Voici deux exemples sur lesquels le lecteur peut s*ex
x+ Sr— 6z— 6m = 7, / x-f- 3x— 6z— 6« =
2j:4- j^— 4s— 2tt = 15j (sx-f- 5j^— iOs— 9a =
.5J:+I0tr— 22z— 20« = 39. \5j^+12j^— 243— 24a =
Le premier exemple conduit à une absurdité , et Ton recoi qu'en ciïet la 4^ équation est incompatible avec l'ensemble de pn^mières.
Le second exemple conduit à une identité, et il sera fa reconnaître que la 4® équation est une conséquence des trois prises ensemble, tandis qu'elle ne Test d'aucune d'elles prise ment, ni même de la réunion de deux quelconques d'entre Pour satisfaire à ces équations, on trouve
et l'inconnue z reste arbitraire.
116. Je terminerai cet article en remarquant que les cas possibilité dont j'ai parlé sont bien les seuls qui puissent s senter dans les équations , mais que dans les problèmes il «jn avoir beaucoup d'autres. Par exemple, il se pourra qi près renoncé du problème une inconnue doive être un n entier, cl qu'on trouve une fraction; ou bien qu'elle doiv moindre qu'un certain nombre, et qu'on trouve une ^aleu grande; etc.
En général, l'énoncé d'un problème peut imposer à une nue , ou à plusieurs, des restrictions qu'il est impossible d'ex| par des équations; et dans ces cas, après qu'on a trouve les \ des inconnues, il reste encore à vérifier si elles satisfont à Ces restrictions. C'est ainsi que dans le Problème III , p. 74 qucs conditions n'ont pas été introduiras dans Téqualion , nous avons dû reconnaître à la un si eUcd étaient remplies HolQtion déduite de cette équation.
Liçons d'algébai.
Discussion des problcmn.
1 1 7. Lorsqu'on a résolu un problème dans lequel les quantités nncos sont représentées par des lettres, la valeur de Tinconnue 3 suppose, pour lixer les idées , qu'il n'y en a qu'une) est exprime par une formule qui indique les opérations à exéculer surles nnces. Or, on peut concevoir que ces données reçoivent toutes les leurs possibles, et examiner s'il en résulte quelques cas qui of- .'nt des parlicularités remarquables : cest là ce qui s'appelle c/i5ler le problème. L'exemple suivant montrera comment on doit se figer dans ces discussions.
118. Problème. Deux mobiles M etW se meuvent uniformeent Mir la droite indéfinie XY, a^fec des vitesses données a et , tous deux dans la direction XY. On sait que le mobile M est rrii^é au point A un certain nombre dheurcs h avant que le molle M' ne soit parvenu en B, et Von connaît la distance d des wits A et R. On demande en quel point de la droite XY se fait arencontre des deux mobiles.
Supposons que la rencontre soit en R du côlé BY : je nomme-
li X la distance inconnue BR. La distance AR sera ^Z+x, et
temps employés par les deux mobiles M et M', pour parcourir
rf-f X X
jctivcment les distances AR et RR , seront
et
Or,
)rcs renoncé, le mobile M est artivé en A, un nombre /* rares avant que M' ne fut parvenu en B; donc le premier doit surpasser le second de la quantité h, et par conséquent iiTéquation
d-Vx
là on tire facilement
bd-\-bx — ax = abhy
ax — bx=ib{d — ah)^
b{d^ah)
102 LEÇOINS d'algèbre.
les cas les points de rencontre des mobiles, en ayant soin de porter
les valeurs négatives de a: à gauche du point B.
3^ Supposons qu'on ait ^=a sans avoir ^=:â A. La valeur de x
devient
a{d — ah)
0 ' OU, plus simplement, en posant a{d — ah)=m,
Que signifie une pareille expression ? Pour rinterpréter, imaginons , qu'au lieu de 0 on donne à m des diviseurs de plus en plus petits, par exemple, i, -'„ , 7^,0 v l<?s quotients seraient m , 10m, 100/y/,... . et iraient en'croissant de telle sorte qu'on ne conçoit aucune quantité, quelque grande qu'elle soit, qu'on ne puisse surpasser en prenant un diviseur assez petit. C'est là ce qu'on exprime en disant que le quotient d'une quantité divisée par zéro est //z/^/z/. On indique TinGni par le signe do.
L'expression"', coqsidérée en elle-même, montre donc qu'il n'existe aucune distano^ assez considérable pour représenter celle à laquelle les mobiles doivent se rencontrer, ce qui équivaut évidemment à dire qu'ils ne se rencontrent pas.
Et en effet, de ce que d est diiïércnt de ah, il s'ensuit que 1» mobile ne se trouve pas au point B en même temps que le mobile M' ; et de ce que ^ = ^ , il s ensuit que les deux mobiles ont la mém^ vitesse ; donc ils doivent toujours être à la môme distance l'un de l'autre ; donc aucune rencontre n'est possible.
4'' Supposons en même temps b = a et d=ah. Il viendra
et l'interprétation immédiate de cette expression sera facilo* Conune dans toute division le produit du quotient multiplié par 1^ ai\ise\ir doit reproduire le dividende, il fai\t ici que le quotient soE-C t.'t-^pVn le multipliant par zéro on trouve zéroj donc on pcm' «H'snëreco quotient égal à tel nombre qu'on voudra : c'est ce quoiO
evpriiiio «rn^d.'autrcs tLTmes, en disant quo^ représente une gracr^
deur indèUfmÎHc^,
De o^te «j^dp^ on doit conclure que les mobiles ne soi»'
LEco?ïS d'algâbrk. 107
SI j pour une certaine hypothèse , U7ie expression fractionnaire det'ient l , on 'ne dira point queiia est indéterminée ^ mais on rccherchera avec soin quel est le facteur commun à son numérateur et à son dénominateur qui en devenant zéro fait prendre à la fraction la forme " , ("t dont la suppression laisse apercevoir la vraie i'aleur de cet le fraction.
Appliquons celle règle aux trois fraclions
