REMARQUES SUR LES ÉQUATIONS OÙ IL T A DES DÉNOMINATEURS

CONTENANT l'iNCONNUE.

laterprélalloo et oMge des quantités négatives daas les problèiàes*-

100. Pour ne point embarrasser les commençants j*ai laissé de côte certaines particularités fort remarquables qui peuvent se rencontrer dans les équations et dans les problèmes du l*'^ degré. Je me propose de les faire connaître dans ce chapitre ; et d*abord je parlerai de Tinterprétalion et de Tusage des quantités négatives dans les problèmes en général. Pour être bien comprise , cette importante théorie doit être expliquée sur des exemples.

101. Problème. Un particulier a employé dans Vété un oU" urier pendant i^ journées; et dans Vliii^er^ pendant il journées^ pour chacune desquelles, il lui donnait 2 francs de moins que pour une journée d'été, La première fois, l'ouvrier a subi une retenue de 22 francs pour quelques dégâts quil await causés; la seconde fois il a mérité par son zèle une gratification de 2Sfr,; et cependant il a reçu chaque fois la même somme. Quel est le prix d'une journée d'été ?

Soit X le prix d'uiie journée d'été. La somme que l'ouvrier a dû recevoir, la première fois, sera exprimée par 13jc — 22. Comme il a par journée d'hiver 2 fr. de moins que par journée d'élé , la somme -qu'il a dû recevoir, la seconde fois, sera exprimée par 17(x— 2)+28. Or, d'après l'énoncé, il reçoit chaque fois la même somme ^ donc on doit avoir

LEtîONs d'algébrk. S7

I>e là on déduit sacocssivemcnl

17a:— 34 4-28=13x— 22, 17x— 13:r=34— 28 —22, 4.r=— 16, Jt'= — 4.

Ainsi , ponr répondre à la question , il faudrait dire que le gain de l'ouvrier, pendant un jour d'été, est — 4 fr., ce qui n'offre absolument aucun sens. Il faut donc conclure que l'énoncé renferme des conditions impossibles.

Pour mettre cette conséquence dans tout son jour, remarquons d'abord que les changements opérés sur l'équation [1], pour arriyer à l'équation x= — 4, n'altèrent point l'inconnue. Or, la dernière est vérifiée en remplaçant x par — 4, et ne peut pas l'être autrement ; donc il doit en être de mémo de l'équation [I].

En second lieu , remarquons encore que , s'il existe une valeur de a: qui convienne à la question , elle doit nécessairement vérifier l'équation [1]. l)onc, puisque celte vérification ne peut s'opérer que par une valeur négative , on a raison de conclure que la question est impossible.

Mais une observation qui est bien importante , c'est que la valeur négative a:= — 4 , devant vérifier l'équation [i] , qui est l'expression immédiate des conditions da-jproblèmc , indique par ct^la même comment on peut modifitT l'énoncé en un autre qui ne renfermera plus aucune impossibilité, et qui , après cette rectification, admettra pour solution la valeur de jc déjà trouvée, mais prise positivement. C'est ce qu'on va expliquer.

Dans l'équation [1] remplacez jc par — a: , elle devient

[2] 17(— .>t-2) +28=— 13jf— 2ii.

Or, soit qu'on mette «^4 dans la première , ou 4 dans la seconde , il est évident que les deux substitutions doivent donner exactement le même résultat ; donc, puisque la première équation doit être vérifiée par la valeur jl' = — 4, la deuxième le sera par la valeur j: = 4. Ainsi toute question dont Ténoncé sera exprimé par TéquatioD[2] aura pour solution u*=4. Mais coiipuc il n'en existe aucune qui puisse conduire à ne mettre dans le second membre que des termes négatifs , je changerai tous les signes de cette équjation , et je l'écrirai ainsi

[3] 17(^4-2) — 2S«= ISx+M.

8S Lf£ÇO.YS ]>' ALGÈBRE»

Alors, pour que la question proposée admette la solution .r=s4, on voit qu'il suffît de modifier son énoncé de telle manière que le prix de la journée cC hiver surpasse de 2fr, celui de la journée d^été; que la somme gagnée dans les i3 jours d^ été soit augmentée de 22 Jr. au lieu d'être diminuée; et qu'au contraire la somme gagnée pendant les il jours d'hii^r subisse une retenue de 28 Jr, au lieu d'un accroissement. De cette manière , le nouvel énoncé sera celui-ci I

Un particulier a employé dans l'été un oui^rier pendant 13 journées ; et dans Vhiçer pendant il journées, pour chacune des-* quelles il recevait 2fr. de plus que pour une journée d^été. La preinierefois^ V ouvrier a mérité en outre par son zèle une gratification de 22 fr. j maisy la seconde fois, il a subi une retenue de 2Sfr,, à raison de quelques dégâts quil avait causés. Il a reçu chaque fois la même somme , et Ion veut connaître le prix de la journée dSété.

Ainsi rectifiée , il est de toute évidence que la question conduit à Véquation [3] , qui admet la même valeur a: = 4 que l'équation [2]. Par conséquent cette valeur résout la question dans le sens précis du nouvel énoncé. On doit remarquer surtout que les quantités données dans l'énoncé primitif sont restées sans altération dans le nouveau. Seulement quelques-unes d'entre elles, qui étaient désignées d'abord comme soustractives , sont devenues additives , ou vice versa.

102. En général , si l'énoncé d'un problème exige que l'inconnue X soit positive , et si Téquation donne une valeur négative j: = — <2, on doit conclure que le problème est impossible. Pour rectifier l'énoncé, on remplace dans l'équation x par — a:, ce qui change les signes de certains termes ; puis , sans altérer les quantités données, on modifie l'acception sous laquelle elles sont considérées , de telle sorte que les changements de signes de l'équation correspondent exactement à ce changement d'acception. Alors, on sera sûr, sans résoudre aucune nouvelle équation , que la valeur positive j7= ûP conviendra au dernier énoncé ; à moins toutefois qu'il ne renferme encore quelques conditions qu'on n'aurait pas pu exprimer dans l'équation : comme si , par exemple , il exigeait que l'inconnue fût uft nombre entier."

Au reste , on conçoit que cette rectification peut se faire d'une infinité de manières différeirtes ^ mais il faut toujours, dans le nouvel

LKCOiNS D*ALGÉBRE. 89

énoncé , avoir soin de se tenir le pltis près qn'on poarra de renoncé primitif.

103. Problème. Deux courriers partent de deux points A et B, situés sur la même route ABX, et vont dans la même direction vers un point G ^ placé au delà de B par rapport à A. On connaît les distances des points A c/ B au point C, sat^oir : AC=110 kilomètres ei BC = 50 kilom. De plus^ on sait que la vitesse du courrier parti du point A est de 10 kilom. par heure , et que celle du courrier parti du point "B est de % kilom. On demande à quel point de la route les courriers se joindront.

Supposons que la jonction se Tasse au point R, et soit la dis* tance GR=j:. Les diemins parcourus par les deux courriers seront AR = 110 — jc et BR=50 — x. Puisque le premier fait 10 kilom. par heure , et le second 6 , les nombres d'heures employées par eux pour parcourir AR et BR seront exprimés par

— — — et — - — . Gomme ils sont partis en même t^ps, ces

nombres doivent être égaux ; donc Téquation du problème est

.f *^ ~To~ = -6—

En multipliant les deux membres par 30 pour chasser les diviseurs, puis continuant les calculs, il vient

330 — ^x = 250 — hx , - Sx— 3jc= 250—330, . 207 = — 80,

Voilà encore une valeur négative, et cependant on aurait tort d'affirmer que la question est impossible. îl est évident, en effet, que le courrier qui, au départ, est derrière, allant plus vite que celui qui est devant , doit finir par l'atteindre. Mais nous avons supposé en formant l'équation [4] que la rencontre se faisait en R avant le point C , et rien n'autorisait une pareille supposition. Ainsi c'est dans cette supposition , et non dans l'énoncé , que se trawe l' absordHé accusée par la valeur négative.

tBi^mmmÊ^ÊtÊÊÊÊtm

fO LEÇONS o'ALOtea«.

Il faut donc faire une supposition contraire , c'est-à-dire , jdacer la rencontre en quelque point tel que R', au delà de G. Âlmrs, en posant GR'= x , l'équation à résoudre sera

ilO + x 504-3?

ÎF" "" 6 •

Mais aucun calcul nouveau n'est nécessaire. En effet, cette éqoa-» tion n'est autre que l'équation [4] où l'on aurait mis ^x au lieu de a: ; donc, puisque celle-ci est satisfaite par la valeur x^^-r-^iO', l'équation ci-dessus doit Télre parla valeur positive a: = 40. De cette manière on apprend que la rencontre a véritablement lieu au delà du point G , à la distance de 40 kilom.

Il suit de là que l'équation [4] donnera toujours la solution du problème , pourvu qu'on regarde la valeur négative de x oomme devant être portée à droite du point G , c'est-à-dire , du c6té opposé à celui où on l'avait supposée située.

104. L'exemple que je viens de traiter montre qu'une valeur négative de l'inconnue peut aussi , dans certains cas , provenir d'une fausse supposition qui a été faite pour arriver à l'équation du problème. Et en même temps on doit soigneusement remarquer que non seulement le signe — , qui se trouve devant la valeur de Tinconnue, indique de quelle manière Terreur doit être rectiflée, mais encore que la valeur de cette inconnue, en faisant abstraction du signe, donne la vraie solution du problème.

Remarque, On aurait pu résoudre le dçrnier problème en prenant la distance BR pour inconnue j et ensuite, pour connaître la distance du point G au point de rencontre , on aurait retranché BR de BC. Alors on voit bien que si le reste est négatif, c'est que la rencontre a eu lieu en un point R' situé au delà de G , et à une distance GR' précisément égale à ce reste pris positivement.

105. Problème. Deux courriers sont partis en même temps de deux ailles différentes et parcourent la même ligne. On connaît la distance des deux villes, ainsi que la vitesse de chaque cour~ rier^ c^est-à^dire , le nombre de kilomètres que chacun deux fait en une heure. On demande en quel point de la route ils se join-^ dront*

Ainsi conçue en termes gén^HX , la question fré«ente drax cv

LKCOMS d'aLGÂBRB. tl

distÎDcls : celui où les courriers vont dans le même sens , et celui où ils vont à la rencontre l'un de Taulre.

Premier cas. Je suppose que les deux courrier» tendent vers le point G , situé au delà du point B par rapport au point A , et que R soit le point où ils se joignent. Je nommerai

d la distance des points de départ A et B , m la vilosse du courrier parli du point A , n la vilesse du courrier parti du point B, X la distance inconnue AR , parcourue par le premier comv ricr au moment où il atteint Tautre.

Cela posé, le chemin BR fait par le second courrier sera AR — AB oa a: — d. En divisant x par m on aura le temps que le premier coarrier emploie à faire le chemin AR ; et en divisant x—d par ti, on aura le temps employé parle second courrier à faire le chemin BR. Ces chemins doivent être parcourus dans le même temps; donc on a

De là on tire

nx = m.v — md^ mx — nx^=mdj

ind

Deuxième cas. Je suppose que les deux courriers aillent à la rencontre Tun de i'autre, et que leur jonction ait lieu au point R situé entre A et B, A R B : en conservant les mêmes dénominations que toutà Theure, Tégalité entre les temps employés par les courriers pour faire , Tun le chemin AR, et l'autre le chemin BR , sera

Cette équation n'est autre que l'équation [5] dans laquelle on aurait remplacé n par — n ; car alors le second membre devient

, ce qui est la même chose que . De là on conclut quç

l'équation [5] suffira pour résoudre les deui cas du probl^ pQumi que Ton convienne de regarder la vitesse du €0

92 LKcoiss d'algèbre.

parti du point B comme changeant de signe quand la direction de ce courrier vient à changer.

106. Par la question qui vient tfétre traitée, on voit que les quantités négatives peuvent servir à renfermer dans une seule équation, et par conséquent aussi dans une seule formule, plusieurs cas d'une même question, dont chacun semblerait, au pre* mier aperçu, exiger une solution distincte.

C'est là aussi ce qui fait que ces quantités sont d'un usage presque continuel dans toutes les branches des mathématiques. Il n'est pas possible de caractériser avec précision les questions dans lesquelles la solution d'un seul cas peut s'étendre ainsi à plusieurs autres , par de simples changements de signes ; cependant on doit comprendre dès à présent que cette extension a lieu surtout dans les questions générales, où il faut considérer plusieurs cas qui ne difierent entre eux que par l'acception de certaines quantités , lesquelles sont additives pour quelques cas et soustractives pour les autres. Ainsi , la même lettre sera regardée comme représentant une quantité positive ou négative, selon qu'elle désignera un gain ou une perte, une vitesse imprimée dans un sens ou une vitesse de sens contraire , une distance située à droite d'un point , ou une distance située à gauche, etc.

107. Les remarques auxquelles ont donné lieu les trois problèmes qu'on vient de traiter s'appliquent à toute espèce de question, quel que soit le nombre des inconnues et le degré des équations. Elles se résument comme il suit :

1* La valeur négative d'une inconnue peut indiquer quelquefois une condition impossible dans l'énoncé d'un problème. Alors il sui&t de donner, dans cet énoncé, à quelques quantités des acceptions contraires , pour faire cesser toute impossibilité ; et la valeur négative , qui a été trouvée d'abord , étant prise positivement, donnera la solution de la question ainsi-rectifiée (102).

â"" La valeur négative de l'inconnue peut aussi indiquer, non une absurdité, mais une supposition erronée ; et , dans ce cas, elle donne toujours la solution du problème, pourvu qu'on prenne la quantité qu'elle représente dans un sens contraire à celui qu'on lui a d'abord attribué (104).

* S** EnGn , en considérant certaines quantités comme positives ou négatives, selon qu'on les envisage sous certaines acocfitions, on sous des acceptions contraires, on peut réunir en une seule

LEço?is d'algkbre. 93

équatioQ ou en une seule formule les différents cas d'une même question (106).

108. Après ces remarques, le lecteur traitera lui-même sans difTicullé la question suivante :

Problème. Un aubergiste ^ait avec un chasseur ce marché .-

Tous les jours où le chasseur apportera une pièce de gibier, i7re-

ceifra de C aubergiste une sommer a , mais il lui rendra une somme

b tous les jours ou il n'en apportera point. Apres un nombre n de

jours^ il peut arriver que V aubergiste et le chasseur ne se doivent

rien , ou que le prenUer doive au second , ou le second au premier,

une somme c. Trouver une formule qui fasse connaître dans lés

trois cas le nombre de jours où le chasseur a apporté du gibier,

^, bn + c .

^Réponse : x = r .

Cai d'impossibilité et d'indétermination din» les équations et dans les probUmtt

du i«r de^.

109. Pboôlèmb. Trouver un nombre dont le tiers augmenté de 75, et les cinq douzièmes diminués de 35 ^ fassent autant que ses trois quarts ajoutés à 4-9 .

On voit inunédiatcment que Féquation du problème est

En transposant les termes convenablement et en chassant les dénominateurs , il vient

Ici Ton parvient à une absurdité évidente, 0::^108. II n'y a donc aucune valeur de x qui puisse vériGcr l'équation [1] , et par suite il n'en existe pas non plus qui satisfasse à la question. C'eiSt pourquoi Ton applique alors la dénominalion d'absurde ou A* impossible à l'équation et à la question.

I/impossibilité peut se rendre sensible sur l'équation [1]^ en

Tî"

rt.?*"'

94 UBÇONft d'algèbme.

faisant , dans son 1^ membre , la lédocticm des tennes semblables. Par-là elle devient

Sx .^ 3:r .^

et dès lors il est évident que les deux mombres auront toujours emtre eux une diSérenee de 9 unités, quelque valeur qu'on mette à la place de x, .;

Cette impossibilité est bien différente de celle qui avait lieu dans le n'' 101. St alors le problème était impossible, ce n'était point parce qu'il n^existait aucune quantité qui pût se prêter aux vérification^ de calcul exigées par renoncé, mais bien parce que la valeur de jc était négative, et que Ténoncé repoussait toute valeur de cette espèce. Dans le problème qui vient de nous occuper, Timpossibilité est absolue^ c'est-à-dire qu'aucune quantité, de quelque nature qu'elle soit , ne peut donner l'égalité établie dans son énoncé.

ItO. Problème. Tromper un nombre tel quen ajoutant la moitié de ce nombre augmenté de iO ^ les ] de ce même nombre augmenté de 20, et encore les | de ce nombre diminué de 34, on ait une somme égale à deux J'ois f excès de ce nombre sur 5.

Ici l'équation du problème est

En chassant les dénominateurs, réduisant et transposant, il vient

3o: + 30+4a7+80 + 5o' — 170=l$jc— 60, 3a: + 4o' + 5x—12x= 170-7-30 — 80 — 60:

Comme on arrive à deux membres qui sont identiques , on en conclut que l'inconnue x doit rester tout à fait indéterminée : c'esl-à- ■" dire qu'on, peut prendre x égal à 2 , ou à 3 , ou à td autre nombre ^ qu'pi^. voudra. . 1 Et en effet, si on remonte à l'équation [2] , et si on effectue les ^ caculs indiqués dans son 1^' membre, on trpuve qu'il équivaut i^ ^

, ou , en réduisant , à

OQ

LEÇONS d'algébu. 95

Ken encore, en simplifiant, k2x — 10. Ce résultant étsyg^précisément égal au 2*" membre 2{x — 5), il s'ensuit que réBj^^â] a'est autre chose qu'une yéritable égalité, qui a lieu quel qu< Dans tous les cas analogues, Téquation et la question sont dites indéterminées.

111. Problème. Ai^ez-vous abattu beaucoup de pièces de gibier? demande-t-on à un chasseur. Celui-ci, répond : Il faudrait en Rajouter 5 au tiers de celles que f ai tuées ian passé, pour aioir la uçitié de, ce que j* ai (ué cette année ; mais si , du triple de cette ierniere moitié^ i'ous ôtez 5 , iwus aurez juste ce que f ai tué Van fasse. Combien le chasseur a-t-il abattu de gibier chaque année ?

\ En nommant x le nombre de pièces tuées cette année , et ^ ce- Udes pièces tuées Tannée précédente , on a les équations

X y Sx

Ëb mettant dans la V^ la valeur de y donnée par la 2', il vient

Sjc — 3jc=30— 10, 0 = 20:

cplitc absurde , de laquelle on conclut qu*il n'existe pas de valûirs de x et.de y qui satisfassent aux deux équations. Par conléquent le problème renferme des conditions impossibles à remplir. On peut d'ailleurs rendre Timpossibilité sensible sur les équa- Ias mômes : car, en chassant les dénominateurs et transposant, tes deviennent

c( alors on voit que les deux premiers membres sont les mômes, taidis que les seconds sont des nombres différents. Remarquez bien que chacune des deux équations, si on la prend inlément, est possible, et que même elle admet une infinité de ululions. L'impossibilité consiste donc en ce que les deux équajbns ne peuvent avoir aucune solution commune , ou , ce qui est Jimémo chose, en ce que les deux conditions du problème ne leavent jamais avoir lieu ensemble. C'est poiurquoi l'oii dit de ees

98 LEçOiNS d'algëbrk.

on substituera ces valeurs dans la première équation. Si on tombe sur une égalité absurde, la première équatioi incompatible avec le système des autres équations ; et au coi elle en sera une conséquence, si on tombe sur une égalit< tique.