les {- de votre argent , jt^ payerai seul la dette sur-le-champ. Le second lui répond : Je ■ pourrais aussi acquitter seul la dette')^ vous me donniezles \ du '^tre. On demande combien ils ont l'un et Vautre^ Réponse'-' Ji i"^ débiteur a 580 fr., et le 2*» a 435 fr.
Problème XXIL Une personne charitable rencontre des ! pauvres^ et veut donner 25 centimes a chacun ; mais il lui * manque pour cela 10 centimes. Alors elle ne donne que 20 centimes à chaque pauvre , et il lui reste 25 centimes. Combien avait-elle de monnaie , et quel était le nombre des pauvres ? Elle avait 1 fr. 65 cent., et il y avait 7 pauvres.
Ltcu.NS i/alukbrk. 85
PaoBLÈiME XXlll. Le testament d'un oncle jjorle que cha^ cun de ses neveux aura 12000 y}'., e^ chacune de ses nièces 9000 yî*., sur la somme de 120000^/'. quil leur laisse après sa mort. Par cette disposition, il ne reste rien de cette sommé. ^ Si au contraire chaque nièce eut eu 12000 y/\, et chaque neweu 9000 /r., il serait resté 9000 y/\ Trouver le nombre des neueiix et des nièces ? Réponse : 7 neveux et 4 nièces.
Problème XXIV. Trois frères ont acheté une ^igne pour 2000y/*. Le troisième dit qu'il pourrait la payer seul , si le second lui donnait la moitié de son argent ; le second dit que , si Vaîné lui donnait seulemeîit le tiers du sien , il paye^ rait seufla^i^igne^r^njin l'ainé ne demande que le quart de f argent du troisième pour payer seul la i^igne. Combien chacun as^ait-il d'argent? Réponse : Kaînc avait 1680 fr. ; le 2% 1440 fr. ; le 3% 1280 fr.
Problème XXV. Un homme ^ qui s'est chargé de transport ter des i^a'ses de porcelaine de trois grandeurs^ est corwenu de payer pour chaque ^ase quil cassera autant quil recev^ra pour chaque i^ase qu'il rendra en bon état.
On lui donne d'abord ^petits v^ases, k moyens et 9 grands; il casse les moyens, rend les autres en bon état, et reçoit
On lui donne ensuite ^ petits stases j 3 moyens et 5 grands ;
cette Jhis ili^nd les petits et les moyens en bon état, mais il
casse les grands^ et il reçoit seulement 3 fr.
Enfin , on lui remet^ petits v^ases^ 10 moyens et ii grands; il casse tous ces derniers, et ne reçoit en conséquence que kfr.
Quel est le prix du transpoH d'un ^ase de chaque gran^ ieur?
Réponse : Le prix est de 2 fr. pour les pelîls, de 3 fr. pour le» njoycns , et de 4/r. pour les grands.
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f it
W uccoNS d'âlgëbiii.
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